2022年2.2直接證明與間接證明學(xué)案,推薦文檔

1、2.2 直接證明與間接證明學(xué)案審核簽名：編制：編制時間： 3 月 4 日完成所需時間： 40 分鐘班級姓名第小組一 自主測試1. 分析法是從要證的結(jié)論出發(fā), 尋求使它成立的條件 . 2. 若 ab 0, 則 a+b1b+a1.( 用“ ”, “” ,“=”填空 ) 3. 要證明3+725， 可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是（填序號）. 反證法分析法綜合法4. 用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）有有理數(shù)根， 那么 a、b、c 中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設(shè)中正確的是 . 假設(shè) a、b、c 都是偶數(shù)假設(shè) a、b、c 都不是偶數(shù)假設(shè) a、b、c 至多有一個偶數(shù)

2、假設(shè) a、b、c 至多有兩個偶數(shù)5. 設(shè) a、b、c（ 0， +） ，p=a+b- c，q=b+c- a，r=c+a- b，則“ pqr 0”是“ p 、q、r同時大于零”的條件 . 二典例分析例 1（ 1）設(shè) a, b, c0, 證明：accbba222a+b+c. （2） 已知 a, b, c 為互不相等的非負(fù)數(shù). 求證： a2+b2+c2abc(a+b+c) 例2 （1）求證：372 5。（2）已知 a 0, 求證：221aa-2a+a1-2. 例3 若 x, y 都是正實數(shù)，且x+y2, 求證：yx12 與xy1 2中至少有一個成立. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - -

3、 - - - - - - - - - 第 1 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -三鞏固練習(xí)1. 用反證法證明“如果ab, 那么3a3b”假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是 . 2. 已知 ab0，且 ab=1, 若 0 c1, p=logc222ba, q=logc21ba，則 p, q 的大小關(guān)系是 . 3. 設(shè) s是至少含有兩個元素的集合. 在 s上定義了一個二元運(yùn)算“* ” （即對任意的a, bs，對于有序元素對( a, b), 在 s中有唯一確定的

4、元素a*b 與之對應(yīng)） . 若對任意的a, bs, 有a*( b*a)= b, 則對任意的a, bs，下列恒成立的等式的序號是 . （ a* b）*a=a a*( b* a) *( a*b)= a b*( b*b)=b ( a*b)* b*( a* b) =b4. 如果 a1b1c1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于a2b2c2的三個內(nèi)角的正弦值，則a1b1c1是三角形， a2b2c2是三角形 . （用“銳角” 、 “鈍角”或“直角”填空）5. 已知三棱錐sabc的三視圖如圖所示：在原三棱錐中給出下列命題： bc 平面 sac ；平面sbc 平面 sab ； sb ac . 其中正確命題的序號是 .

5、6. 對于任意實數(shù)a, b 定義運(yùn)算a* b=（a+1）( b+1)-1, 給出以下結(jié)論：對于任意實數(shù)a, b, c，有 a*( b+c)=( a* b)+( a* c); 對于任意實數(shù)a, b, c，有 a*( b*c)=( a* b)* c; 對于任意實數(shù)a, 有 a*0=a, 則以上結(jié)論正確的是 .（寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論的所有序號）7. （教材）在abc中，三個內(nèi)角a,b,c 的對邊分別為a, b, c且 a,b,c成等差數(shù)列， a, b, c成等比數(shù)列，求證abc為等邊三角形。8. （教材）已知1 tan1,2tan求證3sin24cos29. 已知 a、b、c（ 0，1） ，求證：

6、(1- a) b,(1-b) c,(1-c) a 不能同時大于41. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -參考答案一，自主測試1. 分析法是從要證的結(jié)論出發(fā), 尋求使它成立的條件 . 答案充分2. 若 a b 0, 則 a+b1b+a1.( 用“ ”, “”, “=”填空 ) 答案3. 要證明3+725，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是

7、（填序號） . 反證法分析法綜合法答案4. 用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理數(shù)根，那么a、b、c 中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設(shè)中正確的是 . 假設(shè) a、b、 c 都是偶數(shù)假設(shè) a、b、 c 都不是偶數(shù)假設(shè) a、b、 c 至多有一個偶數(shù)假設(shè) a、b、 c 至多有兩個偶數(shù)答案5. 設(shè) a、 b、c（ 0，+） ，p=a+b- c， q =b+c- a，r=c+a- b，則“ pqr 0”是“ p、q 、r同時大于零”的條件 . 答案充要二典例分析例 1設(shè) a, b, c0, 證明：accbba222a+b+c. 證明a, b, c0，根據(jù)基本不等式，有ba

8、2+b 2a,cb2+c2b,ac2+a2c. 三式相加：ba2+cb2+ac2+a+b+c2( a+b+c). 即ba2+cb2+ac2a+b+c. 變. 已知 a, b, c 為互不相等的非負(fù)數(shù). 求證： a2+b2+c2abc(a+b+c). 證明a2+b2 2ab, b2+c22bc, a2+c22ac. 又 a, b, c 為互不相等的非負(fù)數(shù)，上面三個式子中都不能取“=” ， a2+b2+c2 ab+bc+ac, ab+bc2cab2, bc+ac22abc, ab+ac2bca2, 又 a, b, c 為互不相等的非負(fù)數(shù)，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - -

9、- - - - - - - 第 3 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 6 頁 - - - - - - - - - ab+bc+acabc(a+b+c), a2+b2+c2abc(a+b+c). 例 2（ 1）略（ 2）已知 a0, 求證：221aa-2a+a1-2. 證明要證221aa-2a+a1-2, 只要證221aa+2a+a1+2. 2 分 a0, 故只要證22221aa（ a+a1+2）2, 6 分即 a2+21a+4221aa+4 a2+2+21a+22aa1+2,

10、 8 分從而只要證2221aa2aa1, 10 分只要證 4221aa 2（a2+2+21a）,即 a2+21a2, 而該不等式顯然成立，故原不等式成立. 14 分例 3若 x, y 都是正實數(shù)，且x+y2, 求證：yx12 與xy12 中至少有一個成立. 證明假設(shè)yx12 和xy12 都不成立，則有yx12 和xy12 同時成立，因為 x0 且 y0, 所以 1+x2y，且 1+y 2x，兩式相加，得2+x+y 2x+2y，所以 x+y2，這與已知條件x+y2 相矛盾，因此yx12 與xy12 中至少有一個成立. 一、填空題1. （2008南通模擬） 用反證法證明“如果ab, 那么3a3b”

11、假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是 . 答案3a=3b或3a3b精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -2. 已知 ab0，且 ab=1, 若 0 c1, p=logc222ba, q=logc21ba，則 p, q 的大小關(guān)系是 . 答案p q3. 設(shè) s是至少含有兩個元素的集合. 在 s上定義了一個二元運(yùn)算“* ” （即對任意的a, bs，對于有序元素對( a,

12、b), 在 s中有唯一確定的元素a*b 與之對應(yīng)） . 若對任意的a, bs, 有a*( b*a)= b, 則對任意的a, bs，下列恒成立的等式的序號是 . （ a* b）*a=a a*( b*a) *( a* b)= a b*( b*b)=b ( a*b)* b*( a* b) =b答案4. 如果 a1b1c1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于a2b2c2的三個內(nèi)角的正弦值，則a1b1c1是三角形， a2b2c2是三角形 . （用“銳角” 、 “鈍角”或“直角”填空）答案銳角鈍角5. 已知三棱錐sabc的三視圖如圖所示：在原三棱錐中給出下列命題： bc 平面 sac ；平面sbc 平面 sab ；

13、 sb ac . 其中正確命題的序號是 . 答案6. 對于任意實數(shù)a, b 定義運(yùn)算a* b=（a+1）( b+1)-1, 給出以下結(jié)論：對于任意實數(shù)a, b, c，有 a*( b+c)=( a* b)+( a* c); 對于任意實數(shù)a, b, c，有 a*( b*c)=( a* b)* c; 對于任意實數(shù)a, 有 a*0=a, 則以上結(jié)論正確的是 .（ 寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論的所有序號）答案二、解答題7. 略， 8 略9.已知 a、b、c（ 0，1） ，求證： (1- a) b,(1-b) c,(1- c) a 不能同時大于41. 證明方法一假設(shè)三式同時大于41，即 (1- a) b41,(1

14、-b) c41,(1- c) a41, a、b、c(0,1), 三式同向相乘得(1- a) b(1- b) c(1- c)a641. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -又 (1- a) a221aa=41, 同理（ 1- b）b41,(1- c) c41, (1- a) a(1- b) b(1- c) c641, 這與假設(shè)矛盾，故原命題正確. 方法二假設(shè)三式同時大于41， 0a1, 1-