微積分 第3版 課件 7第七節(jié) 二重積分

7.7二重積分7.7.1二重積分的概念柱體體積

=底面積×高

平頂柱體引例求曲頂柱體的體積曲頂柱體體積=?D曲頂柱體以xOy面上的閉區(qū)域D為底,D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面,側(cè)面以頂是曲面且在D上連續(xù)).x0z

yDSS:z=f(x,y)1.任意分割區(qū)域

D,化整為零2.以平代曲

ix0z

yDS:z=f(x,y)3.積零為整2.

以平代曲1.任意分割區(qū)域

D,化整為零

ix0z

yDS:z=f(x,y)4.取極限

i2.

以平代曲1.任意分割區(qū)域

D,化整為零V=3.積零為整x0z

yS:z=f(x,y)4.取極限V2.以平代曲V=1.任意分割區(qū)域

D,化整為零3.積零為整也表示它的面積,定義7.5(1)將閉區(qū)域

D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域

(2)作乘積

(3)并作和D設(shè)是有界閉區(qū)域

D的有界函數(shù),積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素這和式則稱此零時(shí),如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值

趨近于的極限存在,記為即(4)極限為函數(shù)在閉區(qū)域D上的二重積分,曲頂柱體體積曲頂

即在底D上的二重積分,二重積分的幾何意義

當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí),二重積分是柱體的體積的負(fù)值．2.在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D,二重積分可寫為注定積分中1.重積分與定積分的區(qū)別:重積分中可正可負(fù).則面積元素為D7.7.2直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

二重積分的計(jì)算方法是:將二重積分化為二次1.矩形區(qū)域上的二重積分積分區(qū)域D為矩形在D上連續(xù).設(shè)積分(累次積分)來計(jì)算.

的值等于以區(qū)域D為底,曲面z=f(x,y)把柱體切割成平行于xOz平面的薄片,對(duì)應(yīng)薄片又有于是

為頂?shù)那斨w的體積,現(xiàn)用定積分計(jì)算這個(gè)體積.2.橫向區(qū)域:這樣的區(qū)域上通?？梢韵葘?duì)x積分,再對(duì)y積分

則例2計(jì)算其中D是由直線

先對(duì)x積分

所圍平面閉區(qū)域.解3.縱向區(qū)域這樣的區(qū)域上通常可以先對(duì)y積分,再對(duì)x積分

則例3計(jì)算其中D如圖所示.

解先對(duì)y積分

D2D14.復(fù)雜區(qū)域

對(duì)于一般的平面區(qū)域,可以用平行于坐標(biāo)軸的例4計(jì)算其中D如圖所示.

解積分區(qū)域D可以劃分成

直線將其分成若干個(gè)橫向區(qū)域或縱向區(qū)域,然后利用二重積分對(duì)積分區(qū)域的可加性進(jìn)行計(jì)算.于是D1D2例5交換積分次序:解積分區(qū)域:原式=解先交換積分次序例6計(jì)算二次積分而且又是能否進(jìn)行計(jì)算的問題.計(jì)算二重積分時(shí),恰當(dāng)?shù)倪x取積分次序十分重要,它不僅涉及到計(jì)算繁簡問題,凡遇如下形式積分:等,一定要放在后面積分.7.7.3極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)下的表達(dá)式為極坐標(biāo)系中的面積元素

直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系為2.積分區(qū)域D是由圓弧、或圓弧與直線所圍成.

常用極坐標(biāo)計(jì)算因此

在極坐標(biāo)下1.若被積函數(shù)形如解例7寫出積分的極坐