高中數(shù)學 第四章 導數(shù)應用 4.1.2 函數(shù)的極值課件5 北師大版選修1-1

1、“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”說的是廬山的高低說的是廬山的高低起伏錯落有致，在群山中各個山峰的頂端雖然不一定是群起伏錯落有致，在群山中各個山峰的頂端雖然不一定是群山的最高處，但它卻是附近的最高點山的最高處，但它卻是附近的最高點.如圖為某同學繪制的如圖為某同學繪制的廬山主峰剖面圖。廬山主峰剖面圖。問題問題1：觀察：觀察 圖像圖像 ，在區(qū)間，在區(qū)間 內(nèi)，函數(shù)值內(nèi)，函數(shù)值 有何特點？有何特點？問題問題2：函數(shù)值：函數(shù)值 在定義域內(nèi)一定是最大值嗎？在定義域內(nèi)一定是最大值嗎？問題問題3：對于函數(shù)：對于函數(shù) 在在 ， 上，其上，其單調(diào)性單調(diào)性與與導函數(shù)的符號導函數(shù)的符號有

2、有 何特點？何特點？問題問題4：函數(shù)：函數(shù) 在在 上，結論如何？上，結論如何？0( )f x( )yf x( )yg x0( ,)a x0( , )x b( , )a b0( )yg x (2)b0 xayxyb0 x( )yf x= =(1)0 xa0( )f x( )f x( , )a b（1 1）極大值：在包含）極大值：在包含 的一個區(qū)間內(nèi)的一個區(qū)間內(nèi) ，函數(shù)，函數(shù) 在在任意一點任意一點的函的函數(shù)值都數(shù)值都小于或等于小于或等于 點的函數(shù)值，稱點的函數(shù)值，稱 點為函數(shù)的極大值點，其函數(shù)值點為函數(shù)的極大值點，其函數(shù)值 為函數(shù)的極大值。為函數(shù)的極大值。（2 2）極小值：在包含）極小值：在包含

3、的一個區(qū)間內(nèi)的一個區(qū)間內(nèi) , ,函數(shù)函數(shù) 在在任意一點任意一點的函的函數(shù)值都數(shù)值都大于或等于大于或等于 點的函數(shù)值，稱點的函數(shù)值，稱 點為函數(shù)的極小值點，其函數(shù)值點為函數(shù)的極小值點，其函數(shù)值 為函數(shù)的極小值。為函數(shù)的極小值。（3）極值：極大值與極小值統(tǒng)稱為）極值：極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值極值點點。0 x0 x0 x0 x0 x0 x( )= =yf x0( )f x( )yf x= =0( )f x( , )a b( , )a byb0 x( )yf x= =(1)0 xa0( )yg x (2)b0 xayx概念辨析：概念辨析：(i

4、)(i)極值是一個極值是一個局部局部概念。由定義可知極值只是某個點的函概念。由定義可知極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或者最小。并不意味數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或者最小。并不意味它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小。它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小。(ii)(ii)函數(shù)的極值不是唯一的。即函數(shù)在某區(qū)間上或者定義函數(shù)的極值不是唯一的。即函數(shù)在某區(qū)間上或者定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個。域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個。(iii)(iii)極大值與極小值之間無確定關系。即極大值未必大于極大值與極小值之間無確定關系。即極大值未必大于極小值。極小值。(iv)(iv)函數(shù)的極

5、值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不區(qū)間的端點不能成為極值點能成為極值點。小組合作探究：（極值與導數(shù)的關系）小組合作探究：（極值與導數(shù)的關系） 結合問題結合問題3和極值的定義，如何求函數(shù)的極值呢？和極值的定義，如何求函數(shù)的極值呢？問題問題3：對于函數(shù)：對于函數(shù) 在在 ， 上，其上，其單調(diào)性單調(diào)性與與導函數(shù)的符號導函數(shù)的符號有有 何特點？何特點？( )f x0( ,)a x0( , )x byb0 x( )yf x= =(1)0 xa0( )yg x (2)b0 xayx如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上是遞減的，在區(qū)間上是遞減的，在區(qū)間 上上 是遞增的，則是

6、遞增的，則 是極小值點，是極小值點， 是極小值。是極小值。 如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上是遞增的，在區(qū)間上是遞增的，在區(qū)間 上上 是遞減的，則是遞減的，則 是極大值點，是極大值點， 是極大值。是極大值。函數(shù)極值的判定函數(shù)極值的判定 （1）根據(jù)定義，利用函數(shù)單調(diào)性判別：）根據(jù)定義，利用函數(shù)單調(diào)性判別： 如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上是遞增的，在區(qū)間上是遞增的，在區(qū)間 上上 是遞減的，則是遞減的，則 是極大值點，是極大值點， 是極大值。是極大值。 如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上是遞減的，在區(qū)間上是遞減的，在區(qū)間 上上 是遞增的，則是遞增的，則 是極小值點，是極小值點， 是極小值。是極

7、小值。( )yf x( )yf x0( ,)a x0( ,)a x0( , )x b0( , )x b0( )f x0( )f x0 x0 x（2 2）利用導數(shù)和單調(diào)性的關系，圖表判別：）利用導數(shù)和單調(diào)性的關系，圖表判別： 極大值的判定極大值的判定+0- 增加極大值 減小( )fx( )yf x x0( ,)a x0 x0(, )x b極小值的判定極小值的判定-0+ 減小極小值 增加( )fx( )yf x 0( ,)a x0 x0(, )x bx例例1 1 求下列函數(shù)的極值求下列函數(shù)的極值. .（1 1）（2 2）32( )-3-95;f xxxx ln( );xf xx 例例1: 1: 求

8、下列函數(shù)的極值求下列函數(shù)的極值. .（1 1）（2 2） 求函數(shù)求函數(shù) 的極值點的步驟：的極值點的步驟： 1. 確定函數(shù)確定函數(shù) 定義域，并求出導數(shù)定義域，并求出導數(shù) . 2. 解方程解方程 . 3. 對于方程對于方程 的每個解的每個解 ，分析，分析 在左右兩側的符號在左右兩側的符號 （即（即 的單調(diào)性），確定極值點：的單調(diào)性），確定極值點： （1）若）若 在在 兩側的符號兩側的符號“左正右負左正右負”，則，則 為極大值點；為極大值點； （2）若）若 在在 兩側的符號兩側的符號“左負右正左負右正”，則則 為極小值點；為極小值點； （3）若）若 在在 兩側的符號相同，則兩側的符號相同，則 不是極

9、值點不是極值點.32( )-3-95;f xxxx ln( ).xf xx ( )yf x( )f x( )f x( )f x( )f x( )f x0( )f x 0( )f x 0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x( )f x( )f x解：由題意得解：由題意得 0+0+ 增加 增加x(,0)(0,)( )fx( )yf x 由極值的定義得，此函數(shù)無極值由極值的定義得，此函數(shù)無極值.例例2:2:判斷函數(shù)判斷函數(shù) 有無極值有無極值. .2( )3;fxx 3( )f xx 2( )0,30,0;fxxx 令令得得即即 對于可導函數(shù)，對于可導函數(shù)，導數(shù)為零的點不一定是極值點，導數(shù)為零的點

10、不一定是極值點， 而極值點的而極值點的導數(shù)一定為零導數(shù)一定為零。導數(shù)為零是函數(shù)有極值的。導數(shù)為零是函數(shù)有極值的必要不充分條件必要不充分條件。練習：求函數(shù)練習：求函數(shù) 的極值的極值.43( )-45f xxx 解：由題意得函數(shù)的定義域為解：由題意得函數(shù)的定義域為r322( )4-124( -3);fxxxx x 2124(-3)0 0, 3 ;xxxx解解方方程程 ， ， 得得0(0,3)3+極小值極小值故當故當 時，函數(shù)有極小值時，函數(shù)有極小值3x (3)-22.f x( )fx( )f x(,0)(0,+ ) 鏈接高考：鏈接高考：例例3：若函數(shù)：若函數(shù) 在在r上只有一個零點，求上只有一個零點

11、，求 常數(shù)常數(shù)k的取值范圍的取值范圍.3( )26f xxxk規(guī)律方法：規(guī)律方法：1、本題的關鍵是根據(jù)單調(diào)性和極值的關系畫草圖。、本題的關鍵是根據(jù)單調(diào)性和極值的關系畫草圖。2、極值問題的綜合應用主要涉及到極值的正用和、極值問題的綜合應用主要涉及到極值的正用和逆用，以及與單調(diào)性問題的綜合。逆用，以及與單調(diào)性問題的綜合。互動探究互動探究 在本例中，若函數(shù)在在本例中，若函數(shù)在r上恰有三個不同的零上恰有三個不同的零點，求常數(shù)點，求常數(shù)k的取值范圍的取值范圍.求函數(shù)求函數(shù) 的極值點的步驟：的極值點的步驟：（1）求函數(shù)定義域；）求函數(shù)定義域；（2）求出導數(shù)）求出導數(shù) （3）解方程）解方程 （4）列表，判斷極值）列表，判斷極值.課堂小結課堂小結:（1）通過本節(jié)課的學習，學生要掌握求函數(shù)極值的基本步驟。）通過本節(jié)課的學習，學生要掌握求函數(shù)極值的基本步驟。( ) ;fx( )0 ;fx （2）對于可導函數(shù)，）對于可導函數(shù)，導數(shù)為零的點不一定是極值點，導數(shù)為零的點不一定是極值點， 而極值點的而極值點的 導數(shù)一定為零導數(shù)一定為零。導數(shù)為零是函數(shù)有極值的必要不充分條件。導數(shù)為零是函數(shù)有極值的必要不充分條件。（3）函數(shù)極值是函數(shù)部分區(qū)域的特征，極值點一定是某一區(qū)間內(nèi)）函數(shù)極值是函數(shù)部分區(qū)域的特征，極