2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1、2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).第一試，選擇題和填空題只設(shè)7分和0分兩檔；第二試各題，請(qǐng)按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評(píng)卷時(shí)請(qǐng)參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)劃分的檔次，給予相應(yīng)的分?jǐn)?shù).第一試一、選擇題（本題滿(mǎn)分42分，每小題7分）1. 設(shè)，則 （ ）A.24. B. 25. C. . D. .【答】A.由，得，故.所以.2在A(yíng)BC中，最大角A是最小角C的兩倍，且AB7，AC8，則BC （ ）A. B. . C. . D. .【答】C.延長(zhǎng)CA至D，使ADAB，則，所以CBDDAB，所以，故，所

2、以.又因?yàn)?，所?3用表示不大于的最大整數(shù)，則方程的解的個(gè)數(shù)為 （ ）A.1. B. 2. C. 3. D. 4.【答】C.由方程得，而，所以，即，解得，從而只可能取值.當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，沒(méi)有符合條件的解；當(dāng)時(shí)，沒(méi)有符合條件的解；2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第1頁(yè)（共8頁(yè)）當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，解得.因此，原方程共有3個(gè)解.4設(shè)正方形ABCD的中心為點(diǎn)O，在以五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、O為頂點(diǎn)所構(gòu)成的所有三角形中任意取出兩個(gè)，它們的面積相等的概率為 （ ）A. B. . C. . D. .【答】B.不妨設(shè)正方形的面積為1.容易知道，以五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、O為頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角

3、形都是等腰直角三角形，它們可以分為兩類(lèi)：（1）等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)為正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)之一，這樣的三角形有4個(gè)，它們的面積都為；（2）等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)為正方形ABCD的中心O，這樣的三角形也有4個(gè)，它們的面積都為.所以以五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、O為頂點(diǎn)可以構(gòu)成448個(gè)三角形，從中任意取出兩個(gè)，共有28種取法.要使取出的兩個(gè)三角形的面積相等，則只能都取自第（1）類(lèi)或都取自第（2）類(lèi)，不同的取法有12種.因此，所求的概率為.5如圖，在矩形ABCD中，AB3，BC2，以BC為直徑在矩形內(nèi)作半圓，自點(diǎn)A作半圓的切線(xiàn)AE，則CBE （ ）A. B. . C. . D. .【答】 D.設(shè)B

4、C的中點(diǎn)為O，連接OE、CE.因?yàn)锳BBC，AEOE，所以A、B、O、E四點(diǎn)共圓，故BAECOE. 又ABAE，OC=OE，所以ABEOCE，因此，即.又CEBE，所以，故CBE.6設(shè)是大于1909的正整數(shù)，使得為完全平方數(shù)的的個(gè)數(shù)是 （ ）A.3. B. 4. C. 5. D. 6.【答】B.設(shè)，則，它為完全平方數(shù)，不妨設(shè)為（其中為正整數(shù)），則.驗(yàn)證易知，只有當(dāng)時(shí)，上式才可能成立.對(duì)應(yīng)的值分別為50，20，10，2.2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第2頁(yè)（共8頁(yè)）因此，使得為完全平方數(shù)的共有4個(gè)，分別為1959，1989，1999，2007.二、填空題（本題滿(mǎn)分28分，

5、每小題7分）1已知是實(shí)數(shù)，若是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，則的最小值是_.【答】.因?yàn)槭顷P(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，所以解得.，當(dāng)時(shí)，取得最小值.2 設(shè)D是ABC的邊AB上的一點(diǎn)，作DE/BC交AC于點(diǎn)E，作DF/AC交BC于點(diǎn)F，已知ADE、DBF的面積分別為和，則四邊形DECF的面積為_(kāi).【答】 .設(shè)ABC的面積為,則因?yàn)锳DEABC，所以.又因?yàn)锽DFBAC，所以.兩式相加得，即，解得.所以四邊形DECF的面積為.3如果實(shí)數(shù)滿(mǎn)足條件，則_.【答】 .因?yàn)?，所?由可得，從而，解得.從而，因此，即，整理得，解得（另一根舍去）.2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

6、 第3頁(yè)（共8頁(yè)）把代入計(jì)算可得，所以.4已知是正整數(shù)，且滿(mǎn)足是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對(duì)共有_對(duì).【答】 7. 設(shè)（為正整數(shù)），則，故為有理數(shù).令，其中均為正整數(shù)且.從而，所以，故，所以.同理可得（其中為正整數(shù)），則.又，所以，所以.（1）時(shí)，有，即，易求得或（3,6）或（6,3）.（2）時(shí)，同理可求得.（3）時(shí)，同理可求得或（1,2）.（4）時(shí)，同理可求得.因此，這樣的有序數(shù)對(duì)共有7對(duì)，分別為（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）.第二試 （A）一（本題滿(mǎn)分20分）已知二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)分別為A、B，與軸

7、的交點(diǎn)為C.設(shè)ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)P.（1）證明：P與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為定點(diǎn).（2）如果AB恰好為P的直徑且，求和的值.解 （1）易求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，則，.設(shè)P與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由于A(yíng)B、CD是P的兩條相交弦，它們的交點(diǎn)為點(diǎn)O，所以O(shè)A×OBOC×OD，則.2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第4頁(yè)（共8頁(yè)）因?yàn)?，所以點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，從而點(diǎn)D在軸的正半軸上，所以點(diǎn)D為定點(diǎn)，它的坐標(biāo)為(0,1). 10分（2）因?yàn)锳BCD，如果AB恰好為P的直徑，則C、D關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即. 15分又，所以，解得. 20分二（本題滿(mǎn)分25分）設(shè)CD是

8、直角三角形ABC的斜邊AD上的高，、分別是ADC、BDC的內(nèi)心，AC3，BC4，求.解 作EAB于E，F(xiàn)AB于F.在直角三角形ABC中，AC3，BC4，.又CDAB，由射影定理可得，故，. 5分因?yàn)镋為直角三角形ACD的內(nèi)切圓的半徑，所以.10分連接D、D，則D、D分別是ADC和BDC的平分線(xiàn)，所以DCDADCDB45°，故D90°，所以DD，. 15分同理，可求得，. 20分所以. 25分三（本題滿(mǎn)分25分）已知為正數(shù)，滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件： 2008年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第5頁(yè)（共8頁(yè)）證明：以為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形.證法1 將兩式相乘，得，即

9、， 10分即，即， 15分即，即，即，即，即， 20分所以或或，即或或.因此，以為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形. 25分證法2 結(jié)合式，由式可得，變形，得 10分又由式得，即，代入式，得，即. 15分， 20分所以或或.結(jié)合式可得或或.因此，以為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形. 25分第二試 （B）一（本題滿(mǎn)分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同.二 （本題滿(mǎn)分25分） 已知ABC中，ACB90°，AB邊上的高線(xiàn)CH與ABC的兩條內(nèi)角平分線(xiàn) AM、BN分別交于P、Q兩點(diǎn).PM、QN的中點(diǎn)分別為E、F.求證：EFAB. 2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第6頁(yè)（共8頁(yè)）

10、解 因?yàn)锽N是ABC的平分線(xiàn)，所以.又因?yàn)镃HAB，所以，因此. 10分又F是QN的中點(diǎn)，所以CFQN，所以，因此C、F、H、B四點(diǎn)共圓. 15分又，所以FCFH，故點(diǎn)F在CH的中垂線(xiàn)上. 20分同理可證，點(diǎn)E在CH的中垂線(xiàn)上.因此EFCH.又ABCH，所以EFAB. 25分三（本題滿(mǎn)分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同. 第二試 （C）一（本題滿(mǎn)分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同. 二（本題滿(mǎn)分25分）題目和解答與（B）卷第二題相同. 三（本題滿(mǎn)分25分）已知為正數(shù)，滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件： 是否存在以為三邊長(zhǎng)的三角形？如果存在，求出三角形的最大內(nèi)角.解法1 將兩式相乘，得，即， 10分即，即， 15分即，即，即，即，即， 20分2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第7頁(yè)（共8頁(yè)）所以或或，即或或.因此，以為三邊長(zhǎng)可構(gòu)