復(fù)變函數(shù)與積分變換經(jīng)典PPT—復(fù)變函數(shù)第五章小結(jié)與習(xí)題

1、x xy yz zs sn np p復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換第五章第五章 留數(shù)留數(shù)1. 孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)2. 留數(shù)留數(shù)3. 留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用4. 對數(shù)留數(shù)與輻角原理對數(shù)留數(shù)與輻角原理5. 第五章小結(jié)與習(xí)題第五章小結(jié)與習(xí)題第五章 留數(shù)小結(jié)與習(xí)題重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)與難點(diǎn)1內(nèi)容提要內(nèi)容提要2典型例題典型例題33一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：重點(diǎn)：難點(diǎn)：難點(diǎn)：留數(shù)的計(jì)算與留數(shù)定理留數(shù)的計(jì)算與留數(shù)定理留數(shù)定理在定積分計(jì)算上的應(yīng)用留數(shù)定理在定積分計(jì)算上的應(yīng)用二、內(nèi)容提要二、內(nèi)容提要留數(shù)留數(shù)計(jì)算方法計(jì)算方法可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)極點(diǎn)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)函

2、數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系極點(diǎn)的關(guān)系對數(shù)留數(shù)對數(shù)留數(shù)留數(shù)定理留數(shù)定理留數(shù)在定積留數(shù)在定積分上的應(yīng)用分上的應(yīng)用 cdzzf)(計(jì)計(jì)算算20123aix.r(sin,cos)d ;.f ( x )dx;.r( x )edx 輻角原理輻角原理路西原理路西原理1）定義定義 如果如果函數(shù)函數(shù))(zf0z在在 不解析不解析, 但但)(zf在在0z的某一去心鄰域的某一去心鄰域 00zz內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析, 則稱則稱0z)(zf為為的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn).1. 孤立奇點(diǎn)的概念與分類孤立奇點(diǎn)的概念與分類孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)奇點(diǎn)奇點(diǎn)2）孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類依據(jù)依據(jù))(zf在其孤立奇點(diǎn)在其孤立奇點(diǎn)0z的去

3、心鄰域的去心鄰域 00zz內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類:i) 可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn); ii) 極點(diǎn)極點(diǎn); iii) 本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn).定義定義 如果洛朗級數(shù)中不含如果洛朗級數(shù)中不含 的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng), 那末那末0zz 0z)(zf孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn) 稱為稱為 的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn). i) 可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)ii) 極點(diǎn)極點(diǎn) , )()(1)(0zgzzzfm 01012020)()()()(czzczzczzczfmm 0, 1 mcm )(01zzc0zz 定義定義 如果洛朗級數(shù)中只有有限多個如果洛朗級數(shù)中只有有限多個的的10)( zz,)(0mzz 負(fù)冪項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng), 其中關(guān)于

4、其中關(guān)于的最高冪為的最高冪為即即級極點(diǎn)級極點(diǎn).0z)(zfm那末孤立奇點(diǎn)那末孤立奇點(diǎn)稱為函數(shù)稱為函數(shù)的的或?qū)懗苫驅(qū)懗蓸O點(diǎn)的判定方法極點(diǎn)的判定方法0z在點(diǎn)在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)mzzzgzf)()()(0 其中其中 在在 的鄰域內(nèi)解析的鄰域內(nèi)解析, 且且 )(zg0z. 0)(0 zg)(zf的負(fù)冪項(xiàng)為有的負(fù)冪項(xiàng)為有0zz 的洛朗展開式中含有的洛朗展開式中含有限項(xiàng)限項(xiàng).(a) 由定義判別由定義判別(b) 由定義的等價形式判別由定義的等價形式判別(c) 利用極限利用極限 )(lim0zfzz判斷判斷 .如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個0zz 那末孤立奇點(diǎn)那末孤立奇點(diǎn)

5、0z稱為稱為)(zf的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn).的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng),注意注意: 在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi))(lim0zfzz不存在且不不存在且不為為. iii) )本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)i) 零點(diǎn)的定義零點(diǎn)的定義不恒等于零的解析函數(shù)不恒等于零的解析函數(shù))(zf如果如果能表示成能表示成),()()(0zzzzfm )(z 0z其中其中在在解析且解析且, 0)(0 zm為某一正整數(shù)為某一正整數(shù), 那末那末0z稱為稱為)(zf的的 m 級零點(diǎn)級零點(diǎn). 3)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系ii)零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系如果如果0z是是)(zf的的 m 級極點(diǎn)級極點(diǎn), 那末那末0z就是

6、就是)(1zf的的 m 級零點(diǎn)級零點(diǎn). 反過來也成立反過來也成立. 2. 留數(shù)留數(shù)記作記作.),(res0zzf域域內(nèi)內(nèi)的的洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)中中負(fù)負(fù).)(101的系數(shù)的系數(shù)冪項(xiàng)冪項(xiàng) zzc為為中中心心的的圓圓環(huán)環(huán)在在即即0)(zzf定義定義0z的的內(nèi)包含內(nèi)包含)(0zfz 為函數(shù)為函數(shù)的一個孤立奇點(diǎn)的一個孤立奇點(diǎn), 則沿則沿rzzz 000的的某某個個去去心心鄰鄰域域在在任意一條簡單閉曲線任意一條簡單閉曲線 c 的積分的積分 czzfd)(的值除的值除i 2后所得的數(shù)稱為后所得的數(shù)稱為.)(0的留數(shù)的留數(shù)在在zzf以以如果如果1)留數(shù)定理留數(shù)定理nzzz,21外處處解析外處處解析, c 是是

7、d內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線條正向簡單閉曲線, 那末那末 nkkczzfizzf1),(res2d )(留數(shù)定理將沿封閉曲線留數(shù)定理將沿封閉曲線c積分轉(zhuǎn)化為求被積積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在函數(shù)在c內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).)(zf在區(qū)域在區(qū)域 d內(nèi)除有限個孤立奇點(diǎn)內(nèi)除有限個孤立奇點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)(1) 如果如果0z為為)(zf的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn), 則則. 0),(res0 zzf)()(lim),(res0000zzfzzzzfzz 如果如果 為為 的一級極點(diǎn)的一級極點(diǎn), 那末那末0z)(zf a) (2) 如果如果0z為為的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn), 則需將則需將

8、成洛朗級數(shù)求成洛朗級數(shù)求1 c)(zf)(zf展開展開(3) 如果如果0z為為的極點(diǎn)的極點(diǎn), 則有如下計(jì)算規(guī)則則有如下計(jì)算規(guī)則)(zf2)留數(shù)的計(jì)算方法留數(shù)的計(jì)算方法 c)如果如果,0)(,0)(,0)(000 zqzqzp那末那末0z設(shè)設(shè),)()()(zqzpzf )(zp及及)(zq在在0z都解析，都解析，為一級極點(diǎn)為一級極點(diǎn), 且有且有.)()(),(res000zqzpzzf 如果如果 為為 的的 級極點(diǎn)級極點(diǎn), 那末那末0z)(zfm)()(ddlim)!1(1),(res01100zfzzzmzzfmmmzz b).),(res1 czf也可也可定義為定義為 czzfid)(21記

9、作記作 czzfizfd)(21),(res1.定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(zf在圓環(huán)域在圓環(huán)域 z0內(nèi)解析內(nèi)解析c為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡單閉曲線為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡單閉曲線值為值為)(zf在在 的留數(shù)的留數(shù).那末積分那末積分的值與的值與c無關(guān)無關(guān) , 則稱此定則稱此定 czzfid)(21 3)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù))(zf在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn), 那末那末在所有各奇點(diǎn)在所有各奇點(diǎn) (包括包括 點(diǎn)點(diǎn)) 的留數(shù)的總和必等于零的留數(shù)的總和必等于零.)(zf定理定理3. 留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用留數(shù)在定積分計(jì)算上的

10、應(yīng)用，令令 iez )(21sin iieei ,212izz )(21cos iiee zz212 20d)sin,(cos ri1）三角函數(shù)有理式的積分）三角函數(shù)有理式的積分當(dāng)當(dāng) 歷經(jīng)變程歷經(jīng)變程 2,0時時, z 沿單位圓周沿單位圓周1 z的的正方向繞行一周正方向繞行一周.izzizzzzrizd21,21122 zzfzd )(1 . ),(res21 nkkzzfi.)(1), 2 , 1(的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn)內(nèi)的內(nèi)的為包含在單位圓周為包含在單位圓周其中其中zfznkzk 則則為偶函數(shù)為偶函數(shù)如果如果,)(xr nkkzzrixxr10.),(resd)(則則次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式為為次多

11、項(xiàng)式次多項(xiàng)式為為設(shè)設(shè), 2,)(,)(, )()()( nmmzqnzpzqzpzr nkkzzrii1.),(res2.)(), 2 , 1(在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)為為其中其中zrnkzk .)(,)(.d)(沒有孤立奇點(diǎn)沒有孤立奇點(diǎn)在實(shí)軸上在實(shí)軸上且且數(shù)高兩次數(shù)高兩次的次數(shù)至少比分子的次的次數(shù)至少比分子的次分母分母的有理函數(shù)的有理函數(shù)是是其中其中zrxxrxxri 2）無窮積分）無窮積分則則在實(shí)軸上沒有孤立奇點(diǎn)在實(shí)軸上沒有孤立奇點(diǎn)且且的次數(shù)高一次的次數(shù)高一次分母的次數(shù)至少比分子分母的次數(shù)至少比分子函數(shù)函數(shù)的有理的有理是是其中其中,)(,)(),0(d)(zrxxraxexri

12、aix nkkaixaixzezrixexr1,)(res2d)(.)(), 2 , 1(在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)為為其中其中zrnkzk 3）混合型無窮積分）混合型無窮積分,2d1cos02mexxmx , 0d1sin2 xxmx).10(sind1,2dsin0 aaxeexxxxax特別地特別地 4.4.對數(shù)留數(shù)對數(shù)留數(shù)定義定義具有下列形式的積分具有下列形式的積分: czzfzfid)()(21.)(的對數(shù)留數(shù)的對數(shù)留數(shù)關(guān)于曲線關(guān)于曲線稱為稱為czf,)(上解析且不為零上解析且不為零在簡單閉曲線在簡單閉曲線如果如果czf,以外也處處解析以外也處處解析的內(nèi)部除去有限個極點(diǎn)的內(nèi)

13、部除去有限個極點(diǎn)在在c那那么么.d)()(21pnzzfzfic 內(nèi)零點(diǎn)的總個數(shù)內(nèi)零點(diǎn)的總個數(shù), p為為 f(z)在在c內(nèi)極點(diǎn)的總個數(shù)內(nèi)極點(diǎn)的總個數(shù).其中其中, n為為 f(z)在在c且且c取正向取正向. 如果如果 f(z)在簡單閉曲線在簡單閉曲線c上與上與c內(nèi)解析內(nèi)解析, 且在且在c上不等于零上不等于零, 那么那么 f(z)在在c內(nèi)零點(diǎn)的個數(shù)內(nèi)零點(diǎn)的個數(shù)等于等于 21乘以當(dāng)乘以當(dāng)z沿沿c的正向繞行一周的正向繞行一周 f(z)的輻角的改變量的輻角的改變量. 輻角原理輻角原理 路西定理路西定理,)()(內(nèi)解析內(nèi)解析上和上和在簡單閉曲線在簡單閉曲線與與設(shè)設(shè)cczgzf與與內(nèi)內(nèi)那么在那么在上滿足條件

14、上滿足條件且在且在)(, )()(zfczgzfc .)()(的的零零點(diǎn)點(diǎn)的的個個數(shù)數(shù)相相同同zgzf 三、典型例題三、典型例題.,)(判別類型判別類型并并在擴(kuò)充復(fù)平面上的奇點(diǎn)在擴(kuò)充復(fù)平面上的奇點(diǎn)求下列函數(shù)求下列函數(shù)zf例1例1;)2(;sin)1(1tan3zezzz 解解:0)()1(內(nèi)的洛朗展式為內(nèi)的洛朗展式為在在由于由于 zzf zzzzzzzzzzf!7! 5! 31sin)(75333 ! 9!7! 5! 31642zzz.)(,)(0的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn)是是的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn)是是得得zfzzfz ;)2(1tanze解解,1tanzw 令令, 01cos z由由,1tan 的一

15、級極點(diǎn)的一級極點(diǎn)為為zw 又又且為本性奇點(diǎn)且為本性奇點(diǎn)僅有唯一的奇點(diǎn)僅有唯一的奇點(diǎn)而而, zew zkzz1tanlim), 1, 0(211 kkzk得得.)(wezf 則則), 1, 0(211 kkzk所以所以.)(的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn)都是都是zf因?yàn)橐驗(yàn)闀r時當(dāng)當(dāng), zzzzezf1tanlim)(lim .)(的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn)是是故知故知zfz ,1 例例2 2 求函數(shù)求函數(shù) 的奇點(diǎn)，并確的奇點(diǎn)，并確定類型定類型.322)1()1(sin)5()( zzzzzzf解解110 z,z,z是奇點(diǎn)是奇點(diǎn). zzzzzzzfsin)1()1(51)(32因?yàn)橐驗(yàn)?,(1zgz 是單極點(diǎn)；是

16、單極點(diǎn)；所以所以0 z1 z是二級極點(diǎn)是二級極點(diǎn);1 z是三級極點(diǎn)是三級極點(diǎn).例例3 3 證明證明 是是 的六級極點(diǎn)的六級極點(diǎn).0 z)1(1)(33 zezzf.)1(1)(033的六級極點(diǎn)的六級極點(diǎn)是是所以所以 zezzfz的六級零點(diǎn)，的六級零點(diǎn)，是是因?yàn)橐驗(yàn)?1()(1033 zezzfz證證)1()(133 zezzf ! 3! 21296zzz,1! 2)(12333 zzz例例4 4 求下列各函數(shù)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù)求下列各函數(shù)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù).,11sin)1( z,1sin)2(2zz,sin1)3(zz.coshsinh)4(zz解解(1)在在 內(nèi)內(nèi), 10z,)1( ! 3

17、11111sin3 zzz11 ,)1sin(1res cz所以所以. 1 ,! 5! 3sin53 zzzz因?yàn)橐驗(yàn)閮?nèi)，內(nèi)，所以在所以在 z0 5322! 51! 3111sinzzzzzz 3! 51! 31zzz120 ,1sinres czz故故.61 解解zz1sin)2(2zzsin1)3(解解), 2, 1, 0( nnz為奇點(diǎn)為奇點(diǎn),0 n當(dāng)當(dāng) 時時 為一級極點(diǎn)，為一級極點(diǎn)， nzznznzsin1)(lim 因?yàn)橐驗(yàn)?sin()1(limnzznznnz ,1) 1(nn zzzfzzzsinlim)(lim020 由由.0是二級極點(diǎn)是二級極點(diǎn)知知 z, 1 ,1)1(,si

18、n1resnnzzn 所以所以 zzzzzzzsin1ddlim0 ,sin1res20zzzzz20sincossinlim . 0 zzzfcoshsinh)()4( 解解的一級極點(diǎn)為的一級極點(diǎn)為)(zf , 2, 1, 02 kikzkkzzkzzzzf )(coshsinh),(res故故kzzzz sinhsinh. 1 例例5 5 計(jì)算積分計(jì)算積分.d)()sin(28zizzizz 為一級極點(diǎn)，為一級極點(diǎn)， 為七級極點(diǎn)為七級極點(diǎn).0 ziz )(lim0),(res0zzfzfz 80)()sin(limizizz ;sini iizizizzf )(1)()sin()(8iiz

19、iiziz 11)()sin(8 22357)(1)(11)( ! 71)( ! 51)( ! 31)(1iziiziiiziziziz解解 izi1! 11! 31! 51! 71 ! 71! 51! 311),(resiizf所以所以由留數(shù)定理得由留數(shù)定理得 ),(res0),(res2d)()sin(28izfzfizizzizz .!71! 51! 311sin2 iii例例6 6 .d)1()5(3243213zzzzz 解解248326131151)( zzzzzzf24321115111 zzz28434211125511 zzzzz在在 內(nèi)內(nèi), z3)1(2d)1()5(324

20、3213 izzzzz故故.2 i 1),(res czf所所以以, 1 42211511zzz,1 z 51255),(res2d)1)(3(1kkzzzfizzz解解例例7 7 計(jì)算計(jì)算 .d)1)(3(1255zzzz ),(res3),(res),(res51 zfzfzzfkk)1)(3(1)3(lim3),(res53 zzzzfz,2421 55511311) 1)(3(1zzzzzz,1131156 zzz, 0),(res zf所所以以 51255),(res2d)1)(3(1kkzzzfizzz24212 i.121i 例例8 8 計(jì)算計(jì)算. )0(sind02 axax解解 00222cos1dsindxaxxax 022cos1