等腰三角形典型例題練習(xí)(含答案)#(精選.)

1、等腰三角形典型例題練習(xí)21 / 17word.等腰三角形典型例題練習(xí)一 選擇題（共2小題）1 如圖，/ C=90° AD平分/ BAC交BC于D,若BC=5cm , BD=3cm，則點 D到AB的距離為（B 3 cmC. 2cmD.不能確定2. 如圖，已知 C是線段AB上的任意一點（端點除外），分別以AC、BC為邊并且在AB的同一側(cè)作等邊 ACD 和等邊 BCE,連接AE交CD于M，連接BD交CE于N .給出以下三個結(jié)論： AE=BD CN=CM MN / AB其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A. 0B . 1C. 2D. 3二.填空題（共1小題）3. 如圖，在正三角形 ABC中，D, E,

2、 F分別是 BC, AC , AB上的點，DE丄AC , EF丄AB , FD丄BC ,則 DEF 的面積與 ABC的面積之比等于.三.解答題（共15小題）E、F分別為 AB、AC上的點，且 / EDF+ / EAF=180 °求證5. 在 ABC中，/ ABC、/ ACB的平分線相交于點 0,過點0作DE / BC,分別交 AB、AC于點D、E.請說明DE=BD+EC .6. 已知：如圖，D是厶ABC的BC邊上的中點，DE丄AB , DF丄AC ,垂足分別為 E, F,且DE=DF .請判斷 ABC 是什么三角形？并說明理由.7. 如圖， ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延

3、長 BC至E,使CE=CD .連接DE .(1) / E等于多少度？(2) DBE是什么三角形？為什么？/ ACB=90 ° CD是AB邊上的高,/ A=30 ° 求證：AB=4BD .9.如圖， ABC中，AB=AC，點D、E分別在 AB、AC的延長線上，且 BD=CE , DE與BC相交于點F.求證: DF=EF .10 .已知等腰直角三角形 ABC , BC是斜邊./ B的角平分線交 AC于D，過C作CE與BD垂直且交BD延長線 于E,求證：BD=2CE .11. （2012?牡丹江）如圖 ， ABC中.AB=AC , P為底邊BC上一點，PE丄AB , PF丄AC

4、, CH丄AB，垂足分 別為E、F、H.易證PE+PF=CH .證明過程如下：如圖，連接AP./ PE丄 AB , PF丄 AC , CH 丄 AB , Saabp=AB?PE, SaacpAC?PF, SaabcAB?CH .|：J:又 T SAABP+SaACP=SaABC ,/ AB=AC , pe+pf=ch .(1) 如圖，P為BC延長線上的點時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想， 并加以證明：(2) 填空：若/ A=30 ° ABC的面積為49,點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF,當(dāng)PF=3時，則AB邊上的高 CH=.點P到AB邊

5、的距離 PE=.12數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下的題目：在等邊三角形 ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且 ED=EC，如圖，試確定線段 AE與DB的大小 關(guān)系，并說明理由”.小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：(1)特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AEDB (填 ”,或=”).(2 )特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AEDB (填”， N ”或=”).理由如下：如圖2，過點E作EF / BC,交AC于點F.(請你完成以下解答過程)(3) 拓展結(jié)論，設(shè)計新題在等邊三角形 ABC中，點E在直線 AB

6、上，點D在直線BC上，且ED=EC .若 ABC的邊長為1, AE=2，求CD的長(請你直接寫出結(jié)果)D月C13. 已知：如圖， AF平分/ BAC , BC丄AF于點E,點D在AF上，ED=EA，點P在CF上，連接PB交AF于點M .若/ BAC=2 / MPC，請你判斷/ F與/MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.14. 如圖，已知 ABC是等邊三角形，點 D、E分別在BC、AC邊上，且 AE=CD , AD與BE相交于點F.(1) 線段AD與BE有什么關(guān)系？試證明你的結(jié)論.(2) 求/ BFD的度數(shù).15. 如圖，在 ABC中，AB=BC , / ABC=90 ° F為AB延長線上一

7、點，點 E在BC上，BE=BF，連接 AE、EF 和CF,求證：AE=CF .16.已知：如圖，在 OAB 中,/ AOB=90 °, OA=OB，在 EOF 中,/ EOF=90 ° OE=OF，連接 AE、BF .問線段AE與BF之間有什么關(guān)系？請說明理由.17. （2006?郴州）如圖，在 ABC中，AB=AC , D是BC上任意一點，過 D分別向AB , AC引垂線，垂足分別為 E, F，CG是AB邊上的高.（1）DE , DF , CG的長之間存在著怎樣的等量關(guān)系？并加以證明；（2） 若D在底邊的延長線上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關(guān)系？請說明

8、理由.18. 如圖甲所示，在 ABC中，AB=AC，在底邊BC上有任意一點P,貝U P點到兩腰的距離之和等于定長（腰上 的高），即PD+PE=CF，若P點在BC的延長線上，那么請你猜想 PD、PE和CF之間存在怎樣的等式關(guān)系？寫出你 的猜想并加以證明.等腰三角形典型例題練習(xí)參考答案與試題解析一 選擇題（共2小題）1 .如圖，/ C=90° AD平分/ BAC交BC于D，若BC=5cm , BD=3cm，則點D到AB的距離為（）B. 3cmC. 2cmD.不能確定解答：解：/ / C=90 ° AD平分/ BAC交BC于DD到AB的距離即為CD長CD=5 - 3=2故選C .

9、2.如圖，已知C是線段AB上的任意一點（端點除外），分別以AC、BC為邊并且在AB的同一側(cè)作等邊 ACD和等邊 BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于N .給出以下三個結(jié)論：AE=BDCN=CMMN / AB其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A. 0B.1C. 2D. 3分析：由厶ACD和厶BCE是等邊三角形，根據(jù) SAS易證得 ACEDCB，即可得 正確；由 ACEDCB，可得/ EAC= / NDC，又由/ ACD= / MCN=60 °利用ASA，可證得 ACMDCN，即可得正確；又可證得 CMN是等邊三角形，即可證得 正確.解答：解: / ACD 和 BCE 是等邊三角形，ACD

10、= / BCE=60 ° AC=DC，EC=BC，/ Z ACD+ / DCE= / DCE+ / ECB，即/ ACE= / DCB，/ ACEDCB (SAS )， AE=BD，故 正確； Z EAC= Z NDC，/ Z ACD= Z BCE=60 ° / Z DCE=60 ° / Z ACD= Z MCN=60 °/ AC=DC，/ ACMDCN (ASA )，/ CM=CN，故 正確；又 Z MCN=180 ° - Z MCA - Z NCB=180 ° -60 ° - 60 °60 °CMN是

11、等邊三角形，Z NMC= Z ACD=60 ° / MN / AB，故正確.故選 D.二填空題（共1小題）3.如圖，在正三角形 ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB上的點，DE丄AC，EF丄AB，F(xiàn)D丄BC，則 DEF的面積與 ABC的分析：首先根據(jù)題意求得：/ DFE= ZFED= / EDF=60 °即可證得 DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半，得到邊的關(guān)系，即可求得DF : AB=1 : 二又由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得結(jié)果.解答:解：/ ABC 是正三角形，B= / C= / A=60 °/

12、 DE 丄 AC , EF 丄 AB , FD 丄 BC , / Z AFE= / CED= / BDF=90 ° / Z BFD= Z CDE= Z AEF=30 ° / Z DFE= Z FED= Z EDF=60 ° ,B?_2DEF 是正三角形，/ BD : DF=1 :二,BD : AB=1 : 3, DEFABC/ DF : AB=1 :二 DEF的面積與 ABC的面積之比等于-,三解答題（共15小題）4.在 ABC中，AD是Z BAC的平分線，E、F分別為 AB、AC上的點，且Z EDF+ Z EAF=180 °求證DE=DF分析:解答:即

13、 Z EMD= Z FND=90 °/ AD 平分 Z BAC , DM 丄 AB , DN 丄 AC , / DM=DN（角平分線性質(zhì)）Z DME= Z DNF=90 °過D作DM丄AB，于M , DN丄AC于N，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出 DN=DM，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理和平角定義求 出Z AED= Z CFD，根據(jù)全等三角形的判定 AAS推出 EMD幻 FND即可.證明：過D作DM丄AB，于M , DN丄AC于N ,Z ACB的平分線相交于點/ Z EAF+ Z EDF=180 ° / Z MED+ Z AFD=360 °- 180°180&

14、#176;/ Z AFD+ Z NFD=180 ° / Z MED= Z NFD , 在厶EMD和厶FND中r ZMEDZDFNr-<. 廣，/. EMD FND , /. DE=DF .DM 二 DMO,過點O作DE/ BC,分別交 AB、AC于點D、E.請說明DE=BD+EC .分析：根據(jù)OB和0C分別平分/ ABC和/ ACB ,和DE / BC ,利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等和等量代換，求證出DB=DO ,OE=EC 然后即可得出答案.解答：解：丁在厶ABC中，OB和OC分別平分/ ABC和/ACB ,/ Z DBO= / OBC , / ECO= / OCB ,/ DE

15、 / BC , / Z DOB= Z OBC= Z DBO , Z EOC= ZOCB= Z ECO ,/ DB=DO , OE=EC , / DE=DO+OE , / DE=BD+EC .6. 已知：如圖，D是厶ABC的BC邊上的中點，DE丄AB , DF丄AC，垂足分別為 E, F,且DE=DF .請判斷 ABC是什么三角形？ 并說明理由.分析：用(HL)證明 EBDFCD，從而得出Z EBD= Z FCD，即可證明 ABC是等腰三角形.解答： ABC是等腰三角形.證明：連接 AD , / DE 丄 AB , DF 丄 AC , / Z BED= Z CFD=90 ° ,且 DE

16、=DF ,/ D是厶ABC的BC邊上的中點，BD=DC ,/ Rt EBD 幻 Rt FCD ( HL ) , / Z EBD= Z FCD , / ABC 是等腰三角形.7. 如圖， ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長 BC至E,使CE=CD .連接DE .(1) Z E等于多少度？ ( 2) DBE是什么三角形？為什么?分析：(1) 由題意可推出Z ACB=60 ° , Z E=Z CDE ,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知：Z ACB= Z E+Z CDE ,即可推出Z E 的度數(shù)；(2) 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知，BD不但為AC邊上的高，也是Z ABC的角平分線，即得：

17、Z DBC=30 ° ,然后再 結(jié)合(1)中求得的結(jié)論，即可推出 DBE是等腰三角形.解答：解：(1) / ABC 是等邊三角形,/ Z ACB=60 ° ,/ CD=CE, Z E= Z CDE, v Z ACB= Z E+ Z CDE ,甘60° 二30“ ,(2 ABC是等邊三角形，BD丄AC，" ABC=60 °，么肢冷厶撫冊，/ Z E=30° / Z DBC= Z E, / DBE 是等腰三角形.8. 如圖，在 ABC 中，/ ACB=90 ° CD 是 AB 邊上的高，/ A=30 ° 求證：AB=4

18、BD .分析：由厶ABC中，/ ACB=90 ° / A=30 可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD，則結(jié)論即可證明.解答：解：/ Z ACB=90 ° / A=30 ° / AB=2BC，/ B=60 °又 v CD 丄 AB，/ Z DCB=30 ° / BC=2BD . / AB=2BC=4BD .9. 如圖， ABC中，AB=AC，點D、E分別在 AB、AC的延長線上，且 BD=CE，DE與BC相交于點F.求證：DF=EF .分析：過D點作DG/ AE交BC于G點，由平行線的性質(zhì)得 Z仁Z 2，Z 4=Z 3,再根據(jù)等腰三角形的性

19、質(zhì)可得 Z B= Z 2，則Z B= Z 1，于是有DB=DG，根據(jù)全等三角形的判定易得 DFG EFC，即可得到結(jié)論.解答：證明：過D點作DG/ AE交BC于G點，如圖，/ Z 仁Z 2，Z 4=Z 3，/ AB=AC，/ Z B= Z 2，/ Z B= Z 1，/ DB=DG，而 BD=CE，/ DG=CE，在厶DFG和厶EFC中Z4=Z3N .一， / DFG EFC，/ DF=EF .DG 二 CE解答:10. 已知等腰直角三角形 ABC，BC是斜邊.Z B的角平分線交 AC于D，過C作CE與BD垂直且交BD延長線于E，F(xiàn),由已知條件可證得 BFE全幻 BEC，所以FE=EC，即CF=

20、2CE，再通過證明 ADBFAC可得 FC=BD，所以 BD=2CE .證明：如圖，分別延長 CE，BA交于一點F ./ BE 丄 EC，/ Z FEB= Z CEB=90 ° / BE 平分 Z ABC，/ Z FBE= Z CBE， 又 v BE=BE，/ BFE BCE (ASA) . / FE=CE . / CF=2CE ./ AB=AC，Z BAC=90 ° Z ABD+ Z ADB=90 ° Z ADB= Z EDC，/ Z ABD+ Z EDC=90 ° 又 vZ DEC=90 ° Z EDC+ Z ECD=90 ° /

21、 Z FCA= Z DBC= Z ABD .11. (2012?牡丹江)如圖， ABC中.AB=AC , P為底邊BC上一點，PE丄AB , PF丄AC , CH丄AB，垂足分別為 E、F、H .易證 PE+PF=CH .證明過程如下：如圖，連接AP ./ PE丄 AB，PF丄AC，CH 丄 AB， / Saabp=AB?PE，Saacp一AC?PF，SaabcAB?CH .2 ， 2 ， 2又/ Saabp+Saacp=Saabc，.一AB ?PEAC ?PF丄AB ?CH .2 2 2/ ab=ac，/. pe+pf=ch .(1) 如圖，P為BC延長線上的點時，其它條件不變，PE、PF、

22、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明：(2) 填空：若/ A=30 ° ABC的面積為49,點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF,當(dāng)PF=3時，_則AB邊上的高CH=分析：(1)連接AP .先根據(jù)三角形的面積公式分別表示出Saabp，Saacp， Saabc，再由Saabp=Saacp+Saabc即可得出pe=pf+ph；(2) 先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AC=2CH，再由 ABC的面積為49，求出CH=7，由于CH > PF，則可分兩種情況進(jìn)行討論：P為底邊BC上一點，運用結(jié)論 PE+PF=CH ;P為BC延長線上的點時，運用結(jié)論PE=PF+CH .解答

23、：解：(1)如圖，pe=pf+ch .證明如下：/ PE丄 AB，PF丄AC，CH 丄 AB， /. Saabp一AB?PE，Saacp丄AC?PF，SaabcAB?CH，2 2 2/ Saabp=Saacp+SaABC，.AB?PEAC?PFAB ?CH，又 t AB=AC，/ PE=PF+CH ;(2) FAACH 中，/ A=30 ° / AC=2CH ./ Saabc=AB?CH，AB=AC，二 X2CH?CH=49，/ CH=7 .分兩種情況： P為底邊BC上一點，如圖./ PE+PF=CH，/. PE=CH - PF=7 - 3=4; P為BC延長線上的點時，如圖./ P

24、E=PF+CH，/. PE=3+7=10 .故答案為 7; 4 或 10.12數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下的題目：在等邊三角形 ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC ,如圖，試確定線段 AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由 小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：（1 ）特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE = DB （填”， N ”或=”）.（2）特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE = DB （填 ”，N ”或=”）.理由如下：如圖2,過點E作EF/ BC，交AC于點F.（請 你完成以下解答

25、過程）（3 ）拓展結(jié)論，設(shè)計新題在等邊三角形 ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC 若 ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長（請你直接寫分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求岀（2）過E作EF / BC交AC于F,求出等邊三角形（3）當(dāng)D在CB的延長線上，E在AB的延長線式時，由（/ D= / ECB=30 ° 求出 / DEB=30 ° 求出 BD=BE 即可；AEF，證 DEB和厶ECF全等，求出 BD=EF即可；2）求出CD=3，當(dāng)E在BA的延長線上，D在BC的延長線上時，求出CD=1 .解答:解：（1）故答案為：=.(2)過 E

26、作 EF / BC 交 AC 于 F，丁 等邊三角形 ABC，/ Z ABC= / ACB= / A=60 ° AB=AC=BC，/ Z AEF= Z ABC=60 ° Z AFE= Z ACB=60 ° 即 Z AEF= Z AFE= Z A=60 °/ AEF是等邊三角形，AE=EF=AF，/ Z ABC= Z ACB= Z AFE=60 ° / Z DBE= Z EFC=120 ° Z D+ Z BED= Z FCE+ Z ECD=60 °/ DE=EC，/ Z D= Z ECD，/ Z BED= Z ECF，在厶DE

27、B和厶ECF中rZDEB=Z£CF< ZDBU=ZBFC，DEB ECF，/ BD=EF=AE，即 AE=BD，故答案為：=. bDE=CE(3) 解：CD=1 或 3,1.1 = 2BE BN，''2-1 BN/ AM / EN ,AMB ENB , 理由是：分為兩種情況:過A作AM丄BC于M ,: ABC是等邊三角形,瓦圉1Dv/|如圖1過E作EN丄BC于N,/ AB=BC=AC=1 ,則 AM / EM ,/ AM 丄 BC , / BM=CM=2bc,/ DE=CE ,2 2EN 丄 BC , / CD=2CN ,如圖2,作AM丄BC于M，過E作EN丄B

28、C于N ,則 AM / EM ,/ ABC 是等邊三角形，AB=BC=AC=1 ,1 1BC=-2 r/ AM 丄 BC , / BM=CM=/ AM / EN , AE=MI,/ DE=CE , EN 丄 BC ,2“，MN=1 , / CN=1 nil/ CD=2CN ,一CD=2CN=113. 已知：如圖，AF平分/ BAC , BC丄AF于點E，點D在AF上,ED=EA ,點P在CF上,連接PB交AF于點M .若/BAC=2 / MPC , 請你判斷/ F與/ MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.分析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定和線段垂直平分線性質(zhì)求出AB=AC=CD，推出/ CDA= /

29、CAD= / CPM，求出/ MPF= / CDM , / PMF= ZBMA= / CMD，在 DCM 和厶PMF中根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可.解答：解：/ F=Z MCD ,理由是：/ AF 平分/ BAC , BC 丄 AF , / Z CAE= / BAE , / AEC= / AEB=90 °在厶ACE和厶ABE中rZAEC=ZAEBm 怔二應(yīng),/ ACEABE (ASA ) / AB=AC ,bZCAE=ZB.AE/ Z CAE= Z CDE AM 是 BC 的垂直平分線，/ CM=BM , CE=BE , / Z CMA= Z BMA ,/ AE=ED , CE 丄

30、 AD , / AC=CD , / Z CAD= Z CDA ,/ Z BAC=2 Z MPC ,又：Z BAC=2 Z CAD ,/ Z MPC= Z CAD , / Z MPC= Z CDA , / Z MPF= Z CDM ,/ Z MPF= Z CDM (等角的補角相等),/ Z DCM+ Z CMD+ Z CDM=180 ° , Z F+Z MPF+ Z PMF=180 ° ,又/ Z PMF= Z BMA= Z CMD , / Z MCD= Z F .14. 如圖,已知 ABC是等邊三角形，點 D、E分別在BC、AC邊上,且 AE=CD , AD與BE相交于點F

31、.(1) 線段AD與BE有什么關(guān)系？試證明你的結(jié)論.(2) 求Z BFD的度數(shù).分析：(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知 Z BAC= Z C=60° , AB=CA ,結(jié)合AE=CD ,可證明 ABECAD ,從而證得結(jié)論；(2)根據(jù) Z BFD= Z ABE+ Z BAD , Z ABE= Z CAD ,可知 Z BFD= Z CAD+ Z BAD= Z BAC=60 °解答：(1)證明：/ ABC 為等邊三角形,/ Z BAC= Z C=60 ° AB=CA .在厶ABE和厶CAD中，AB 二 ACZBAE=ZC / ABECAD / AD=BE .AE=CD(

32、2)解：/ Z BFD= Z ABE+ Z BAD ,又丁厶ABECAD , / Z ABE= Z CAD . / Z BFD= Z CAD+ Z BAD= Z BAC=60 °15. 如圖，在 AABC中，AB=BC , Z ABC=90 °, F為AB延長線上一點，點 E在BC上,BE=BF ,連接 AE、EF和CF , 求證：AE=CF .分析：根據(jù)已知利用SAS即可判定 ABE CBF ,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得到AE=CF .解答：證明：/ Z ABC=90 ° / Z ABE= Z CBF=90 °又； AB=BC , BE=BF ,

33、 :. ABE 耳 CBF (SAS). / AE=CF .16. 已知：如圖，在 OAB 中，/ AOB=90 ° OA=OB，在 EOF 中，/ EOF=90° OE=OF，連接 AE、BF .問線段 AE 與 BF 之間有什么關(guān)系？請說明理由.分析:可以把要證明相等的線段AE ,CF放到 AEO , BFO中考慮全等的條件，由兩個等腰直角三角形得AO=BO ,OE=OF，再找夾角相等，這兩個夾角都是直角減去/ BOE的結(jié)果，當(dāng)然相等了，由此可以證明 AEO BFO ;延長BF交AE 于 D，交 0A 于 C，可證明 / BDA= / AOB=90 ° 則 AE 丄 BF .解答:解：AE與BF相等且垂直，理由：在 AEO與厶BFO中， / Rt OAB 與 Rt OEF 等