2022年2021屆高三年級(jí)數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)_數(shù)列專題與答案

1、word 格式.可編輯專業(yè)知識(shí)整理分享2018 屆高三第二輪復(fù)習(xí)數(shù)列第 1 講等差、等比考點(diǎn)【高 考感 悟】從近三年高考看，高考命題熱點(diǎn)考向可能為：考什么怎么考題型與難度1.等差 (比 )數(shù)列的基本運(yùn)算主要考查等差、等比數(shù)列的基本量的求解題型：三種題型均可出現(xiàn)難度：基礎(chǔ)題2.等差 (比)數(shù)列的判定與證明主要考查等差、等比數(shù)列的定義證明題型：三種題型均可出現(xiàn)難度：基礎(chǔ)題或中檔題3.等差 (比)數(shù)列的性質(zhì)主要考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)題型：選擇題或填空題難度：基礎(chǔ)題或中檔題1必記公式(1)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：ana1 (n 1)d. (2)等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式： snn（a1 an）2na1n（n1

2、）d2. (3)等比數(shù)列通項(xiàng)公式：ana1qn1. (4)等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式：snna1（q1）a1（ 1qn）1qa1 anq1q（q1）. (5)等差中項(xiàng)公式：2anan1an1(n2)(6)等比中項(xiàng)公式：a2nan1an1(n2)(7)數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和與通項(xiàng)an之間的關(guān)系： ans1（ n1）sn sn1（n2）. 2重要性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：等差數(shù)列中，anam(n m)d；等比數(shù)列中，anamqnm. (2)增減性：等差數(shù)列中，若公差大于零，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若公差小于零，則數(shù)列為遞減數(shù)列等比數(shù)列中，若a10 且 q1 或 a10 且 0q1，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若a1

3、0 且 0 q1 或 a10 且 q 1，則數(shù)列為遞減數(shù)列3易錯(cuò)提醒(1)忽視等比數(shù)列的條件：判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，忽視各項(xiàng)都不為零的條件(2)漏掉等比中項(xiàng)：正數(shù)a，b 的等比中項(xiàng)是 ab，容易漏掉ab.精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -word 格式.可編輯專業(yè)知識(shí)整理分享【真 題 體 驗(yàn)】1(2015 新課標(biāo) 高考 )已知 an

4、 是公差為1 的等差數(shù)列， sn為 an的前 n 項(xiàng)和若 s84s4，則 a10 () a.172b.192c10d12 2(2015 新課標(biāo) 高考 )已知等比數(shù)列an滿足 a114，a3a54(a41)，則 a2() a2 b1 c.12d.183(2015 浙江高考 )已知 an是等差數(shù)列，公差d 不為零若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1a21，則 a1_，d_4(2016 全國卷 1)已知na是公差為3 的等差數(shù)列，數(shù)列nb滿足12111=3nnnnbba bbnb1，. （i）求na的通項(xiàng)公式； （ii）求nb的前 n 項(xiàng)和 . 【考 點(diǎn) 突 破】考點(diǎn)一、 等差（比）的基本運(yùn)算1

5、(2015 湖南高考 )設(shè) sn為等比數(shù)列 an的前 n項(xiàng)和，若 a11， 且 3s1， 2s2， s3成等差數(shù)列， 則 an_2(2015 重慶高考 )已知等差數(shù)列 an滿足 a32，前 3 項(xiàng)和 s392. (1)求 an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)等比數(shù)列 bn滿足 b1a1， b4a15，求 bn的前 n 項(xiàng)和 tn. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 20 頁 - - - -

6、- - - - -word 格式.可編輯專業(yè)知識(shí)整理分享考點(diǎn)二、 等差（比）的證明與判斷【典例 1】( 2017 全國 1 )記 sn為等比數(shù)列na的前 n項(xiàng)和，已知s2=2，s3=- 6. （1）求na的通項(xiàng)公式；（2）求 sn，并判斷sn+1，sn，sn+2是否成等差數(shù)列。. 【規(guī)律感悟】判斷和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的三種方法(1)定義法：對(duì)于n 1 的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an1an或an1an為同一常數(shù)(2)通項(xiàng)公式法：若 ana1( n1)dam(nm)d 或 anknb(nn*)，則 an為等差數(shù)列；若 ana1qn1amqnm或 anpqknb(nn*)，則 an為等比數(shù)列(3)中項(xiàng)

7、公式法：若 2anan1an1(nn*，n2)，則 an為等差數(shù)列；若 a2nan1an1(nn*，n2)，且 an0，則 an為等比數(shù)列變式： (2014 全國大綱高考 )數(shù)列 an 滿足 a11，a22，an22an1an2. (1)設(shè) bn an1an，證明 bn是等差數(shù)列；(2)求an的通項(xiàng)公式考點(diǎn)三、 等差（比）數(shù)列的性質(zhì)命題角度一與等差 (比 )數(shù)列的項(xiàng)有關(guān)的性質(zhì)【典例 2】(1)(2015 新課標(biāo) 高考 )已知等比數(shù)列an滿足 a13，a1a3a521，則 a3a5a7() a21b42c63d84 (2)(2015銅陵模擬 )已知等差數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和為 sn，且 s10

8、12，則 a5a6() a.125b12 c6 d.65精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -word 格式.可編輯專業(yè)知識(shí)整理分享命題角度二與等差 (比)數(shù)列的和有關(guān)的性質(zhì)【典例 3】(1)(2014 全國大綱高考 )設(shè)等比數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 sn.若 s23，s415，則 s6() a31 b32c63 d64 (2)(2015

9、 衡水中學(xué)二調(diào) )等差數(shù)列 an中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，則該數(shù)列前 13 項(xiàng)的和是() a13 b26 c52 d156 針對(duì)訓(xùn)練 1在等差數(shù)列 an中，若 a3a4a5a6a725，則 a2a8_2在等比數(shù)列 an中，a4a816，則 a4a5a7a8的值為 _3 若等比數(shù)列 an 的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 a10a11a9a122e5， 則 ln a1ln a2 ln a20_【鞏 固 訓(xùn) 練】一、選擇題1(2015 新課標(biāo) 高考 )設(shè) sn是等差數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和若 a1a3a53，則 s5() a5b7c9d11 2(2014 福建高考 )等差數(shù)列 an 的前 n

10、 項(xiàng)和為 sn，若 a12，s312，則 a6等于() a8 b10 c12 d14 3(2014 重慶高考 )對(duì)任意等比數(shù)列 an ，下列說法一定正確的是 () aa1，a3，a9成等比數(shù)列ba2，a3，a6成等比數(shù)列ca2，a4，a8成等比數(shù)列da3，a6，a9成等比數(shù)列4(2014 天津高考 )設(shè)an是首項(xiàng)為 a1，公差為 1 的等差數(shù)列， sn為其前 n 項(xiàng)和若 s1，s2，s4成等比數(shù)列，則 a1() a2 b2 c.12d125(2015 遼寧大連模擬 )數(shù)列an 滿足 anan1anan1(nn*)，數(shù)列 bn 滿足 bn1an，且 b1b2 b990，則 b4b6() a最大值

11、為 99 b為定值 99 c最大值為 100 d最大值為 200 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -word 格式.可編輯專業(yè)知識(shí)整理分享二、填空題6(2015 陜西高考 )中位數(shù)為1 010 的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2 015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為_7(2015 安徽高考 )已知數(shù)列 an是遞增的等比數(shù)列，a1a49， a2a38，

12、則數(shù)列 an 的前n 項(xiàng)和等于_8(2014 江西高考 )在等差數(shù)列 an 中，a17，公差為 d，前 n 項(xiàng)和為 sn，當(dāng)且僅當(dāng)n8 時(shí) sn取得最大值，則 d 的取值范圍為_三、解答題9(文)(2015 蘭州模擬 )在等比數(shù)列 an 中，已知a12，a4 16. (1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(2)若 a3， a5分別為等差數(shù)列bn的第 3 項(xiàng)和第 5 項(xiàng)，試求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 sn. 10、 (2014 湖北高考 )已知等差數(shù)列an滿足： a12，且 a1，a2， a5成等比數(shù)列(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(2)記 sn為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得 sn6

13、0n 800？若存在，求n 的最小值；若不存在，說明理由11 (2015 江蘇高考 )設(shè) a1，a2，a3，a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d(d0)的等差數(shù)列(1)證明： 2a1，2a2，2a3，2a4依次構(gòu)成等比數(shù)列；(2)是否存在a1，d，使得 a1，a22，a33， a44依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -w

14、ord 格式.可編輯專業(yè)知識(shí)整理分享第 2 講數(shù)列求和（通項(xiàng)）及其綜合應(yīng)用【高 考感 悟】從近三年高考看，高考命題熱點(diǎn)考向可能為：考什么怎么考題型與難度1.數(shù)列的通項(xiàng)公式考查等差、等比數(shù)列的基本量的求解；考查 an與 sn的關(guān)系，遞推關(guān)系等題型：三種題型均可出現(xiàn)難度：基礎(chǔ)題或中檔題2.數(shù)列的前n項(xiàng)和考查等差、等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式；考查用裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分解組合法求和 . 題型： 三種題型均可出現(xiàn)，更多為解答題難度：中檔題3.數(shù)列的綜合應(yīng)用證明數(shù)列為等差或者等比；考查數(shù)列與不等式的綜合. 題型：解答題難度：中檔題【真 題 體 驗(yàn)】1(2015 北京高考 )設(shè)an是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正

15、確的是() a若 a1a20，則 a2a30 b若 a1a30，則 a1a20 c若 0a1a2，則 a2a1a3d若 a10，則(a2a1)(a2a3)0 2(2015 武漢模擬 )已知等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 sn，a55，s515，則數(shù)列 1anan1 的前100 項(xiàng)和為 () a.100101b.99101c.99100d.1011003(2015 福建高考 )等差數(shù)列 an 中，a24，a4a715. (1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn2an2n，求 b1b2b3 b10的值精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

16、 6 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -word 格式.可編輯專業(yè)知識(shí)整理分享【考 點(diǎn) 突 破 】考點(diǎn)一、數(shù)列的通項(xiàng)公式【規(guī)律感悟】求通項(xiàng)的常用方法(1)歸納猜想法：已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可采用歸納猜想法(2)已知 sn與 an的關(guān)系，利用ans1，n1，snsn1，n2求 an.(3)累加法：數(shù)列遞推關(guān)系形如an1anf(n)，其中數(shù)列 f(n) 前 n 項(xiàng)和可求，這種類型的數(shù)列求通項(xiàng)公式時(shí)，常用累加法(疊加法 )

17、(4)累乘法：數(shù)列遞推關(guān)系如an1g(n)an，其中數(shù)列 g(n) 前 n 項(xiàng)積可求，此數(shù)列求通項(xiàng)公式一般采用累乘法(疊乘法 )(5)構(gòu)造法： 遞推關(guān)系形如an1 panq(p，q為常數(shù) )可化為 an1qp1p anqp1(p1)的形式，利用anqp1是以 p 為公比的等比數(shù)列求解遞推關(guān)系形如an1pananp(p 為非零常數(shù) )可化為1an11an1p的形式1(2015 新課標(biāo)高考)設(shè) sn是數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和，且a1 1，an1snsn1，則 sn_2(2015 銅陵模擬 )數(shù)列 an滿足13a1132a213nan3n1，n n*，則 an_3若數(shù)列 an 滿足 a13，an15

18、an133an7，則 a2 015的值為 _考點(diǎn)二、 數(shù)列的前 n 項(xiàng)和【規(guī)律感悟】1.分組求和的常見方法(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組(2)根據(jù)正號(hào)、負(fù)號(hào)分組(3)根據(jù)數(shù)列的周期性分組2裂項(xiàng)后相消的規(guī)律常用的拆項(xiàng)公式(其中 nn*) 1n（ n1）1n1n 1. 1n（nk）1k1n1nk. 1（2n 1）（ 2n1）12(12n112n1)3錯(cuò)位相減法的關(guān)注點(diǎn)(1)適用題型：等差數(shù)列 an乘以等比數(shù)列 bn對(duì)應(yīng)項(xiàng) ( anbn)型數(shù)列求和(2)步驟：求和時(shí)先乘以數(shù)列bn 的公比把兩個(gè)和的形式錯(cuò)位相減整理結(jié)果形式4倒序求和。命題角度一基本數(shù)列求和、分組求和精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - -

19、 - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -word 格式.可編輯專業(yè)知識(shí)整理分享【典例 1】(2015 湖北八校聯(lián)考 )等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 sn，數(shù)列 bn是等比數(shù)列，滿足a13，b11，b2 s210，a52b2a3. (1)求數(shù)列 an和 bn的通項(xiàng)公式；(2)令 cn2sn，n為奇數(shù)，bn，n為偶數(shù)，設(shè)數(shù)列 cn的前 n 項(xiàng)和為 tn，求 t2n. 命題角度二裂

20、項(xiàng)相消法求和【典例 2】(2015 安徽高考 )已知數(shù)列 an 是遞增的等比數(shù)列，且a1a4 9，a2a38. (1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) sn為數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和， bnan1snsn1，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 tn. 命題角度三錯(cuò)位相減法求和【典例 3】(2015 天津高考 )已知 an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列， bn是等差數(shù)列，且a1b11， b2b32a3，a53b27. (1)求 an和 bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) cnanbn， nn*，求數(shù)列 cn 的前 n 項(xiàng)和精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8

21、頁，共 20 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -word 格式.可編輯專業(yè)知識(shí)整理分享針對(duì)訓(xùn)練 1(2014 湖南高考 )已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 snn2n2，nn*. (1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn2an(1)nan，求數(shù)列 bn 的前 2n 項(xiàng)和2(2015 山東高考 )已知數(shù)列 an 是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列1anan1的前 n 項(xiàng)和為n2n1. (1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn(an1) 2an，求

22、數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和 tn. .考點(diǎn)三、 數(shù)列的綜合應(yīng)用【典例 4】(2015 陜西漢中質(zhì)檢)正項(xiàng)數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 sn滿足： s2n (n2n1)sn(n2n) 0. (1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式an；(2)令 bnn1（n2）2a2n，數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和為 tn.證明：對(duì)于任意的n n*，都有 tn564. 變式：(2015 遼寧大連模擬 )數(shù)列 an滿足 an1an2an1，a11. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - -

23、 - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -word 格式.可編輯專業(yè)知識(shí)整理分享(1)證明：數(shù)列 1an是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列 1an 的前 n 項(xiàng)和 sn，并證明1s11s21snnn1. 【鞏 固 訓(xùn) 練】一、選擇題1(2015 浙江高考 )已知 an是等差數(shù)列， 公差 d 不為零， 前 n 項(xiàng)和是 sn.若 a3，a4，a8成等比數(shù)列， 則 () aa1d0，ds40ba1d0， ds40 ca1d0，ds40 da1d0，ds40 2(2015 保定調(diào)研 )在數(shù)列 an 中，已知 a1 1，an12an1，則其通項(xiàng)公

24、式為an() a2n1 b2n11 c2n1 d 2(n1) 3(預(yù)測(cè)題 )已知數(shù)列 an滿足 an112ana2n，且 a112，則該數(shù)列的前2 015 項(xiàng)的和等于 () a.3 0232b3 023 c1 512 d3 024 4(2015 長(zhǎng)春質(zhì)檢 )設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 sn，且 a1a2 1， nsn(n 2)an為等差數(shù)列，則an() a.n2n1b.n12n11c.2n12n1d.n12n15(2015 云南第一次統(tǒng)一檢測(cè))在數(shù)列 an中， an 0，a112，如果 an1是 1 與2anan114a2n的等比中項(xiàng)，那么a1a222a332a442a1001002的值是

25、 () a.10099b.101100c.100101d.99100二、填空題精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -word 格式.可編輯專業(yè)知識(shí)整理分享6(2014 全國新課標(biāo) 高考 )數(shù)列 an滿足 an111an， a82，則 a1_7若數(shù)列 n(n4)(23)n 中的最大項(xiàng)是第k 項(xiàng)，則 k_8(2015 江蘇高考 )設(shè)數(shù)列 a

26、n滿足 a11，且 an1ann1(nn*)，則數(shù)列1an前 10 項(xiàng)的和為 _9(2015 福建高考 )若 a，b 是函數(shù) f(x) x2 pxq(p0，q0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a，b， 2 這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則pq 的值等于 _三、解答題10 (2015 湖北高考 )設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d，前 n 項(xiàng)和為 sn，等比數(shù)列 bn的公比為q.已知 b1 a1，b22，qd， s10100. (1) 求數(shù)列 an ，bn的通項(xiàng)公式；(2) 當(dāng) d1 時(shí)，記 cnanbn，求數(shù)列 cn的前 n 項(xiàng)和 tn. 11 (2014 山東高考 )已知等差數(shù)列

27、an的公差為2，前 n 項(xiàng)和為 sn，且 s1，s2，s4成等比數(shù)列(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(2)令 bn (1)n14nanan1，求數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和 tn. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -word 格式.可編輯專業(yè)知識(shí)整理分享2018 屆高三第二輪復(fù)習(xí)數(shù)列答案【真 題 體 驗(yàn)】 （第 1 講等差、等比考點(diǎn)）1

28、【解析】設(shè)等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為 a1，公差為d.由題設(shè)知d1，s8 4s4，所以 8a1284(4a16)，解得 a112，所以 a1012 9192.故選 b. 2 【解析】設(shè)等比數(shù)列 an的公比為q，a114， a3a54(a41)，由題可知q1，則a1q2a1q 44(a1q31)，116q64(14q31)，q616q3 640，(q38)20， q38， q2，a212.故選 c.3 【解析】由 a2，a3，a7成等比數(shù)列，得a23a2a7，則 2d2 3a1d，即 d32a1.又 2a1a21，所以 a123，d 1.【答案】23 1 4 【解】(1)an 3n1 (2)132

29、123nnb考點(diǎn)一、 等差（比）的基本運(yùn)算1 【解析】本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列等，結(jié)合轉(zhuǎn)化思想即可輕松求解等比數(shù)列的公比，進(jìn)而求解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式由3s1，2s2，s3成等差數(shù)列，得4s23s1s3，即 3s23s1s3s2，則 3a2a3，得公比 q 3，所以 ana1qn13n1.【答案】3n12 【解】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式，考查考生的運(yùn)算求解能力(1)將已知條件中的a3， s3用首項(xiàng) a1與公差 d 表示，求得a1， d，即可求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)結(jié)合(1)利用條件b1a1，b4a15求得公比，然后利用等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算(1)

30、設(shè) an的公差為d，則由已知條件得a12d2，3a1322d92，即 a12d2，a1d32，解得 a11，d12，故通項(xiàng)公式為an1n12，即 ann12.(2)由(1)得 b11，b4a1515128.設(shè)bn的公比為q，則 q3b4b18，從而 q2，故bn的前 n 項(xiàng)和tnb1（1qn）1q1 （12n）122n1考點(diǎn)二、 等差（比）的證明與判斷【典例 1】解：（ 1）設(shè)na的公比為q，由題設(shè)可得122(1)2,(1)6.aqaqq解得12,2qa故na的通項(xiàng)公式為( 2)nna精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 20

31、 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -word 格式.可編輯專業(yè)知識(shí)整理分享（2）由（ 1）可得11(1)22( 1)133nnnnaqsq由于3212142222( 1)2( 1)23333nnnnnnnnsss, 故12,nnnsss成等差數(shù)列變式 【解】(1)證明：由an22an1an2 得an2an1an1an2，即 bn1bn2.又 b1a2a11，所以 bn 是首項(xiàng)為1，公差為2 的等差數(shù)列(2)由(1)得 bn12(n1)，即 a

32、n1an2n1.于是，所以 an1a1n2，即 an1n2a1.又 a11，所以 an的通項(xiàng)公式為an n22n2. 考點(diǎn)三、 等差（比）數(shù)列的性質(zhì)命題角度一與等差 (比 )數(shù)列的項(xiàng)有關(guān)的性質(zhì)【解析】(1)本題主要考查等比數(shù)列的基本概念、基本運(yùn)算與性質(zhì)，意在考查考生的運(yùn)算求解能力由于 a1(1q2q4)21，a13，所以 q4q26 0，所以 q22(q2 3 舍去 )，a3a5a7q2(a1a3 a5)22142.故選 b.(2)本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)am anap aq.由 s10 12 得a1a1021012，所以 a1a10125，所以 a5a6125.故選 a.命題角度二與等差

33、(比)數(shù)列的和有關(guān)的性質(zhì)【解析】（1）在等比數(shù)列 an中， s2， s4s2，s6s4也成等比數(shù)列，故(s4 s2)2s2(s6s4)，則 (153)23(s615)解得 s663.故選 c.(2) 3(a3 a5) 2(a7 a10 a13) 24 ， 6a4 6a10 24 ， a4 a10 4 ， s1313（ a1a13）213（ a4a10）2134226.故選 b.針對(duì)訓(xùn)練 1 【解析】由 a3a4a5a6a725 得 5a525，所以 a55，故 a2a82a510.2 【解析】a4a5a7a8a4a8a5a7(a4a8)2 256.【答案】256 3 【解析】a10a11a9a

34、12 2e5，a10a11e5，ln a1 ln a2ln a2010ln(a10a11) 10 ln e550. 【鞏 固 訓(xùn) 練 】一、選擇題1 【解析】數(shù)列 an為等差數(shù)列， a1a3a53a3 3，a3 1，s55（a1a5）252a325.【答案】a 2【解析】由題知 3a1322d12， a12，解得 d2，又 a6a15d，a6 12.故選 c. 3 【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得，a3a9a260，因此 a3，a6，a9一定成等比數(shù)列故選d. 4 【解析】由題意知s22s1s4， (2a1212d)2a1(4a1432d)，把 d 1 代入整理得a112.故精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p

35、d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -word 格式.可編輯專業(yè)知識(shí)整理分享選 d. 5 【解析】將 anaa1anan1兩邊同時(shí)除以anan1可得1an11an 1，即 bn1bn1，所以 bn 是公差為d1 的等差數(shù)列，其前9 項(xiàng)和為9（b1b9）290，所以b1b920，將 b9b1 8db18，代入得b16，所以 b49，b6 11，所以 b4b6 9

36、9.故選 b.二、填空題6 【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，a12 0152 1 010，解得 a15. 【答案】5 7 【解析】a1a49，a2a38，a1a49，a1a48，則 a1， a4可以看作一元二次方程x29x8 0 的兩根，故a11a48，或a18，a41.數(shù)列 an是遞增的等比數(shù)列，a1 1，a4 8.可得公比q2，前 n 項(xiàng)和 sn2n1.8 【解析】等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和為 sn，則 snna1n（ n1）2dd2n2(a1d2)nd2n2(7d2)n，對(duì)稱軸為d27d，對(duì)稱軸介于7.5 與 8.5 之間，即7.5d27d 8.5，解得 1d78.【答

37、案】1，78三、解答題9.【解】(1)設(shè)數(shù)列 an 的公比為q， an 為等比數(shù)列，a4a1q38， q 2， an 22n12n.(2)設(shè)數(shù)列 bn的公差為d，b3a323 8，b5a52532，且 bn為等差數(shù)列，b5b3242d， d12， b1b32d 16， sn 16nn（n 1）2126n222n. 10、 【解】(1)設(shè)數(shù)列 an的公差為d，依題意， 2， 2d，24d 成等比數(shù)列，故有(2 d)22(24d)，化簡(jiǎn)得 d24d0，解得 d0 或 d4.當(dāng) d0 時(shí)， an2；當(dāng) d4 時(shí)， an2(n1) 44n2，從而得數(shù)列an 的通項(xiàng)公式為an2 或 an4n 2.(2)

38、當(dāng) an2 時(shí)， sn 2n.顯然 2n60n800，此時(shí)不存在正整數(shù)n，使得 sn 60n800 成立當(dāng) an4n2 時(shí)， snn2（ 4n2） 22n2.令 2n260n 800，即 n230n4000，解得 n40 或 n 10(舍去 )，此時(shí)存在正整數(shù)n，使得 sn60n800 成立， n 的最小值為41.綜上，當(dāng)an 2 時(shí)，不存在滿足題意的n；當(dāng) an 4n2 時(shí)，存在滿足題意的n，其最小值為41. 11 【解】(1)證明：因?yàn)?an12an2an1an2d(n1，2， 3)是同一個(gè)常數(shù)，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次構(gòu)成等比數(shù)列(2)不存在，理由如下：令a1da，則a1，

39、 a2，a3，a4分別為ad，a，ad，a2d(ad，a2d， d0)假設(shè)存在a1， d，使得 a1，a22，a33，a44依次構(gòu)成等比數(shù)列，則 a4(ad)(ad)3，且 (ad)6a2(a2d)4.令 tda，則 1(1 t)(1t)3，且 (1t)6(12t)412t1，t0 ，化簡(jiǎn)得 t32t2 20(*) ，且 t2t1.將 t2t1 代入 (*) 式，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - -

40、- 第 14 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -word 格式.可編輯專業(yè)知識(shí)整理分享t(t1)2(t1)2t23tt 13t4t10，則 t14. 顯然 t14不是上面方程的解，矛盾，所以假設(shè)不成立因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次構(gòu)成等比數(shù)列第2講數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用【真 題 體 驗(yàn)】1(2015 北京高考 )設(shè) an是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是() a若 a1a20，則 a2 a3 0 b若 a1a30，則 a1a2 0 c若 0a1a2，則 a2a1a3d若 a10，則 (a2a1)(a2a3)0 【解析】若an 是遞減的等差數(shù)列，則選項(xiàng)a、

41、b 都不一定正確若an 為公差為0 的等差數(shù)列，則選項(xiàng) d 不正確對(duì)于c 選項(xiàng)，由條件可知an為公差不為0 的正項(xiàng)數(shù)列，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)得a2a1 a32，由基本不等式得a1 a32a1a3，所以 c 正確【答案】c 2 (2015 武漢模擬 )已知等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn， a55， s515， 則數(shù)列 1anan1的前 100 項(xiàng)和為 () a.100101b.99101c.99100d.101100【解析】設(shè)等差數(shù)列 an的首項(xiàng)為a1，公差為d.a55，s515，a1 4d5，5a15（51）2d15，a11，d1，ana1 (n 1)dn.1anan11n（ n1）1n1n1

42、，數(shù)列 1anan1的前 100 項(xiàng)和為 11212131100110111101100101. 【答案】a 3(2015 福建高考 )等差數(shù)列 an 中， a24，a4a715. (1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn 2an2n，求 b1b2b3 b10的值【解】(1)設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d.由已知得a1d4，（a13d）（ a16d） 15，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

43、 15 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -word 格式.可編輯專業(yè)知識(shí)整理分享解得a1 3，d1.所以 ana1(n 1)dn2.(2)由(1)可得 bn2nn，所以 b1b2b3 b10(21) (222)(23 3)(21010)(22223210)(12310)2 （1210）12（110）102211532 101. 數(shù)列的通項(xiàng)公式（自主探究型）1當(dāng) n1 時(shí)， s1 a1 1，所以1s1 1.因?yàn)?an1sn1snsnsn1，所以1sn1sn11，即1sn11sn1，所以 1sn是以 1 為首項(xiàng)， 1 為公差的等差數(shù)列，所以1sn( 1)(n1)( 1) n，所以

44、 sn1n.2當(dāng) n1 時(shí)，13a131 1，所以 a112，當(dāng) n2 時(shí)， ：13a1132a213n1an113nan3n 1， ：13a1132a2 13n1an13(n1)1. 得：13nan(3n1)3(n1)1，即13nan3，所以 an3n1，綜上可得： an12，n1，3n1，n 2.【答案】12，n 1，3n1，n23本題主要考查利用遞推數(shù)列求數(shù)列的某一項(xiàng)，通過研究數(shù)列的函數(shù)特性來解決由于 a13，求 a21，a3 2，a43，所以數(shù)列 an是周期為3 的周期數(shù)列，所以a2 015a67132a21. 數(shù)列的前 n項(xiàng)和（多維探究型）命題角度一基本數(shù)列求和、分組求和【典例 1】

45、 (1)設(shè)數(shù)列 an的公差為d，數(shù)列 bn的公比為q，則由b2s210，a52b2a3，得q6d10，34d2q32d，解得d2，q2，所以 an32(n1)2n1，bn2n1.(2)由 a1 3，an2n 1 得 snn（a1an）2n(n2)，則 cn2n（n2），n為奇數(shù)，2n1，n為偶數(shù)，即 cn1n1n2，n為奇數(shù)，2n1，n為偶數(shù)，t2n(c1c3c2n1)(c2c4 c2n)113131512n112n1(223 22n1)112n12（14n）142n2n 123(4n1)命題角度二裂項(xiàng)相消法求和【典例 2】(1)由題設(shè)知 a1a4a2a38，又 a1a49，可解得a11，a4

46、8或a1 8a4 1(舍去 )精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -word 格式.可編輯專業(yè)知識(shí)整理分享設(shè)等比數(shù)列 an的公比為q，由 a4 a1q3得 q2，故 ana1qn12n1.(2)sna1（1qn）1 q2n1，又 bnan1snsn1sn1snsnsn11sn1sn1，所以 tnb1b2 bn1s11s21s21s31s

47、n1sn11s11sn1112n11. 命題角度三錯(cuò)位相減法求和典例 3】(1)設(shè)數(shù)列 an 的公比為 q，數(shù)列 bn的公差為d，由題意q0.由已知，有（1d）（ 1 2q） 2q，q43（1d） 7，2q2 3d2，q43d10，消去 d，整理得q42q280.又因?yàn)?q0，解得 q2，所以 d2.所以數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為an 2n1， nn*；數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式為bn2n1，nn*.(2)由(1)有 cn(2n 1) 2n1，設(shè) cn的前 n 項(xiàng)和為 sn，則sn1 20 321522 (2n3)2n2(2n1)2n1，2sn121322523(2n3)2n1(2n 1)2n，上述兩式

48、相減，得sn122232n(2n1)2n2n13(2n 1)2n (2n 3)2n3，所以， sn(2n3) 2n3，nn*. 針對(duì)訓(xùn)練 1 【解】(1)當(dāng) n1 時(shí)， a1s11；當(dāng) n2 時(shí)， ansnsn1n2n2（n1）2（ n1）2n.故數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為ann.(2)由(1)知， bn2n( 1)nn.記數(shù)列 bn的前 2n 項(xiàng)和為 t2n，則 t2n (212222n)(1 234 2n)記 a212222n，b 12342n，則a2（122n）12 22n12，b(12)(34) (2n1)2nn.故數(shù)列 bn 的前 2n 項(xiàng)和 t2nab22n1n2. 2【解】(1)設(shè)數(shù)

49、列 an的公差為d.令 n1，得1a1a213，所以 a1a23.令 n2，得1a1a21a2a325，所以 a2a315.解得 a11，d2，所以 an2n1.(2)由(1)知 bn2n 22n1n 4n，所以 tn1 412 42n 4n，所以 4tn1 422 43n 4n1，兩式相減，得3tn41 42 4nn 4n14（1 4n）14n 4n11 3n34n143.所以 tn3n194n1494（ 3n1）4n19.數(shù)列的綜合應(yīng)用（師生共研型）【典例 4】【解】(1)由 s2n(n2n1)sn(n2n) 0，得 sn(n2n)(sn1)0.由于 an 是正項(xiàng)數(shù)列，所以sn 0，snn

50、2n.于是 a1s12，n2 時(shí)， ansnsn1n2n(n1)2(n1)2n.綜上，數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為an2n.(2)證明：由于an2n，bnn1（n2）2a2n，則 bnn14n2（n 2）21161n21（n2）2.精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 20 頁 - - - - - - - - -word 格式.可編輯專業(yè)知識(shí)整理分享所 以tn116 1 1321221

51、42132152 1（n1）21（n1）21n21（n2）2 11611221（n 1）21（n2）2116 1122564. 變式： 【解】(1)證明： an1an2an 1，1an12an1an，化簡(jiǎn)得1an121an，即1an11an2，故數(shù)列 1an是以 1 為首項(xiàng)， 2 為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知1an2n1， snn（12n1）2n2. 1s11s21sn1121221n211212 31n（ n1）(112)(1213) (1n1n 1) 11n1nn 1. 【鞏 固 訓(xùn) 練】一、選擇題1【解析】由 a3，a4，a8成等比數(shù)列可得：(a13d)2(a12d) (a17d)，

52、即 3a15d0，所以 a153d，所以 a1d 0.又 ds4（a1a4）42d2(2a13d)d23d20.故選 b.2 【解析】由題意知an112(an1)，an1(a11) 2n12n，an2n1.【答案】a 3 【解析】因?yàn)閍112， 又an112ana2n， 所以a2 1， 從而a312， a4 1，即 得an12，n2k1（kn*），1，n2k（kn*），故數(shù)列的前2 015 項(xiàng)的和等于s2 0151 007(112)13 021213 0232. 【答案】a 4 【解析】設(shè) bnnsn(n 2)an，有 b14，b28，則 bn4n，即 bnnsn(n2)an4n，sn (12n)an4.當(dāng) n2 時(shí)， snsn1(12n)an(12n1)an10，所以2（ n1）nann1n1an1，即 2annan1n1，所以 ann 是以12為公比， 1 為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以ann12n 1，ann2n1.故選 a.【答案】a 5 【解析】由題意可得， a2n12anan114a2n?