大學(xué)高等數(shù)學(xué)第四章1積分的應(yīng)用ppt課件

1、積 分 的 應(yīng) 用 不定積分的運(yùn)用不定積分的運(yùn)用 定積分的運(yùn)用定積分的運(yùn)用 第四章第四章不定積分的運(yùn)用 第 一 節(jié)學(xué)習(xí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)微分方程的概念微分方程的概念 一階微分方程的求解一階微分方程的求解 微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程。如：微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程。如：1,yy sin,dyxdx3,y y 等等特點(diǎn)：特點(diǎn)： 和和 可以不出現(xiàn)，但可以不出現(xiàn)，但 的導(dǎo)數(shù)一定要出現(xiàn)。的導(dǎo)數(shù)一定要出現(xiàn)。xyy微分方程的階：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。微分方程的階：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。上面三個(gè)微分方程的階數(shù)分別是二階、一階、三階。上面三個(gè)微分方程

2、的階數(shù)分別是二階、一階、三階。微分方程的解：滿(mǎn)足微分方程的函數(shù)。微分方程的解：滿(mǎn)足微分方程的函數(shù)。特解：滿(mǎn)足微分方程且不含恣意常數(shù)的函數(shù)。特解：滿(mǎn)足微分方程且不含恣意常數(shù)的函數(shù)。通解：滿(mǎn)足通解：滿(mǎn)足 階微分方程且含階微分方程且含 個(gè)獨(dú)立恣意常數(shù)的函數(shù)。個(gè)獨(dú)立恣意常數(shù)的函數(shù)。nn課堂練習(xí)課堂練習(xí)P175 1及及2題題 例：對(duì)微分方程：例：對(duì)微分方程：22dyxy dx22yxy 即：即：21yxC 是它的解，且是通解。是它的解，且是通解。假設(shè)給定條件：假設(shè)給定條件：01xy那么可得特解：那么可得特解：211yx 0y 也是一特解，但不含于通解中，特別地稱(chēng)為奇解。也是一特解，但不含于通解中，特別地

3、稱(chēng)為奇解。稱(chēng)為初始條件。稱(chēng)為初始條件。又如：對(duì)于微分方程又如：對(duì)于微分方程 0,yy容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證 1sin ,yx2cos ,yx4sin ,yCx5cosyCx312sincos ,yCxCx都是微分方程的解。都是微分方程的解。 通解或特解？通解或特解？ 特解特解 特解特解 通解通解 既非特解也非通解既非特解也非通解 既非特解也非通解既非特解也非通解 120,xyyyyxe1xxxyexeex 12xxxyexeex 2210 xxxexexxe 20 xyxeyyy是是的解。的解。 22222,xy yxyxxyyC220 xyxyyy222xyxyyyxy y即即2222xxyyCx

4、y yxy是是的解。的解。解解 解解 由于由于所以所以一一. 可分別變量的微分方程可分別變量的微分方程 f x dxg y dy求解方法：兩邊同時(shí)積分求解方法：兩邊同時(shí)積分 f x dxg y dy理由：設(shè)理由：設(shè) yy x是該微分方程的解，那么是該微分方程的解，那么 g y dyg y xdy x f x dxg y xyx dx f x dx g y dy yy x g y xyx dx求解方法：兩邊積分求解方法：兩邊積分 f x dxg y dy yf x dx yf x 特例：特例：情形，即情形，即 dyf x dx ydyf x dx一一. 可分別變量的微分方程可分別變量的微分方程

5、f x dxg y dy兩邊積分，得兩邊積分，得 因此，形如因此，形如 的微分方程的求解方法是：的微分方程的求解方法是： yf x 兩邊直接積分，得解為兩邊直接積分，得解為 110 x yy 1010yxdydx01010ln10ln10yxC1010 xyC1010yxdydx解解 原方程可變形為分別變量原方程可變形為分別變量?jī)蛇叿e分，得兩邊積分，得 所以，原方程的通解為所以，原方程的通解為 隱函數(shù)方式隱函數(shù)方式 22yxya yy解解 原方程可變形為原方程可變形為21 ax yay201dyadxyyax21dyadxyax01ln 1aaxCy 1ln 1yaaxC0y 注注是一奇解是一

6、奇解例例2. 求以下微分方程的通解或特解：求以下微分方程的通解或特解：即即 兩邊積分，得兩邊積分，得 所以，原方程的通解為所以，原方程的通解為 30 x yxx yyeedxeedy解解 原方程可變形為原方程可變形為 11yxyxeedydxee1111yxyxded eee0ln 1ln 1yxeeC1ln 11xyeeC11xyeeC例例2. 求以下微分方程的通解或特解：求以下微分方程的通解或特解：11yxyxeedydxee兩邊積分得兩邊積分得 即即 得得 所以，原方程的通解為所以，原方程的通解為 04sin1cos0,4xxydxeydyy 解解cossin1xydxdyye0ln s

7、inln 1xyeC 1cot1xxd eydye 0ln sin1xyeCsin1xyeC將初始條件代入，得特解：將初始條件代入，得特解：sin12xye 例例2. 求以下微分方程的通解或特解：求以下微分方程的通解或特解：原方程可變形為原方程可變形為 兩邊積分兩邊積分 課堂練習(xí)課堂練習(xí)且線(xiàn)段且線(xiàn)段 PQ 被被 Y 軸平分，曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)軸平分，曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn) 求該曲線(xiàn)方程。求該曲線(xiàn)方程。 1,2 ,P x y,0Qx解：由題設(shè)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得微分方程：解：由題設(shè)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得微分方程：102yyyxxx 2ydyxdx 2202yxC 222xyC由曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)由曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)1,2 ,故這是一個(gè)多值函

8、數(shù)這是一個(gè)多值函數(shù)曲線(xiàn)方程為曲線(xiàn)方程為 yf x上任一點(diǎn)上任一點(diǎn) P 處的法線(xiàn)與處的法線(xiàn)與 X 軸有交點(diǎn)軸有交點(diǎn) Q，例例3. 設(shè)曲線(xiàn)設(shè)曲線(xiàn)C=42224,xy . 1假設(shè)假設(shè) 0 xq，那么稱(chēng)，那么稱(chēng)1為齊次的。為齊次的。假設(shè)假設(shè) 0 xq，那么稱(chēng)，那么稱(chēng)1為非齊次的。為非齊次的。 0yp x y dxxpydy可將其改寫(xiě)成可將其改寫(xiě)成對(duì)一階線(xiàn)性齊次微分方程對(duì)一階線(xiàn)性齊次微分方程這是一個(gè)可分別變量的微分方程。這是一個(gè)可分別變量的微分方程。 1ln yp x dxC 11Cp x dxp x dxCyeee dxxpCey . 2這是這是2的通解。的通解。這里這里 p x dx表示某一確定的原

9、函數(shù)，不帶恣意常數(shù)。表示某一確定的原函數(shù)，不帶恣意常數(shù)。 yp x yq x2的通解是：的通解是： dxxpCey猜測(cè)猜測(cè)1的解是：的解是： p x dxC xye xpexCexCydxxpdxxp那么那么 dxxpexqxCyy,將將代入代入1，得，得即即 CdxexqxCdxxp這種方法稱(chēng)作這種方法稱(chēng)作常數(shù)變易法。常數(shù)變易法。 . 1yp x yq x 0. 2yp x y Cdxexqeydxxpdxxp故故1的通解是：的通解是：比較方程比較方程1 1、2 2： . 1yp x yq x 0. 2yp x y2的通解是：的通解是： dxxpCey Cdxexqeydxxpdxxp1的通

10、解是：的通解是： dxxpdxxpdxxpCedxexqe非齊次線(xiàn)性微分方程的通解非齊次線(xiàn)性微分方程的通解 = 非齊次的特解非齊次的特解 + 對(duì)應(yīng)齊次的通解對(duì)應(yīng)齊次的通解 線(xiàn)性微分方程解的構(gòu)造，稱(chēng)為疊加原理。線(xiàn)性微分方程解的構(gòu)造，稱(chēng)為疊加原理。Cdxxeeyxdxxdxtantan2sin解解 這是一個(gè)一階線(xiàn)性微分方程，方程的通解為這是一個(gè)一階線(xiàn)性微分方程，方程的通解為 ln cosln cos sin 2xxexedxCCdxxxxcos12sincosCdxxxxcos12sincos2cos2sin2coscosxxdxCxCx p x dxp x dxyeq x edxC通解公式通解公

11、式 tansin2yyxx1解解 原方程的通解為原方程的通解為Cdxeeydxxxdxxx32323232Cdxeexxxxln31ln31222211331xxexedxCx221132112xxexedCx23231xyyx例例4 2湊微分湊微分 21332xxCx e2222xxyy解：將原方程化為解：將原方程化為Cdxexeyxdxxdx22222Cdxexexx2ln22ln22Cdxxxx212222 222xxC 33222xyyx例例4那么方程的通解為那么方程的通解為 課堂練習(xí)課堂練習(xí)解：將原方程化為解：將原方程化為yyyxx1lnCdyeyexdyyydyyyln1ln11C

12、dyeyeyylnlnlnln11lnlnln2lnyyCdyCyyy 4lnln0yydxxy dy例例4. p y dyp y dyxeq y edyC變通公式變通公式 原方程的通解為原方程的通解為 p y dyp y dyxeq y edyC dxp y xq ydy解：原方程可化為解：原方程可化為23yxyx332dydyyyyxeedyCCdyeyeyyln3ln322333122yyydyCCyy2620yx yy公式的變通：假設(shè)微分方程為公式的變通：假設(shè)微分方程為 那么方程的通解為那么方程的通解為 那么方程的通解為那么方程的通解為 課堂練習(xí)課堂練習(xí) nyf x型型求解方法：延續(xù)積

13、分求解方法：延續(xù)積分n次。次。例例5 1求解微分方程求解微分方程 (4)0y解解 由原方程積分得：由原方程積分得：1yC 再積分得再積分得 12yC xC 再積分得再積分得 再積分得再積分得 21232CyxC xC 32123462CCyxxC xC所以，原方程的通解為所以，原方程的通解為 321234yC xC xC xC過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)例例52設(shè)曲線(xiàn)滿(mǎn)足設(shè)曲線(xiàn)滿(mǎn)足,yx 0,1M，且在此點(diǎn)與，且在此點(diǎn)與1yx 直線(xiàn)直線(xiàn) 相切，試求該曲線(xiàn)的方程。相切，試求該曲線(xiàn)的方程。解解 由題設(shè)可知：由題設(shè)可知：212xyxdxC 01xy 可得可得11C 即：即：212xy 232126xxydxxC再由：再由：01xy得得21C 故所求曲線(xiàn)方程為故所求曲線(xiàn)方程為316xyx01xy 01