《歐拉方程》優(yōu)質(zhì)課件

1、上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回第十一節(jié)第十一節(jié) 歐拉方程歐拉方程 一、歐拉方程一、歐拉方程 二、小結(jié)二、小結(jié)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回解法解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過(guò)變歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過(guò)變量代換可化為常系數(shù)微分方程量代換可化為常系數(shù)微分方程.一、歐拉方程)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 的方程的方程(其中其中nppp21,形如形如叫叫歐拉方程歐拉方程.為常數(shù)為常數(shù))特點(diǎn)特點(diǎn)：各項(xiàng)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自各項(xiàng)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的方次數(shù)相同變量的方次數(shù)相同上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下

2、頁(yè)下頁(yè)返回返回作變量變換作變量變換,ln xtext 或或,1dtdyxdxdtdtdydxdy ,122222 dtdydtydxdxyd將自變量換為將自變量換為, t,2312233333 dtdydtyddtydxdxyd上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回用用D表示對(duì)自變量表示對(duì)自變量t求導(dǎo)的運(yùn)算求導(dǎo)的運(yùn)算,dtd上述結(jié)果可以寫(xiě)為上述結(jié)果可以寫(xiě)為,Dyyx ,)1()(2222yDDyDDdtdydtydyx ,)2)(1()23(232322333yDDDyDDDdtdydtyddtydyx 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回.)1()1()(ykDDDyx

3、kk 將上式代入歐拉方程，則化為以將上式代入歐拉方程，則化為以 為自變量為自變量t的常系數(shù)的常系數(shù)線(xiàn)性微分方程線(xiàn)性微分方程.求出這個(gè)方程的解后，求出這個(gè)方程的解后，t把把 換為換為 ，xln即得到原方程的解即得到原方程的解.一般地，一般地，例例求歐拉方程求歐拉方程22334xyxyxyx 的通解的通解解解作變量變換作變量變換,ln xtext 或或上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回原方程化為原方程化為,34)1()2)(1(2teDyyDDyDDD 即即,332223teDyyDyD 或或.33222233tedtdydtyddtyd (1)方程方程(1)所對(duì)應(yīng)的齊次方程為所對(duì)應(yīng)

4、的齊次方程為, 0322233 dtdydtyddtyd其特征方程其特征方程, 03223 rrr上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回特征方程的根為特征方程的根為. 3, 1, 0321 rrr所以齊次方程的通解為所以齊次方程的通解為tteCeCCY3321 設(shè)特解為設(shè)特解為,22bxbeyt 代入原方程，得代入原方程，得.21 b所給歐拉方程的通解為所給歐拉方程的通解為.2123321xxCxCCy ,22xy 即即.3321xCxCC 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回二、小結(jié)歐拉方程解法思路歐拉方程解法思路變系數(shù)的線(xiàn)變系數(shù)的線(xiàn)性微分方程性微分方程常系數(shù)的線(xiàn)常系數(shù)的線(xiàn)性微分方程性微分方程變量代換變量代換注意：歐拉方程的形式注意：歐拉方程的形式xtextln 或或上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回練練 習(xí)習(xí) 題題.ln433;ln2ln222; 0122222xxxyyxyxxxyyxyxyyxyx ：求下列歐拉方程的通解求下列歐拉方程的通解上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)