高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案：第八章平面解析幾何2

1、高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案：第八章平面解析幾何其次節(jié)直線與圓【高考目標(biāo)定位】一、圓的方程（一）考綱點(diǎn)擊1、把握確定圓的幾何要素；2、把握確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程；（二）熱點(diǎn)提示1、能利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程；2、直線和圓的位置關(guān)系是考查的熱點(diǎn)；3、本部分在高考試題中多以挑選、填空的形式顯現(xiàn)，屬中低檔題目；二、直線、圓的位置關(guān)系（一）考綱點(diǎn)擊1、能依據(jù)給定直線、圓的方程判定直線與圓的位置關(guān)系；能依據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判定兩圓的位置關(guān)系；2、能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)潔的問(wèn)題；3、初步明白用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想；（二）熱點(diǎn)提示1、直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系始終是高考考查的重點(diǎn)

2、和熱點(diǎn)問(wèn)題，主要考查：（1）方程中含有參數(shù)的直線與圓的位置關(guān)系的判定；（2）利用相切或相交的條件確定參數(shù)的值或取值范疇；（3）利用相切或相交求圓的切線或弦長(zhǎng)；2、本部分在高考試題中多為挑選、填空題，有時(shí)在解答題中考查直線與圓位置關(guān)系的綜合問(wèn)題；【考綱學(xué)問(wèn)梳理】一、圓的方程1圓的定義（1）在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓；（2）確定一個(gè)圓的要素是圓心和半徑；2圓的方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程方程 xa 2 yb2r 2 r0x2y2dxeyf0圓 心 坐標(biāo)（ a,b）d ,f22半徑r1d 22e 24f注： 方程 x2y2dxeyf0 表示圓的充要條件是d 2e24 f03點(diǎn)與圓

3、的位置關(guān)系已知圓的方程為 xa 2 yb 2r 2 ，點(diǎn) m x , y ；就：（1）點(diǎn)在圓上：00222xa ybr；00；（2）點(diǎn)在圓外：xa 2 yb2r（3）點(diǎn)在圓內(nèi)：xa 2 yb2r200；2004確定圓的方程方法和步驟確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為：（1）依據(jù)題意，挑選標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；（2）依據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r 或 d 、e、f 的方程組；（3）解出 a,b,r 或 d、e、f 代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；注： 用待定系數(shù)法求圓的方程時(shí)，如何依據(jù)已知條件挑選圓的方程？（當(dāng)條件中給出的是圓上幾點(diǎn)坐標(biāo)，較適合用一般方程，通過(guò)解三元方程組求相應(yīng)系數(shù)；當(dāng)條件中給出的是

4、圓心坐標(biāo)或圓心在某條直線上、圓的切線方程、圓弦長(zhǎng)等條件，適合用標(biāo)準(zhǔn)方程；對(duì)于有些題，設(shè)哪種形式都可以，這就要求依據(jù)條件詳細(xì)問(wèn)題詳細(xì)分析；）二、直線、圓的位置關(guān)系1直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相離相切相交公共點(diǎn)個(gè)數(shù)幾何特點(diǎn)（圓心到直線的距離0 個(gè)d ，半dr1 個(gè)dr2 個(gè)dr徑 r ）代數(shù)特點(diǎn)（直線與圓的方程組成的方程組）無(wú)實(shí)數(shù)解有兩組相同實(shí)數(shù)解有兩組不同實(shí)數(shù)解注： 在求過(guò)肯定點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)第一判定這點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，如點(diǎn)在圓臺(tái)上，就該點(diǎn)為切點(diǎn)，切線只有一條；如點(diǎn)在圓外，切線應(yīng)有兩條，謹(jǐn)防漏解；外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含0drr1drr2rrdrr1drr0drr2圓與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系公共

5、點(diǎn)個(gè)數(shù) 幾何特點(diǎn) （圓心距 d ，兩圓半徑 r ， r ， rr ）代數(shù)特點(diǎn) （兩無(wú)實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無(wú)實(shí)數(shù)解個(gè) 圓 的 方 程組 成 的 方 程組）【熱點(diǎn)難點(diǎn)精析】一、圓的方程（一）圓的方程的求法相關(guān)鏈接1確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法；假如挑選標(biāo)準(zhǔn)方程，即列出關(guān)于a、 b、r的方程組，求a、b、r 或直接求出圓心（a,b）和半徑r.2假如已知條件中圓心的位置不能確定，就挑選圓的一般方程；圓的一般方程也含有 三個(gè)獨(dú)立的參數(shù)，因此，必需具備三個(gè)獨(dú)立的條件，才能確定圓的一般方程，其方法仍采納待定系數(shù)法；設(shè)所求圓的方程為：x2y2dxeyf0d 2e 24f0, 由三個(gè)條件得

6、到關(guān)于d 、e、f 的一個(gè)三元一次方程組，解方程組確定d 、e、f 的值；3以為直徑的兩端點(diǎn)的圓的方程為 xx1 xx2 yy1 yy2 0注： 在求圓的方程時(shí)，常用到圓的以下必修性質(zhì)：（1）圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；（2）圓心在任一弦的中垂直上；（3）兩圓心或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線；例題解析例 求與 x 軸相切， 圓心在直線3x-y=0 上， 且被直線x-y=0 截得的弦長(zhǎng)為27 的圓的方程；思路解析： 由條件可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解，也可設(shè)圓的一般方程，但運(yùn)算較繁瑣；解答：（方法一）設(shè)所求的圓的方程是xa2 yb2r 2 ，就圓心 a,b到直線 x-y=0 的距離為 | ab

7、| ，2即 2r 2ab 214由于所求的圓與x 軸相切，r 2b2又由于所求圓心在直線3x-y=0 上，3a-b=02222聯(lián)立，解得a=1,b=3, r 2 =9 或 a=-1,b=-3,r 2 =9.故所求的圓的方程是：x1 y39或x1 y39（ 方 法 二 ） 設(shè) 所 求 的 圓 的 方 程 是=0 ， 圓 心 為，半徑為令 y=0 ，得=0，由圓與 x 軸相切，得=0，即又圓心到直線 x-y=0 的距離為由已知，得即又圓心在直線 3x-y=0 上， 3d-e=0聯(lián)立，解得d=-1 ， e=-6， f=1 或 d=2 ， e=6 ，f=1 ；故所求圓的方程是=0 或（二）與圓有關(guān)的最

8、值問(wèn)題相關(guān)鏈接1求與圓有關(guān)的最值問(wèn)題多采納幾何法，就是利用一些代數(shù)式的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化；如（ 1）形如m=的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題；（ 2）形如t=ax+by的 最 值 問(wèn) 題 ， 可 轉(zhuǎn) 化 為 直 線 在y軸 上 的 截 距 的 最 值 問(wèn) 題 ；（ 3 ） 形 如m=的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離平方的最值問(wèn)題；2特殊要記住下面兩個(gè)代數(shù)式的幾何意義：表示點(diǎn) x,y 與原點(diǎn)（ 0， 0）連線的直線斜率，表示點(diǎn)（ x,y ）與原點(diǎn)的距離；例題解析例 已知實(shí)數(shù)x 、 y 滿意方程x2y24x10 ；（1）求 yx的最大值和最小值；（2）求 y - x 的最大值和最小值；（3）

9、求 x2y2 的最大值和最小值；思路解析： 化 x ， y 滿意的關(guān)系為 x何意義依據(jù)幾何意義分別求之；22y23懂得 y ， y - x ， x2xy2 的幾解答：（ 1）原方程可化為x22y 23 ，表示以（ 2，0）為圓心，3 為半徑的圓，y 的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)y xx= k ，即 ykx ；當(dāng)直線ykx 與圓相切時(shí)，斜率k 取最大值或最小值，此時(shí)| 2kk 20 |3 ，解得 k =±3 ；1所以 y x的最大值為3 ，最小值為3（2） y - x可看作是直線y=x+b 在 y 軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b 與圓相切時(shí)，縱截距b 取得最大值或最小值，

10、此時(shí)| 20b |23 ，解得 b26 ；所以 y - x 的最大值為26 ，最小值為26 ；（ 3） x2y2 表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何學(xué)問(wèn)知，在原點(diǎn)與圓心連 線 與 圓 的 兩 個(gè) 交 點(diǎn) 處 取 得 最 大 值 和 最 小 值 ； 又 圓 心 到 原 點(diǎn) 的 距 離 為20 200 22 ，所以 x2y2 的最大值是232743 ， x2y2 的最小值是 23 2743 ；（三）與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題相關(guān)鏈接1解決軌跡問(wèn)題，應(yīng)留意以下幾點(diǎn)：（ 1）求方程前必需建立平面直角坐標(biāo)系（如題目中有點(diǎn)的坐標(biāo)，就無(wú)需建系），否就曲線就不行轉(zhuǎn)化為方程；（2）一般地，設(shè)點(diǎn)時(shí)，將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為

11、（x,y ），其他與此相關(guān)的點(diǎn)設(shè)為 x0 , y0 等；（3）求軌跡與求軌跡方程是不同的，求軌跡方程得出方程即可，而求軌跡在得出方程后仍要指出方程的曲線是什么圖形；2求軌跡方程的一般步驟：（1）建系：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y ）；（2）列出幾何等式；（3）用坐標(biāo)表示得到方程；（4）化簡(jiǎn)方程；（5）除去不合題意的點(diǎn)，作答；例題解析例 設(shè)定點(diǎn) m （ -3，4），動(dòng)點(diǎn) n 在圓 x2y24 上運(yùn)動(dòng)，以om 、on 為兩邊作平行四邊形monp ，求點(diǎn) p 的軌跡；思路解析： 先設(shè)出 p 點(diǎn)、 n 點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)平行四邊形對(duì)角線相互平分，用p 點(diǎn)坐標(biāo)表示 n 點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程可求；解答： 如下列圖，設(shè)

12、p（ x,y ）， n x, y ，就線段op 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 x ,y ，線段mn的中點(diǎn)坐標(biāo)為0022x03y04 ,22；因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，故xx03 , yy04 ,從而x0x32；n（ x+3,y-4 ）在圓上， 故 x3 y44 ；22222因此所求軌跡為圓： x32y0y y4244 ，擔(dān)應(yīng)除去兩點(diǎn)：9 12,和2128, （點(diǎn) p在 om 所在的直線上時(shí)的情形）；（四）有關(guān)圓的實(shí)際應(yīng)用5555例 有一種大型商品，a 、b 兩地都有出售，有價(jià)格相同，某地居民從兩地之一購(gòu)得商品后運(yùn)回的費(fèi)用是：a 地每公里的運(yùn)費(fèi)是b 地每公里運(yùn)費(fèi)的3 倍；已知 a 、b 兩地距離為10 公

13、里，顧客挑選a 地或 b 地購(gòu)買這件商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低；求p 地居民挑選a 地或 b 地購(gòu)物總費(fèi)用相等時(shí)，點(diǎn)p 所在曲線的外形，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何挑選購(gòu)物地點(diǎn)？思路解析： 依據(jù)條件，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求出點(diǎn)p 的軌跡方程，進(jìn)而解決相關(guān)問(wèn)題；解答： 如圖，以 a 、b 所在的直線為x 軸，線段ab 的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，|ab =10，a（ -5 ，0），b（ 5， 0）；設(shè) p（ x,y ）,p 到 a、b 兩地購(gòu)物的運(yùn)費(fèi)分別是3a、a（元 / 公里）；當(dāng)由 p 地到 a、b 兩地購(gòu)物總費(fèi)用相等時(shí)，有：價(jià)格+a 地運(yùn)費(fèi) =價(jià)格 +b 地運(yùn)費(fèi)，3a

14、· x5 2y2 =a· x5 2y2 .化簡(jiǎn)整理，得 x25 2y215 2442515（1）當(dāng) p 點(diǎn)在以（ -費(fèi)用相等；，0）為圓心、4為半徑的圓上時(shí)，居民到a 地或 b 地購(gòu)物總4（2）當(dāng) p 點(diǎn)在上述圓內(nèi)時(shí)， x252y2152 ,449 x5 29 y2 x52y2 8x252y215 23x52y2 x52y2 . 044故此時(shí)到 a地購(gòu)物合算 .當(dāng) p 點(diǎn)在上述圓外時(shí)， x25 2215 2y ,449 x5 29 y2 x52y 2 8 x252y215 23x52y2 x52y2 . 044故此時(shí)到 b地購(gòu)物合算 .注： 在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵要明確題意

15、，把握建立數(shù)學(xué)基本模型的方法將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決；二、直線、圓的位置關(guān)系（一）直線和圓的位置關(guān)系相關(guān)鏈接直線和圓的位置關(guān)系的判定有兩種方法（1）第一種方法是方程的觀點(diǎn)，即把圓的方程和直線的方程聯(lián)立組成方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再利用判別式來(lái)爭(zhēng)論位置關(guān)系，即>0 直線與圓相交 ;=0 直線與圓相切 ;<0 直線與圓相離 .（2）其次種方法是幾何的觀點(diǎn)，即將圓心到直線的距離 d 與半徑 r 比較來(lái)判定，即d<r 直線與圓相交； d>r 直線與圓相切； d=r 直線與圓相離；例題解析例 已知圓 x2y26mx2m1y10m22m240mr.（1）求證：不論m 為何值

16、，圓心在同始終線上；（2）與 l 平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離；（3）求證：任何一條平行于l 且與圓相交的直線被各圓截得的弦長(zhǎng)相等；思路解析： 用配方法將圓的一般方程配成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)，消去m 就得關(guān)于圓心的坐標(biāo)間的關(guān)系，就是圓心的軌跡方程；判定直線與圓相交、相切、相離，只需比較圓心到直線的距離d 與圓半徑的大小即可；證明弦長(zhǎng)相等時(shí)，可用幾何法運(yùn)算弦長(zhǎng)；22x3m解答：（ 1）配方得：x3m ym125, 設(shè)圓心為 x,y ，就，ym1消去 m 得 l : x3 y30, 就圓心恒在直線l : x3 y30, ；（2）設(shè)與 l 平行的直線是：x3 yb0 ，當(dāng)5103b510

17、3時(shí)，直線與圓相交；b5 103時(shí)，直線與圓相切；b5 103或b5 103時(shí)，直線與圓相離 .（3）對(duì)于任一條平行于l 且與圓相交的直線l1 ： x3 yb0 ，由于圓心到直線l1 的距離| 3b |22d（與 m 無(wú)關(guān)）；弦長(zhǎng) = 210rd 且r 和d均為常量 .任何一條平行于l 且與圓相交的直線被各圓截得的弦長(zhǎng)相等；（二）圓與圓的位置關(guān)系相關(guān)鏈接1判定兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系， 一般不采納代數(shù)法；2如兩圓相交，就兩圓公式弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2, y2 項(xiàng)即可得到；3兩圓公切線的條數(shù)（如下圖）oo 1o21oo1o 2o1o2

18、o1o22（1）兩圓內(nèi)含時(shí)，公切線條數(shù)為0；（2）兩圓內(nèi)切時(shí)，公切線條數(shù)為1；（3）兩圓相交時(shí)，公切線條數(shù)為2；（4）兩圓外切時(shí)，公切線條數(shù)為3；（5）兩圓相離時(shí)，公切線條數(shù)為4；因此求兩圓的公切線條數(shù)主要是判定兩圓的位置關(guān)系，反過(guò)來(lái)知道兩圓公切線的條數(shù)，也可以判定出兩圓的位置關(guān)系；例題解析例 求經(jīng)過(guò)兩圓x32y213 和 x2 y3237 的交點(diǎn)，且圓心在直線x y4=0 上的圓的方程思路解析： 依據(jù)已知，可通過(guò)解方程組 x32x2 yy23213得圓上兩點(diǎn)，由圓心在直線37xy 4=0 上，三個(gè)獨(dú)立條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程；也可依據(jù)已知，設(shè)所求圓的方程為 x32y213 x2y323

19、70，再由圓心在直線x y 4=0 上，定出參數(shù) ，得圓方程解答 ：由于所求的圓經(jīng)過(guò)兩圓（x+3） 2+y2=13 和 x2+（ y+3） 2=37 的交點(diǎn)，所以設(shè)所求圓的方程為x32y213 x2y323703232428912 綻開(kāi)、配方、整理，得x1+ y=+2111圓心為 3,311 ，代入方程x y 4=0，得 = 7故所求圓的方程為x1 2 y7 289222注： 圓 c1： x2 +y2+d 1x+e1y+f 1=0，圓 c2： x2+y2+d2x+e2y+f 2=0 ，如圓 c1、c2 相交，那么過(guò)兩圓公共點(diǎn)的圓系方程為（x2+y2+d 1x+e1y+f1）+（ x2+y2+d

20、2x +e2y+f2）=0（ r 且 1） 它表示除圓c2 以外的全部經(jīng)過(guò)兩圓c1、c2 公共點(diǎn)的圓（三）圓的切線及弦長(zhǎng)問(wèn)題相關(guān)鏈接1求圓的切線的方法（1）求圓的切線方程一般有兩種方法：代數(shù)法：設(shè)切線方程為與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式=0 進(jìn)而求得k ；幾何法：設(shè)切線方程為利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d=r ，進(jìn)而求出k；兩種方法，一般來(lái)說(shuō)幾何法較為簡(jiǎn)潔，可作為首選；注：在利用點(diǎn)斜式求切線方程時(shí)，不要漏掉垂直于x 軸的切線，即斜率不存在時(shí)的情況；（2）如點(diǎn)m x, y 在圓 x2y2r 2 上，就 m 點(diǎn)的圓的切線方程為x xy yr

21、 2 ；00002圓的弦長(zhǎng)的求法（1）幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長(zhǎng)為l ，就；（ 2 ） 代 數(shù) 法 ： 設(shè) 直 線 與 圓 相 交 于a x1 , y1, b x2 , y2 兩 點(diǎn) ， 解 方 程 組ykxb22消 y 后得關(guān)于x 的一元二次方程，從而求得x1x2 , x1 , x2 , 就弦 xx yy r200長(zhǎng)為| ab |1k 2 xx 24 x x k為直線斜率 ；121 2（四）直線、圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用例 如圖，矩形abcd 的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)m 2，0， ab 邊所在直線的方程為x3 y60 , 點(diǎn) t 1，1 在 ad 邊所在直線上（i ）求 ad 邊所在直

22、線的方程；（ii ）求矩形abcd 外接圓的方程；（iii ）如動(dòng)圓 p 過(guò)點(diǎn)n 2，0 ，且與矩形abcd 的外接圓外切，求動(dòng)圓p 的圓心的方程解答：（ i ）由于 ab 邊所在直線的方程為x 3y60 ，且 ad 與 ab 垂直，所以直線ad 的斜率為3 又由于點(diǎn) t 1，1 在直線 ad 上，所以 ad 邊所在直線的方程為y 13 x1 3 xy20 -3分x（ii ）由3y60，解得點(diǎn)a 的坐標(biāo)為 0，2 ，-4分3xy2 = 0由于矩形abcd 兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為m 2，0 所以 m 為矩形 abcd 外接圓的圓心-6分2又 am20 202 222 2從而矩形abcd 外接圓的方程

23、為 x2y8 -9分（iii ）由于動(dòng)圓p 過(guò)點(diǎn) n ，所以 pn 是該圓的半徑，又由于動(dòng)圓p 與圓 m 外切，所以 pmpn22 ，即pmpn22 -11分故點(diǎn) p 的軌跡是以m ， n 為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為22 的雙曲線的左支2由于實(shí)半軸長(zhǎng)a2 ，半焦距 c2 2所以虛半軸長(zhǎng)bca2 2從而動(dòng)圓 p 的圓心的軌跡方程為xy1x 2 -14分222【感悟高考真題】1（ 2021 江西理數(shù)）8. 直線ykx23 與圓x32y24 相交于m,n 兩點(diǎn)，如mn23 ，就 k 的取值范疇是3 ，0a.4b.3，0，4c.3 ， 333d.2 ，03【答案】 a【解析】考查直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線距離

24、公式，重點(diǎn)考察數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用.解法 1：圓心的坐標(biāo)為 （3. ，2），且圓與 y 軸相切 . 當(dāng) | mn |23時(shí)，3由點(diǎn)到直線距離公式，解得,0 ；4解法 2：數(shù)形結(jié)合，如圖由垂徑定理得夾在兩直線之間即可，不取，排除 b，考慮區(qū)間不對(duì)稱，排除c，利用斜率估值，選a2（ 2021 安徽理數(shù)） 9、動(dòng)點(diǎn)a x, y在圓 x2y21上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，12 秒旋轉(zhuǎn)一周；已知時(shí)間t0 時(shí)，點(diǎn) a 的坐標(biāo)是 1 ,3 22，就當(dāng) 0t12 時(shí)，動(dòng)點(diǎn) a 的縱坐標(biāo) y 關(guān)于 t （單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是a、 0,1b、 1,7c、 7,12d 、 0,1 和 7,129.d【解

25、析】畫(huà)出圖形，設(shè)動(dòng)點(diǎn)a 與 x軸正方向夾角為，就 t370 時(shí)，每秒鐘旋轉(zhuǎn)，36在 t0,1上, ，在7,12 上32, ，動(dòng)點(diǎn) a 的縱坐標(biāo)y 關(guān)于 t 都是單調(diào)23遞增的；【方法技巧】 由動(dòng)點(diǎn)2a x, y在圓 x2y1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，可知與三角函數(shù)的定義類似，由 12 秒旋轉(zhuǎn)一周能求每秒鐘所轉(zhuǎn)的弧度，畫(huà)出單位圓， 很簡(jiǎn)潔看出，當(dāng) t在 0,12 變化時(shí)，點(diǎn)a 的縱坐標(biāo)y 關(guān)于 t （單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)性的變化，從而得單調(diào)遞增區(qū)間.3（ 2021 全國(guó)卷 2 文數(shù)）（ 16）已知球 o 的半徑為4，圓 m 與圓 n為該球的兩個(gè)小圓，ab 為圓 m 與圓 n 的公共弦，

26、abo4 ，如mebomon3 ，就兩圓圓心的距離mn；na【解析】 3：此題考查球、直線與圓的基礎(chǔ)學(xué)問(wèn) on=3，球半徑為4，小圓n 的半徑為7 ，小圓n 中弦長(zhǎng)ab=4，作 ne垂直于 ab， ne=3 ，同理可得 me3 ，在直角三角形one中， ne=3 ，on=3，eon6 ，mon3 ， mn=34（ 2021 ·江蘇卷 18）設(shè)平面直角坐標(biāo)系xoy 中，設(shè)二次函數(shù)fxx22 xb xr 的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為c求：（）求實(shí)數(shù)b 的取值范疇；（）求圓c 的方程；（）問(wèn)圓c 是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b 無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論【解析】本小題主要考查

27、二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、圓的方程的求法（）令 x 0，得拋物線與y 軸交點(diǎn)是（ 0， b）；2令 fxx22xb0 ，由題意 b0 且 0，解得 b 1 且 b 0（）設(shè)所求圓的一般方程為x2ydxeyf0令 y 0 得 x2dxf0 這與x22xb 0 是同一個(gè)方程，故d2， f b 令 x 0 得 y2ey 0，此方程有一個(gè)根為b，代入得出e b 1所以圓 c 的方程為x2y22xb1 yb0 .（）圓c 必過(guò)定點(diǎn)（ 0， 1）和（ 2，1）證明如下：將（0，1）代入圓 c 的方程，得左邊0 2 1 2 2× 0（ b 1） b 0，右邊0，所以圓 c 必過(guò)定點(diǎn)（ 0， 1）同理可證

28、圓c 必過(guò)定點(diǎn)（2， 1）【考點(diǎn)精題精練】一、挑選題21直線axy21 0 與圓x1y1 相切，就 a 的值為（a）a. 0b.1c.2d.12已知圓c 與圓 x 12 y21 關(guān)于直線y x 對(duì)稱，就圓c 的方程為（ c） a.x 12 y2 1b.x2y2 1c.x2 y 12 1d.x2y 12 13（上海市奉賢區(qū)2021 年 4 月高三質(zhì)量調(diào)研理科）已知圓x 2y 21與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為a 、 b ，如圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)p 使 | pa | 、 | po| 、 | pb| 成等比數(shù)列，就pa pb 的取值范疇為-（b）（a）0, 12（ b）1 ,021（c） ,02（ d） 1,04（上

29、海市徐匯區(qū)2021 年 4 月高三其次次模擬理科）已知ac, bd 為圓o : x2y24 的兩條相互垂直的弦，ac , bd 交于點(diǎn) m1,2，就四邊形abcd 面積的最大值為-（ b）a 4b 5c 6d 7225直線 x+y+1=0 與圓x1y2 的位置關(guān)系是（c）a. 相交b.相離c.相切d.不能確定101答案： c 提示：圓心1,0 , d2r ，2x32cosx3cos6兩圓與的位置關(guān)系是（b）y42siny3sina 內(nèi)切b 外切c相離d 內(nèi)含7已知點(diǎn) p（ x，y）是直線 kx + y + 4 = 0（ k > 0 ）上一動(dòng)點(diǎn)， pa、pb 是圓 c：x2y22y0的兩條

30、切線，a、b 是切點(diǎn)，如四邊形pacb 的最小面積是2，就 k 的值為（d）21a 3b 2c 22d 2答案： d8經(jīng)過(guò)圓c : x12 y224 的圓心且斜率為1 的直線方程為（a ）a xy30b xy30c. xy10d xy309已知圓的方程為x2y26x8 y0 ，設(shè)圓中過(guò)點(diǎn) 2,5 的最長(zhǎng)弦與最短弦分別為ab 、cd ，就直線 ab 與 cd 的斜率之和為（b）a1b0c1d210已知圓的半徑為2，圓心在 x 軸的正半軸上，且與直線3x4 y40 相切，就圓的方程是（a）a x2y 24x0b x 2y 24x0c x2y 22 x30d x 2y 22x3011如直線y kx1

31、 與圓 x2 y2 1 相交于 p、q 兩點(diǎn)，且 poq 120°其中 o 為原點(diǎn) ，就 k 的值為（ a ）a133、±b、 ±22c、±3d 、± 32212如圖，點(diǎn)p3， 4為圓 xy25 上的一點(diǎn)，點(diǎn)e，f 為 y 軸上的兩點(diǎn)，pef 是以點(diǎn) p 為頂點(diǎn)的等腰三角形，直線pe，pf 交圓于 d，c 兩點(diǎn)，直線cd 交 y 軸于點(diǎn) a，就 sindao 的值為 a 2343a bcd5554二、填空題x13圓 c:y1 cos, sin.（為參數(shù)） 的圓心坐標(biāo)是1,0；如直線axy10 與圓 c 相切，就 a 的值為0.14如圖，點(diǎn)a 、

32、b、c 是圓 o 上的點(diǎn)，且ab=4 ，acb30o ，就圓 o 的面積等于 1615（ 上海市奉賢區(qū)2021 年 4 月高三質(zhì)量調(diào)研理科）已知實(shí)數(shù)a, b, c 成等差數(shù)列， 點(diǎn) p 1,0在直線 axbyc0 上的射影是q，就 q的軌跡方程是 x2 y122 ；16 上 海 市 松 江 區(qū)2021年4月 高 考 模 擬 文 科 已 知 直 線l : axbyc0 與 圓o : x 2y 2三、解答題1 相交于 a 、 b 兩點(diǎn)，| ab |13 ，就 oa · ob =217已知 a 是圓x 2y 24 上任一點(diǎn)， ab 垂直于 x 軸，交 x 軸于點(diǎn) b以 a 為圓心、 ab 為半徑作圓交已知圓于c、 d，連結(jié) cd交 ab于點(diǎn) p.(1) 求點(diǎn) p的軌跡方程 ;(2) 如1 所求得的點(diǎn)p 的軌跡為m , 過(guò)點(diǎn) q3 ,0