人教B選修1-22.1.1合情推理學(xué)案

1、2.1.1合情推理學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解合情推理的含義.（易混點(diǎn)）2.理解歸納推理和類(lèi)比推理的含義，并能利用歸納和類(lèi)比推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）自主預(yù)習(xí)探新知1 .歸納推理與類(lèi)比推理歸納推理類(lèi)比推理定義由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特 征，推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具 有這些特征的推理，或者由個(gè)別事 實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸 納推理（簡(jiǎn)稱歸納）由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其 中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出 另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理 稱為類(lèi)比推理（簡(jiǎn)稱巫）特征歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理思考：歸納推理和類(lèi)比推理的結(jié)論一定正確嗎？提示歸納推理的

2、結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系 不是必然性的，而是或然性的，結(jié)論不一定正確.類(lèi)比推理是從人們已經(jīng)掌握了 的事物的特征，推測(cè)正在被研究中的事物的特征，所以類(lèi)比推理的結(jié)果具有猜測(cè) 性，不一定可靠.2 .合情推理I歸啊排.| I合情 從同陣向 丁"文述生笆，巴 提出i比|推理一時(shí)出發(fā)內(nèi)國(guó)塞'餐比 ，-jgjI推理I|基礎(chǔ)自測(cè)1 .思考辨析（1）利用合情推理得出的結(jié)論都是正確的.（）(2)類(lèi)比推理得到的結(jié)論可以作為定理應(yīng)用.()(3)由個(gè)別到一般的推理為歸納推理.()答案(1)x (2)x (3)V2 .魯班發(fā)明鋸子的思維過(guò)程為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子”

3、能“鋸” 開(kāi)木材，它們?cè)诠δ苌鲜穷?lèi)似的.因此，它們?cè)谛螤钌弦矐?yīng)該類(lèi)似，“鋸子”應(yīng)該是齒形的.該過(guò)程體現(xiàn)了()A .歸納推理B.類(lèi)比推理C.沒(méi)有推理 D.以上說(shuō)法都不對(duì)B 推理是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程，上 述過(guò)程是推理，由性質(zhì)類(lèi)比可知是類(lèi)比推理.3 .等差數(shù)列an中有2an=an-i + an+i(n>2,且nCN*),類(lèi)比以上結(jié)論，在 等比數(shù)列bn中類(lèi)似的結(jié)論是 .2*2bn= bn ibn i(n>2,且nCN )類(lèi)比等差數(shù)列，可以類(lèi)比出結(jié)論 bn = bn-1bn一 _ * + i(n>2,且 n4)4.如圖211所示，由若干個(gè)點(diǎn)組成形如三角

4、形的圖形，每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有n(n>1, nCN*)個(gè)點(diǎn)，每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)記為 an,則a6=, an=(n>1, n C N ).coaooOUOO Tio co D O O QO(J OO 0© 00CODOOj 國(guó)m=5圖21115 3n 3 依據(jù)圖形特點(diǎn)，可知第5個(gè)圖形中三角形各邊上各有6個(gè)點(diǎn)，因此 a6=3X6 3=15.由 n=2,3,4,5,6 的圖形特點(diǎn)歸納得 an=3n 3(n>1, nW *).合作探究攻重難s VH.數(shù)、式中的歸納推理 (1)觀察下列等式: 2=1,12-22=-3,12 22 + 32 = 6,12 22 + 32 42

5、= 10, 照此規(guī)律，第 n 個(gè)等式可為 x*(2)已知：f(x)=lx,設(shè) fi(x) = f(x), fn(x) = fn I(fn i(x)(n>1,且 nCN ),則 . *f3(x)的表達(dá)式為,猜想fn(x)(n N )的表達(dá)式為.(3)已知數(shù)歹an的前n項(xiàng)和為Sn, ai=3,滿足Sn=6 2an+i(nC N*).求a2， a3， a4 的值；猜想an 的表達(dá)式.解析(1)12=1,221 -2 = (1+2),12-22+32=1 +2 + 3,1222+32 42= (1+2 +3 + 4), 12-22+ 32-42+ -+(-1)n+1n2=(1尸(1+2+n)=(

6、1產(chǎn)1nm2+1.xx.f(x) = 1x,f1(x) = 1x.又.fn(x)=fn-1(fn-1(x),xx. f2(x) = f1(f1(x) = 1 x = 1 2x ,xxf3(x)= f2(f2(x)= 1 2x = 1 4x,xxf4(x)= f3(f3(x)= 1 4x = 1 8x,xxxf5(x)=f4(f4(x)= 18x = 1 16x,根據(jù)前幾項(xiàng)可以猜想 fn(x)=12n1x.答案1222+ 3242 + .+(i)n+1n2=(_ i)n+1n(n/1(2)f3(x):1J4x x fn(x)= 1 2n 1x(3)因?yàn)?a1 = 3,且 Sn = 6 2an+1

7、(na*),3所以 S1 = 6 2a2= a1 = 3,解得 82 = 2,33又 S2 = 6 2a3= a +a2= 3+2,解得 a3=4,3 3又 S3 = 6 2a4=a1 + a2+a3 = 3 + 2 + 4,3 解彳3a4=8.33333由知 81 = 3 = 20, 82=2=21, 83=4 = 22,333*84=8 = 23,，猜想 an=2n1(nCN ).規(guī)律方法進(jìn)行數(shù)、式中的歸納推理的一般規(guī)律1 .已知等式或不等式進(jìn)行歸納推理的方法(1)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律；(2)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形式的特征；(3

8、)提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn)；(4)運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論.2,數(shù)列中的歸納推理在數(shù)列問(wèn)題中，常常用到歸納推理猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式.(1)通過(guò)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和；(2)根據(jù)數(shù)列中的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和與對(duì)應(yīng)序號(hào)之間的關(guān)系求解；(3)運(yùn)用歸納推理寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式.跟蹤訓(xùn)練1.數(shù)列5,9,17,33, x,中的x等于.65 因?yàn)?4+1=5, 8+1=9, 16+ 1 = 17,32+ 1 = 33,猜測(cè) x = 64+ 1 = 65.2 .觀察下列等式：兀 2兀 43+3 =3X1X2；22兀 3 %4 %45 + 5 + 5 + 5 =3X2X3

9、；兀 2 %3 %6 %47+7+7 + 7 =3X3X4；22兀 3兀8兀 49+9+9 + + 9 =3X4X5;照此規(guī)律，兀 2兀 3兀2n兀2n+1+2n+1+2n+1+-+ 2n+1 =4443n(n+1)通過(guò)觀察已給出等式的特點(diǎn)，可知等式右邊的 3是個(gè)固定數(shù)，3后面4第一個(gè)數(shù)是等式左邊最后一個(gè)數(shù)括號(hào)內(nèi)角度值分子中冗的系數(shù)的一半，3后面第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的下一個(gè)自然數(shù)，所以，所求結(jié)果為3XnX(n+1),即3n(n + 1)口集工 I幾何圖形中的歸納推理自1(1)黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖212的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案,則第n個(gè)圖案中有黑色地面磚的塊數(shù)是 .圖212根據(jù)圖213中

10、線段的排列規(guī)則，試猜想第 8個(gè)圖形中線段的條數(shù)為圖213解析(1)觀察圖案知，從第一個(gè)圖案起，每個(gè)圖案中黑色地面磚的個(gè)數(shù)組成首項(xiàng)為6,公差為5的等差數(shù)列，從而第n個(gè)圖案中黑色地面磚的個(gè)數(shù)為 6+ (n- 1)5 = 5n+1.(2)圖形到中線段的條數(shù)分別為1,5,13,29,因?yàn)?=223,5= 23 3,13= 243,29= 253,因此可猜想第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)應(yīng)為29-3 = 509.答案(1)5n+1 (2)509規(guī)律方法歸納推理在圖形中的應(yīng)用策略通過(guò)一組平面或空間圖形的變化規(guī)律， 研究其一般性結(jié)論，通常需形狀問(wèn)題 數(shù)字化，展現(xiàn)數(shù)學(xué)之間的規(guī)律、特征，然后進(jìn)行歸納推理.解答該類(lèi)問(wèn)題的

11、一般 策略是:守找JLL站論X 片牌隊(duì)圖加的骷胃斑普九千，尋挖劇廿登化與 SiN葭序號(hào)的美條從電幫的茅林發(fā)上現(xiàn),人車(chē),收到黑那曲 始用孤龍生-一次克化制.與上-一次;±較.酸F意比丁后桿的更牝 |看胥化壽4t列中的H衲號(hào)理阮劇，如可隨比 fe舉展也絢曲才觸據(jù)，構(gòu)設(shè)第一敏削的能工，坨.林簾即弓君姑苗打枯第一眄挈期行券大跟蹤訓(xùn)練3.如圖214所示，由火柴棒拼成白一列圖形中，第 n個(gè)圖形中由n個(gè)正方形組成:圖214通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)：第5個(gè)圖形中，火柴棒有 根；第n個(gè)圖形中，火柴棒有根.16 3n+1 數(shù)一數(shù)可知各圖形中火柴的根數(shù)依次為： 4,7,10,13,可見(jiàn)后 一個(gè)圖形比前一個(gè)圖形多3

12、根火柴，它們構(gòu)成等差數(shù)列，故第五個(gè)圖形中有火柴 棒16根，第n個(gè)圖形中有火柴棒(3n+1)根.4.根據(jù)如圖215的5個(gè)圖形及相應(yīng)的圓圈個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，試猜測(cè)第n個(gè)圖形有多少個(gè)圓圈.6 OO&Q .(1) (2)(3)(4) (5)圖215解法一：圖(1)中的圓圈數(shù)為12-0,圖(2)中的圓圈數(shù)為221,圖(3)中的 圓圈數(shù)為322,圖(4)中的圓圈數(shù)為423,圖(5)中的圓圈數(shù)為52 4,故猜測(cè)第n個(gè)圖形中的圓圈數(shù)為n2-(n-1)=n2-n+1.法二：第2個(gè)圖形，中間有一個(gè)圓圈，另外的圓圈指向兩個(gè)方向，共有2X(21)+1個(gè)圓圈；第3個(gè)圖形，中間有一個(gè)圓圈，另外的圓圈指向三個(gè)方向，每

13、個(gè)方向有兩個(gè) 圓圈，共有3X(31)+1個(gè)圓圈；第4個(gè)圖形，中間有一個(gè)圓圈，另外的圓圈 指向四個(gè)方向，每個(gè)方向有三個(gè)圓圈，共有4X(41)+1個(gè)圓圈；第5個(gè)圖形， 中間有一個(gè)圓圈，另外的圓圈指向五個(gè)方向，每個(gè)方向有四個(gè)圓圈，共有 5X(5 1)+1個(gè)圓圈；由上述的變化規(guī)律，可猜測(cè)第n個(gè)圖形中間有一個(gè)圓圈，另外的圓圈指向 n 個(gè)方向，每個(gè)方向有(n1)個(gè)圓圈，因此共有n(n1) +1 = (n2n+1)個(gè)圓圈.一|. M三|類(lèi)比推理及其應(yīng)用三角形與四面體有下列相似性質(zhì)：(1)三角形是平面內(nèi)由直線段圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形；四面體是空間中由 三角形圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形.(2)三角形可以看作是由一條

14、線段所在直線外一點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的 連線所圍成的圖形；四面體可以看作是由三角形所在平面外一點(diǎn)與這個(gè)三角形三 個(gè)頂點(diǎn)的連線所圍成的圖形.通過(guò)類(lèi)比推理，根據(jù)三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，完成下列探究點(diǎn)： 探究問(wèn)題1 .在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，那么，在四面體中，各個(gè)面的面積之間有什么關(guān)系？提示：四面體中的任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積.12 .三角形的面積等于底邊與高乘積的2,那么在四面體中，如何表示四面體 的體積？，一，一1提示：四面體的體積等于底面積與局的乘積的3.aa1 a2 a3a2n 1卜例(1)在等差數(shù)列an中，對(duì)任意的正整數(shù)n,有 2n-1=an.類(lèi)比這一

15、性質(zhì)，在正項(xiàng)等比數(shù)列bn中，有.(2)在平面幾何里有射影定理： 設(shè) ABC的兩邊ABXAC, D是A點(diǎn)在BC上 的射影，則AB2=BD BC.拓展到空間，在四面體 ABCD中，DA，平面ABC,點(diǎn) 。是A在平面BCD內(nèi)的射影，類(lèi)比平面三角形射影定理，寫(xiě)出對(duì) ABC、zBOC、 BDC三者面積之間關(guān)系，并給予必要證明.思路探究(1)類(lèi)比等差數(shù)列及等比數(shù)列的性質(zhì)求解.(2)將直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)類(lèi)比到有一側(cè)棱AD與一側(cè)面ABC垂直的四棱錐的側(cè)面ABC的面積，將此直角邊 AB在斜邊上的射影及斜邊的長(zhǎng)，類(lèi)比2到MBC在底面的射影AOBC及底面4BCD的面積可得$ ABO Srbc Sdbc.解(1

16、)由ai + a2+a2ni類(lèi)比成bi b2 b3b2ni,除以2n 1,即商類(lèi)比2n 1成開(kāi)2n1次方，即在正項(xiàng)等比數(shù)列bn中，有b1 b2 b3b2n1 = bn.2MBC、&OC、zBDC三者面積之間關(guān)系為SA ABOSZOBC SZDBC.證明如下：如圖，設(shè)直線.AD，平面 ABE,.AD1AE, AD IBC,OD與BC相交于點(diǎn)E,又.AO,平面BCD,. AOJDE, AO IBC.AD QAO = A,.BC，平面 AED,. BC1AE, BCJDE.1 Sbc = 2BC AE,2. SA ABC= Saboc Szbcd.S細(xì)oc = 2BC OE, Sbcd =

17、2BC DE.在RtzADE中，由射影定理知 AE2= OE DE,母題探究：1.（變條件）把本例（2）中的射影定理的表示換為“a= b cos C +ccosB,其中a, b, c分別為角A, B, C的對(duì)邊”.類(lèi)比上述定理，寫(xiě)出對(duì)空間 四面體性質(zhì)的猜想.解如圖所示，在四面體PABC中，S1, S2, Ss, S分別表示AFAB, zTBC,ZPCA, 3BC的面積，就丫依次表示平面FAB,平面PBC,平面PCA與底 面ABC所成二面角的大小.我們猜想射影定理類(lèi)比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為S= S1 cos a+S2 cos B+ S3 cos .2 .(變條件)把本例(2)條件換為“在

18、RtAABC中，ABXAC, ADLBC于點(diǎn)D, 有A1D2= A%2+ AC城立”.那么在四面體ABCD中，類(lèi)比上述結(jié)論，你能得到怎 樣的猜想，并說(shuō)明猜想是否正確及理由.解猜想：類(lèi)比AB必C, ADJBC,可以猜想四面體 ABCD中，AB, AC,1111AD 兩兩垂直，AEL平面BCD.則AE2= AB2+ AC2+ AD2下面證明上述猜想成立如圖所示，連接BE,并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F,連接AF.-.AB1AC, AB1AD, ACQAD = A,. AB,平面 ACD.而 AF?平面 ACD, . ABJAF. 111在 RtaBF 中，AEJBF,AE2= AB2+ AF2.111在 Rt

19、aCD 中，AFdCD,AF2= AC2+ AD2AE” AB2+ AC斗AD2,故猜想正確.規(guī)律方法類(lèi)比推理的一般步驟串嘎班十信想找出的步能削可以碑的翦時(shí)打假相V.知-上第泉附也知蚪狂.人撲擢學(xué)-選型史 訥件笠.從而得利一十持翻當(dāng)堂達(dá)標(biāo)周雙基, 一底X高1.已知扇形的弧長(zhǎng)為1,半徑為r,類(lèi)比三角形的面積公式S=2 ,可知扇形面積公式為（）r2A. 212B. 21rC. 2 D.無(wú)法確定C 扇形的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)三角形的底，扇形的半徑對(duì)應(yīng)三角形的高，因此可得扇1r形面積公式S= 2 .2.觀察如圖216所示圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫(huà)上合適的圖形為（）圖216A.匚B. C.O D. OA 觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每行、每列中，方、圓、三角三種形狀均各出現(xiàn)一次，每行、每列有兩陰影一空白，即得結(jié)果.3 .等