金屬罐鑄造廠生產(chǎn)計劃的優(yōu)化分析模型介紹

1、論文題目：金屬罐鑄造廠生產(chǎn)計劃的優(yōu)化分析模型摘 要 本文使用線性規(guī)劃的方法建立了生產(chǎn)計劃的優(yōu)化模型，合理規(guī)劃了該工廠的日生產(chǎn)計劃，使其日盈利最大，最大利潤為4450元。問題一通過建立線性規(guī)劃模型，并利用管理運籌學軟件求得結(jié)果，對工廠每天的生產(chǎn)計劃進行了合理的安排，使日盈利達到最大。問題二根據(jù)靈敏度分析原理通過改變資源數(shù)量分析了資源投入變化對生產(chǎn)計劃的影響；并通過對產(chǎn)品的資源效益和影子價格的討論，分析了當前資源的利用情況。問題三根據(jù)靈敏度分析原理，通過改變價值系數(shù)來分析各種產(chǎn)品單位利潤的變化對生產(chǎn)的影響。問題四利用靈敏度分析的方法和對偶問題的方法提出了兩種B型產(chǎn)品（問題一中求得的不允許生產(chǎn)的產(chǎn)品

2、）的投產(chǎn)條件：一是提高B型產(chǎn)品的價格，二是降低B型產(chǎn)品生產(chǎn)的成本。問題五根據(jù)靈敏度分析原理，并通過計算知新產(chǎn)品E的生產(chǎn)無利可圖，現(xiàn)階段最好不要開發(fā)新產(chǎn)品E。最后，通過分析上述問題的結(jié)果，結(jié)合實際意義，對該工廠的生產(chǎn)方案提出了一些相應的意見和建議。關鍵字：線性規(guī)劃 靈敏度分析 對偶理論 改進方案 一、問題的提出與分析問題重述北方某金屬罐鑄造廠的主要產(chǎn)品有4種，分別由代號A,B,C,D表示。近年來，產(chǎn)品銷售情況良好，預測結(jié)果表明，需求還有進一步擴大的趨勢，客戶希望能有更多的不同功能的新產(chǎn)品問世。工廠面臨著進一步擴大再生產(chǎn)，努力開發(fā)適銷對路新產(chǎn)品的問題。生產(chǎn)A,B,C,D 4種金屬罐主要經(jīng)過4個階段

3、:第1階段是沖壓：金屬板經(jīng)沖壓機沖壓，制造成金屬罐所需要的零件；第2階段是成型：在該車間里把零件制成符合規(guī)格的形狀；第3階段是裝配：在裝配車間，各種成型的零件按技術要求焊接在一起成為完整的金屬罐；最后階段為噴漆：裝配好的金屬罐送到噴漆車間被噴上防火的瓷漆裝飾外表。根據(jù)工藝要求及成本核算單位產(chǎn)品所需的加工時間、利潤以及可供使用的總工時如表1所示。表1 單位產(chǎn)品所需加工時間、利潤及可利用工時表產(chǎn)品工時/件工序ABCD可利用總工時（min/天）沖 壓成 形裝 配噴 漆1446182412581554480240020003000單產(chǎn)利潤（元）96118該廠僅有一臺沖壓機，每天工作8h，共計480mi

4、n 可供加工用。另有若干個成型中心，裝配中心、噴漆中心分屬各車間，除承擔本廠生產(chǎn)任務外，還承擔著科研試驗，新產(chǎn)品開發(fā)試制等項工作，因此這些生產(chǎn)中心每天可利用的總計時間分別不超過2400min、2000min和3000min?？紤]以下問題：1、根據(jù)當前的生產(chǎn)條件，工廠每天的生產(chǎn)計劃如何安排；2、對當前資源的利用情況進行分析，并說明資源投入變化時產(chǎn)生的影響；3、分析各種產(chǎn)品單位利潤的變化對生產(chǎn)的影響；4、如果按最優(yōu)生產(chǎn)方案某種產(chǎn)品不允許生產(chǎn)，給出該產(chǎn)品投產(chǎn)的條件；5、為滿足市場需求，開發(fā)新產(chǎn)品，該廠計劃引進1種新型金屬罐技術，生產(chǎn)E型金屬罐。根據(jù)統(tǒng)計，得知生產(chǎn)1個E型金屬罐需要1min沖壓時間、1

5、min成形時間、6min裝配時間、12min噴漆時間，單位產(chǎn)品利潤為13元。在試制及制定生產(chǎn)計劃之前，研究其投產(chǎn)效果，以便給出是否投產(chǎn)的決策。問題分析分析題目可知：問題1可建立線性規(guī)劃模型，利用軟件或單純形法求解即可得到結(jié)果。問題2可根據(jù)靈敏度分析原理，通過改變資源數(shù)量分析資源投入變化對生產(chǎn)計劃的影響；通過資源效益分析和影子價格來分析當前資源的利用情況。問題3可通過改變價值系數(shù)分析各種產(chǎn)品單位利潤的變化對生產(chǎn)的影響。問題4可利用靈敏度分析的方法和對偶問題的方法找出不允許生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的投產(chǎn)條件。問題5可根據(jù)靈敏度分析原理得到是否投產(chǎn)的決策。二、基本假設1. 不同種類的產(chǎn)品加工不考慮先后順序。2

6、. 所有機器均能正常使用。3. 在生產(chǎn)期間無次品出現(xiàn)。三、符號說明：每天的產(chǎn)品總利潤（元）：產(chǎn)品的日產(chǎn)量（件）：產(chǎn)品生產(chǎn)過程中所需要的各工序加工工時向量（其中=1，2，3，4分別對應產(chǎn)品A，產(chǎn)品B，產(chǎn)品C，產(chǎn)品D）四、模型的建立與求解1分析題目知，這是一個線性規(guī)劃問題，可用線性規(guī)劃模型求解。 此模型可用管理運籌學軟件和單純形法求解，用管理運籌學軟件求解結(jié)果見附錄1。若用單純形表求解，加入松弛變量，初始表如下：表2 初始表961180000048011111000024004825010002000425500100300064840001961180000表3 最終表（最優(yōu)表）96118000

7、09400130050-100610000-18100-01-0-11700-10-044500-00-0-由表3可知，計算所得的最優(yōu)解為：=（400，0，70，10，0，610，0，0）目標函數(shù)最大值為： 4450這就是說，為了使日產(chǎn)利潤最大，每天的生產(chǎn)計劃應安排如下：生產(chǎn)A型產(chǎn)品400個，C型產(chǎn)品70個，D型產(chǎn)品10個，而不生產(chǎn)B型產(chǎn)品，這樣日生產(chǎn)的總利潤可達4450元。2對當前資源的利用情況的分析： 可利用軟件直接求出當前資源的利用情況和資源投入的范圍（見附錄1的常數(shù)項數(shù)范圍），或通過靈敏度分析的方法求解（如下）。假設沖壓工序可利用的工時為，若該工廠不想改變生產(chǎn)計劃，則計算令 解得 即在

8、其他條件不變的情況下，當沖壓工序可利用的工時在400，500分鐘內(nèi)變動時，不改變生產(chǎn)計劃；否則該工廠將改變生產(chǎn)計劃。同理，在其他條件不變的情況下：假設成型工序可利用的工時為，則當，即當成型工序可利用的工時至少為1790分鐘時，不改變生產(chǎn)計劃；否則該工廠將改變生產(chǎn)計劃。假設裝配工序可利用的工時為，則當，即當裝配工序可利用的工時在1980，2400分鐘內(nèi)變動時，不改變生產(chǎn)計劃；否則該工廠將改變生產(chǎn)計劃。假設噴漆工序可利用的工時為，則當，即當噴漆工序可利用的工時在2720，3040分鐘內(nèi)變動時，不改變生產(chǎn)計劃；否則該工廠將改變生產(chǎn)計劃。而由表3（最終表）可看出，其中，而，這說明沖壓，裝配和噴漆三個工

9、序可利用的工時都已經(jīng)全部用完，而成形工序剩余610分鐘時間未被利用。根據(jù)附錄1的結(jié)果分析相應的影子價格（機會成本）知：沖壓時間的影子價格是2.5元，裝配時間的影子價格是0.5元，噴漆時間的影子價格是0.75元，其經(jīng)濟意義是上述三種工序的工時每增加（或減少）1分鐘，分別會使總利潤上升（或下降）2.5元、0.5元、0.75元。而成形時間的影子價格為0，即無論時間增減對總利潤均不產(chǎn)生影響。沖壓時間的影子價格為2.5元，在所有工序中最高，這說明沖壓工序是生產(chǎn)的關鍵，因此該工廠應設法增加沖壓工時，從而能較大程度的提高產(chǎn)品總利潤。3分析各種產(chǎn)品單位利潤的變化對生產(chǎn)的影響 可利用軟件直接求出各種產(chǎn)品單位利潤

10、的變化對生產(chǎn)的影響（見附錄1的目標函數(shù)系數(shù)范圍），或通過靈敏度分析的方法求解（如下）。假設A產(chǎn)品的單產(chǎn)利潤由9元變?yōu)樵?，則對應的最終單純型表變?yōu)椋罕? 修改表61180000400130050-100610000-18100-01-0-11700-10-00000-則當 ，即當 時，生產(chǎn)方案不變（在其他條件保持不變的情況下）。若超出此范圍，則會影響生產(chǎn)方案。同理，在其他條件保持不變的情況下：假設B產(chǎn)品的利潤由6元變?yōu)樵敃r，生產(chǎn)方案不變。假設C產(chǎn)品的利潤由11元變?yōu)樵?，則當時，生產(chǎn)方案不變。假設D產(chǎn)品的利潤由8元變?yōu)樵?，當時，生產(chǎn)方案不變。4B型產(chǎn)品投產(chǎn)的條件 由上述最優(yōu)生產(chǎn)計劃可知，B型產(chǎn)

11、品的日生產(chǎn)量為0（），但若市場上對B型產(chǎn)品是有需求的，則需要生產(chǎn)B產(chǎn)品。下從靈敏度分析角度討論B型產(chǎn)品投產(chǎn)的條件，主要考慮兩種途徑：一是提高B產(chǎn)品的單位利潤（增大），二是減少B型產(chǎn)品生產(chǎn)加工的工時資源（降低成本）。 （1）提高B產(chǎn)品的單位利潤 假設是B產(chǎn)品新的單位利潤，由，可得 因此 令，即，說明只要B型產(chǎn)品的利潤由原來的6元提高到6.5元以上，那么，生產(chǎn)B型產(chǎn)品就有經(jīng)濟效益。另外，從用管理運籌學軟件求解的輸出結(jié)果中（見附錄1），最優(yōu)解，對應的相差值等于0.5，說明當利潤為6元時產(chǎn)品B不利于生產(chǎn)，只有當其單位利潤增加0.5元時，生產(chǎn)該產(chǎn)品才有利可圖。 （2）減少B型產(chǎn)品生產(chǎn)加工的工時 可從原問

12、題的對偶問題考慮。假設該工廠打算把沖壓、裝配、成型、噴漆四道工序的設備出租（或用于其它用途），設（）分別為決策變量（）的對偶變量，即設（）分別表示產(chǎn)品A、B、C、D出租的底價，則可把原線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為對偶問題： min 由管理運籌學軟件可求得對偶問題的最優(yōu)解為：（附錄2）假設分別為B型產(chǎn)品在沖壓、成形、裝配、噴漆四道工序所用的工時的減少量，則把它們代入對偶問題的第2個約束條件中， 且令 再將代入，可求出因此，只要B型產(chǎn)品沖壓時間由1分鐘降低到（1-0.2）=0.8分鐘以下，或裝配時間由2分鐘降低到（2-1）=1分鐘以下，或噴漆時間由4分鐘降低到（4-）=分鐘以下，則生產(chǎn)B型產(chǎn)品可帶來經(jīng)濟效益

13、。且由上述結(jié)果知，B型產(chǎn)品對成型時間沒有要求。5開發(fā)新產(chǎn)品E的條件設為E型產(chǎn)品生產(chǎn)過程中所需要的各工序加工時間向量，則，所以有這說明，如果安排E型產(chǎn)品生產(chǎn)，則每生產(chǎn)一件就會使總利潤降低1.5元，即產(chǎn)品E的生產(chǎn)不具有價值，無利可圖。因此，在現(xiàn)階段最好不要投產(chǎn)產(chǎn)品E。五、結(jié)論分析及現(xiàn)實意義1.如果不考慮產(chǎn)品品種是否齊全的問題及B型產(chǎn)品的市場需求，則原始最優(yōu)生產(chǎn)計劃是可行的，即只需要安排生產(chǎn)A型產(chǎn)品400個，C型產(chǎn)品70個，D型產(chǎn)品10個，即可使該工廠的日總利潤達最大，為4450元。2.當沖壓、成型、裝配、噴漆工序可利用的總工時在一定的范圍內(nèi)變動時，即當 ， （單位：分鐘）時，將不會影響生產(chǎn)計劃。而

14、由表3（最終單純形表）或附錄1的求解結(jié)果可知，成形工序有610分鐘工時未被利用，造成資源的浪費。因此建議該工廠對資源的分配進行合理的調(diào)整，例如可以將多余的成形設備用于開發(fā)新產(chǎn)品或出租出去。3.當產(chǎn)品A，產(chǎn)品B，產(chǎn)品C，產(chǎn)品D的利潤值在一定的范圍內(nèi)變動時，即當 或 或 或 （單位：元）時，將不會影響生產(chǎn)計劃。若想改變生產(chǎn)方案，可改變產(chǎn)品的價格。4.假設市場上對B型產(chǎn)品有需求，則需要生產(chǎn)B型產(chǎn)品，這時應該設法改進B型產(chǎn)品的生產(chǎn)條件：第一可考慮提高單位產(chǎn)品的利潤，使其達到6.5元以上，這點可以通過開發(fā)產(chǎn)品的新功能實現(xiàn)；第二考慮減少單位產(chǎn)品的加工工時，即減少資源的消耗，從而可以降低成本，由上面的計算過

15、程知，當沖壓時間減少0.2分鐘，或裝配時間減少1分鐘，或噴漆時間減少分鐘時，生產(chǎn)B型產(chǎn)品是有利可圖的。5.現(xiàn)階段，新開發(fā)的E型產(chǎn)品投產(chǎn)的條件還不成熟，由于生產(chǎn)E型產(chǎn)品會使總利潤下降，因此目前情況下不應該盲目投產(chǎn)E型產(chǎn)品。建議該工廠先對產(chǎn)品進行深入的研究與實驗，并做市場調(diào)查，然后再考慮投產(chǎn)的問題。六、模型分析 本文用的是線性規(guī)劃模型，同時運用靈敏度分析和對偶理論的方法。線性規(guī)劃模型的優(yōu)點是模型簡單，易于理解，容易接受，運算也較為簡單；不足之處在于它不適用于非線性和較為復雜的情況。靈敏度分析可方便、準確地討論數(shù)據(jù)的變化對線性規(guī)劃問題最優(yōu)解的影響。對偶理論則應用于產(chǎn)品資源效益和影子價格的分析。參考文

16、獻：1運籌學教材編寫組，運籌學，北京：清華大學出版社，2009。2鄧成梁，運籌學的原理和方法，武漢：華中科技大學出版社，2002。3韓中庚，實用運籌學 模型、方法與計算，北京：清華大學出版社，2007。附錄1：利用軟件求得的結(jié)果為：*最優(yōu)解如下* 目標函數(shù)最優(yōu)值為 : 4450 變量 最優(yōu)解 相差值 - - - x1 400 0 x2 0 .5 x3 70 0 x4 10 0 約束 松弛/剩余變量 對偶價格 - - - 1 0 2.5 2 610 0 3 0 .5 4 0 .75 目標函數(shù)系數(shù)范圍 : 變量 下限 當前值 上限 - - - - x1 8.833 9 9.5 x2 無下限 6 6.5 x3 10 11 11.333 x4 7 8 9 常數(shù)項數(shù)范圍 : 約束 下限 當前值 上限 - - - - 1 400 480 500 2 1790 2400 無上限 3 1980 2000 2400 4 2720 3000 3040附錄2：對偶問題的解： *最優(yōu)解如下* 目標函數(shù)最優(yōu)值為 : 4450 變量 最優(yōu)解 相差值 - - - x1 2.