高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)教案極限導(dǎo)數(shù)和復(fù)數(shù)

1、高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)教案：極限導(dǎo)數(shù)和復(fù)數(shù)一、本章學(xué)問結(jié)構(gòu)：復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)分類復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)相等的充要條件共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的加法法就復(fù)數(shù)的減法法就復(fù)數(shù)的乘法法就復(fù)數(shù)的除法法就（a bi ）（ c di）（ a c）（ b d）i復(fù)數(shù)加法的幾何意義（a bi ）（ c di）（ a c）（ b d）i復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)平面上兩點間的距離d z1z2（a bi ）（ c di）（ ac bd）（ ad bc） i a bi ac bd bc abi二、重點學(xué)問回憶（一）極限c dic2 d2c2 d21、數(shù)學(xué)歸納法是一種用遞歸方法來證明與正整數(shù)有關(guān)命題的重要方法，它是完全歸納法中的一

2、種；論證問題分為兩步：證明當(dāng) n 取第一個值n0 時結(jié)論正確；假設(shè)當(dāng) n=kk n * 且 k n0 時結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1 時結(jié)論也正確；由（ 1）、（ 2）肯定命題對于從2、數(shù)列極限的定義n0 開頭的一切正整數(shù)都成立；設(shè) an 是一個無窮數(shù)列，a是一個常數(shù)，假如對于預(yù)先給定的任意小的正數(shù)，總存在正整數(shù) n，使得只要正整數(shù)n n，就有 | an -a| ，那么就說數(shù)列an 以 a 為極限（或lima 是數(shù)列的極限） ，記作 n3、數(shù)列極限的運(yùn)算法就an =a ；lim alim b假如 nn =a ， nn =b，那么limlimlim(1) n an ± bn = nan

3、± nbn =a ±b；limablim alim b(2) nn ·n = nn · nn =a ·banlimnbn（3）l im annl im bnnab0 blimalim a（4） n（ c·n ） = c· nn =ca （ c 為常數(shù)）極限運(yùn)算法就中的各個極限都應(yīng)存在，都可推廣到任意有限個極限的情形，不能推廣到無限個； 在商的運(yùn)算法就中， 要留意對式子的恒等變形，有些題目分母不能直接求極限；4、特殊數(shù)列的極限lim（1） nc=c （ c 為常數(shù)）（2）0（|a|1）nlimna=1（a=l1lim(3) n

4、n(4)不存在（ |a| 1 或 a=-1）=0 0 的常數(shù) a0b0 （當(dāng) k= l 時）limkk 1a0 xa1xaknb xlb xl 1b01l=0（當(dāng) k l 時不存在（當(dāng) k l 時）說明：欲求極限的式子中，含有項數(shù)與n 有關(guān)的“和式”或“積式” ，應(yīng)先求和或積；5、常見的數(shù)列極限的類型和求法0（1）“ 0 ”型，分子、分母分別求和再轉(zhuǎn)化；（2）“”型，分子、分母先求和，再化簡，轉(zhuǎn)化為有極限；（3）“”型，將其看作分母為1 的分式，轉(zhuǎn)化求極限；limf xlimlim6、 xx0與 xx0f x 和 xx0f x 之間的關(guān)系limf xlimlimxx0=axx0f x = xx

5、0f x =a；假如 f x 在點x 0 處左、右極限都存在并且等值，就f x 在點x 0 處的極限也存在，并且與左、右極限值相同；假如f x在 x0 處的左、右極限至少有一個不存在，或者左、右 極 限都 存在 但不 等值 ， 就函 數(shù)f x 在 點 x0處 沒有 極 限， 這種 關(guān)系 也反 映出f x gx0且lim gx0f x連續(xù)；g x 、f xg x 、f xg x 、gxxx0也都在x 0 處（二）導(dǎo)數(shù)1.有關(guān)概念平均變化率：yf x xxf x xf / x limf x0xf x0 函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)：/0limx0ylimxf xxf x函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f x y x0xx0x2.

6、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：x 是曲線 yf x 上點（x0 ,f x0 ）處的切線的斜率/說明： .導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以簡記為“k=/率”f0”,強(qiáng)化這一句話“斜率導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)斜 .曲線 yf x在點（x0 ,f x0 ）處的切線方程為yf x0 fx0 xx0 3.導(dǎo)數(shù)的物理意義：s=st是物體運(yùn)動的位移函數(shù)，物體在t= t0 時刻的瞬時速度是s t0 說明：.物理意義在教材上只是以引例形式顯現(xiàn)，教學(xué)大綱對它的要求不高，知道即可；.物理意義可以簡記為vt = s t 004、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式c0 （c為常數(shù)）（xn）nxn1 （nq）（sin x）cosx，（ cosx）sin x（ln x）1

7、x，（log a x）1 loge xa（ex）ex， （a x）ax ln a5、求導(dǎo)法就'uu' v2uv'uv'u 'v' ， uv'u 'vuv' ，vv（v0）6、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)y' x y' uu'x（三）復(fù)數(shù)1復(fù)數(shù)及分類形如 abi （a， br）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a 為實部， b 為虛部， ii 是虛數(shù)單位，且滿意ii2 1.復(fù)數(shù) z abi （ a， br）實數(shù)（ b0）虛數(shù)（ b0）純虛數(shù)（ a 0） 非純虛數(shù)（ a0）2復(fù)數(shù)相等的充要條件abii cdiia c， bd（ a， b

8、， c，dr） .特殊地 abii 0ab 0（ a， br） .3i 的冪i4n 1， i4n+1 i ，i4n+2 1， i4n+3 i （ nz） . 4復(fù)數(shù)的加法和減法（a bi ）±（ c di）（ a±c）（ b± d） i（ a， b， c，d r） .5復(fù)數(shù)的乘法和除法復(fù)數(shù)的乘法按多項式相乘進(jìn)行，即（a bi ）（ cdi ） acadi bci bdi2（ acbd）（ ad bc）i.復(fù)數(shù)除法是乘法的逆運(yùn)算，其實質(zhì)是分母實數(shù)化. 6共軛復(fù)數(shù)zabi 與 z a bi 互為共軛復(fù)數(shù)；7復(fù)數(shù)的模設(shè) z a bi ，就復(fù)數(shù)的模：z ra2 b2 8復(fù)

9、數(shù)與點的軌跡復(fù)數(shù) zabi與復(fù)平面上的點z a,b是一一對應(yīng)的；兩點間的距離公式：d z1 z2；圓的方程： z p r（以點 p 為圓心， r 為半徑）； 三、考點剖析考點一：數(shù)學(xué)歸納法【內(nèi)容解讀】數(shù)學(xué)歸納法的表述嚴(yán)格而且規(guī)范，兩個步驟缺一不行；第一步是命題遞推的基礎(chǔ)； 其次步是遞推的依據(jù)，是論證過程的關(guān)鍵；在論證時，第一步驗算n= n0 中的 n不肯定為 1，依據(jù)題目的要求，有時可為2， 3 等；其次步證明n=k+1 時命題也成立的過程中，歸納假設(shè)p（k）起著“已知條件”的作用，必需利用歸納假設(shè)p（ k），恰當(dāng)?shù)耐ㄟ^推理和運(yùn)算推出p（k+1 ），否就就不是數(shù)學(xué)歸納法；其次步證明的關(guān)鍵是“一

10、湊假設(shè)，二湊結(jié)論” ；數(shù)學(xué)歸納法的兩步分別是數(shù)學(xué)歸納法的兩個必要條件，兩者缺一不行，兩步均予以證明才具備了充分性，也就是完成了這兩步的證明才能肯定命題的正確性；【命題規(guī)律】數(shù)學(xué)歸納法一般顯現(xiàn)在解答題中，與數(shù)列、函數(shù)等內(nèi)容結(jié)合，難度屬中等偏難；例 1、（ 2007 全國 1 理 22）已知數(shù)列an中 a12 ，an121 an2 ，n1，2，3， （）求an的通項公式；b3bn42b（）如數(shù)列bnn 1中 1，2bn3 ， n1，2，3， ，證明：2 bn a4n 3 ，n1，2，3， 解：（）由題設(shè)：an 121 an221 an2212221an22 ， an1221an2 an所以，數(shù)列2

11、是首項為 22 ，公比為21 的等比數(shù)列，nan2221 ，aan221n1即n 的通項公式為， n1，2，3， （）用數(shù)學(xué)歸納法證明（）當(dāng) n1 時，因22 ， b1a12 ，所以2b1 a1 ，結(jié)論成立（）假設(shè)當(dāng)nk 時，結(jié)論成立，即2bk a4k 3 ，也即 0bk2 a4k 33 當(dāng) nk1 時，bk 123bk42322bk432322 bk202bk32bk32bk3，11322又 2bk3223，所以kbk 12 322bkb2k3 2 322 2b 224k314 a2a4 k12 也就是說，當(dāng)nk1 時，結(jié)論成立依據(jù)（）和（）知2bn a4n3 ， n1，2，3， 2點評：此

12、題考查數(shù)學(xué)歸納法的證明，與數(shù)列、不等式等結(jié)合，屬中等偏難的試題；例 2、（2021 浙江）已知數(shù)列an， an 0， a10 ， an 1an 11a 2 nn* nt111saaan1a1a 1a 1a 1a 1a 記：n12n ，11212n求證：當(dāng)nn * 時，（） anan 1 ；（） snn2 ；（） tn3（）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng) n1 時，由于a2 是方程 x2x10 的正根，所以a1a2 *22假設(shè)當(dāng)nkkn 時，akak 1 ，a22由于 ak 1kak 2ak 21) ak 1ak 11 ak 2ak 1 ak 2ak 11，所以 ak 1ak 2 即當(dāng) nk1 時，

13、anan 1 也成立依據(jù)和，可知anan 1 對任何nn *都成立22（）證明：由ak 1ak 11ak， k1，2， ，n1 （ n 2 ），a2aaa n1a2得n23n1 a0sn1a2由于1，所以nn aaa1a22a21a1sn2由nn 1 及n 1nn 1得n，所以na2a1a 2 2a（）證明：由k 1k 1kk ，得1 ak1 k2，3， ，n1 ， n 31ak 12 ak1ana 31a 1a 1a 2 n 2 a所以341n2an，an1 n 31a1a 1a 2n2 a 2a 2 n 22n 2于是23tn22，11113n故當(dāng) n 3 時，22n 2，又由于 t1t2

14、t3 ，所以 tn3 點評：此題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法、 不等式證明等基礎(chǔ)學(xué)問和基本技能，同時考查規(guī)律推理才能考點二：極限的求解【內(nèi)容解讀】極限主要包括數(shù)列極限和函數(shù)極限，把握幾個重要極限的求法，極限的四就運(yùn)算等內(nèi)容； 懂得函數(shù)在一點處的極限，并會求函數(shù)在一點處的極限已知函數(shù)的左、右極限，會求函數(shù)在一點處的左右極限【命題規(guī)律】 極限在高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中起著橋梁作用，是中學(xué)數(shù)學(xué)與高校數(shù)學(xué)的連接點，是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，是高考的熱點之一；一般以挑選題、填空題或解答題的形式顯現(xiàn)，難度適中；lim例 3、（2021 陜西卷 13） n11a n1 naa12，就 a 1limn解：1an

15、1nalimnn1a2a11an點評：數(shù)列極限是高考熱點題型之一，把握幾種類型的求解方法；2x3當(dāng)x0時）例 4、（ 2021 重慶卷）已知函數(shù)fx=a當(dāng)x0時），點在x=0處連續(xù)，就liman2122xa nn.lim2 x3lim 2 x33f 0a解： x0x0又點在 x=0 處連續(xù)，limf xf 0lim3n213122所以 x0即 a3故 x3 nn93limf xf x0點評： f x 在點x0 處的極限值等于這點的函數(shù)值，即 xx0；函數(shù)f x 在 x0處連續(xù)，反映在圖像上是f x 的圖像在點x= x0 處是不間斷的；p111qlimnn111例 5、（2007 湖北理） 已知

16、 p 和 q 是兩個不相等的正整數(shù)， 且 q 2 ，就n（）a 0b1cp p1q d q1解：方法一特殊值法，由題意取p1, q2 ，p111qlimnn11limnn12limnn1p12n2q112就nnn，可見應(yīng)選c方法二211x1xm1x m 111x11xm1x1x12m 1x 11x1x1x令n ， m分別取 p 和 q ，就原式化為2pp 111111lim111111nlimnnnn2q 1qn 1n 1111111111nnnnnlim11nn21,lim11nnp 11,lim111,nn111所以原式 = 111pq （分子、分母1 的個數(shù)分別為p 個、 q 個）點評：

17、此題考察數(shù)列的極限和運(yùn)算法就，可用特殊值探究結(jié)論，即同時考察同學(xué)思維的敏捷性；當(dāng)不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法就時，第一化簡變形，后用法就即可；此題也表達(dá)了等比數(shù)列求和公式的逆用；考點三：導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問題【內(nèi)容解讀】 1、明白導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；2、通過函數(shù)圖象直觀地懂得導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3、能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四 就運(yùn)算法就求簡潔函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡潔的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；4、明白函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系， 能利用導(dǎo)數(shù)爭論函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；5、明白函數(shù)在某取得極值的必要條件和充分條件，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、微小值， 以及閉區(qū)間上

18、函數(shù)的最大值和最小值；體會導(dǎo)數(shù)方法在爭論函數(shù)性質(zhì)中的一般性有效 性； 5、會用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)解決一些實際問題，如生活中的最優(yōu)化問題等；【命題規(guī)律】考查導(dǎo)數(shù)的概念、切線方程、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算等內(nèi)容，在高考中常常以填空題或挑選題為主要題型，難度不大；考查單調(diào)性、極值、最值等問題及應(yīng)用問題，以中檔題為主，題型以解答題為主；例 6、2021 福建 假如函數(shù)（）yf x 的圖像如右圖 ,那么導(dǎo)函數(shù),yf x的圖像可能是解：由原函數(shù)的單調(diào)性可以得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情形依次是正 負(fù) 正 負(fù),只有答案a滿意 .x點評：深刻懂得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵；例 7、2021 廣東文 設(shè) ar ，如函數(shù) yea

19、x ， xr 有大于零的極值點，就（a ）a a1b. a1xa1c. ea1d. eyex , ya解：依題意，有 ea0 有大于 0 的實根 ,數(shù)形結(jié)合令12,就兩曲線交點在第一象限 ,結(jié)合圖像易得a1a1,選 a.點評：畫出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解，表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想；例 8、2021 湖北理 如 fx=1 x22b ln x2在-1,+上是減函數(shù)，就b 的取值范圍是（）a.-1 ，+ b. （-1，+ ） c.（ -， -1）d.（ -， -1）解：由題意可知'f xxb0x2，在 x1,上恒成立，即 bx x2) 在 x1, 上恒成立，由于x1 ，所以 b1 ，故

20、為正確答案點評：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于零，就函數(shù)在該區(qū)間上是減函數(shù)，反之也成立；假如在某區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，就函數(shù)在該區(qū)間上是增函數(shù)；例 9、2021 全國卷文 曲線y x32x4 在點 1，3 處的切線的傾斜角為（）a 30°b 45°c60°d 120°解： y'3x22 ，在點（ 1,3）處切線的斜率為：k 3×12 2 1，所以傾斜角為45°，選（ b）；點評：此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在某點處的切線的斜率問題；f xa x33 x2a1x1,其中 a例 10、（ 2021 安徽文）設(shè)函數(shù)32為實數(shù)；（）已知函數(shù)f x 在

21、x1 處取得極值，求a 的值；（）已知不等式f ' xx2xa1對任意 a0,都成立，求實數(shù) x 的取值范疇；解: 1f ' xax23x a1 ，由于函數(shù)f x 在 x1 時取得極值， 所以f ' 10即a3a10, a12 方法一：由題設(shè)知：ax23xa1x2xa1 對任意 a0, 都成立2即 a x2x22x0 對任意 a0,都成立設(shè)g aa x22x22xar,就 對 任 意 xr ，g a為 單 調(diào) 遞 增 函 數(shù) ar所以對任意 a0, ，g a 0 恒成立的充分必要條件是g00即x22 x0 ， 2x0于是 x 的取值范疇是x |2x0方法二：由題設(shè)知：a

22、x23xa1x2xa1 對任意 a0, 都成立即a x22x22xx22 x0 對任意 a0, 都成立x22 xa2于是x2 對任意 a0,都成立，即x2202x0于是 x 的取值范疇是x |2x0點評：函數(shù)在某點處取得極值，就在這點處的導(dǎo)數(shù)為0，反過來，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某點的值為 0，就在函數(shù)這點處取得極值；例 11、2021 廣東文 某單位用 2160 萬元購得一塊空地，方案在該地塊上建造一棟至少 10 層、每層 2000 平方米的樓房；經(jīng)測算，假如將樓房建為x（x10）層，就每平方米 的 平均建筑費(fèi)用為560+48x（單位：元） ；為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？購

23、地總費(fèi)用（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用 + 平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用= 建筑總面積）解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為y 元，依題意得y56048x21601000056048x10800 x10, xn * 2000xxy48就108002x，令 y480 ，即108002x0，解得 x15當(dāng) x15 時， y0 ；當(dāng) 0x15 時， y0 ，因此，當(dāng) x15 時， y 取得最小值，ymin2000 元.答：為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15 層；點評：此題是導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，求最值問題，常常就是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在極值處取得最值；例 12、2021 湖北理 水庫的蓄水

24、量隨時間而變化，現(xiàn)用t 表示時間，以月為單位，年初為起點，依據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關(guān)于t 的近似函數(shù)關(guān)系式為t214t140ex50,0t10,v （t ）=4t103t4150,10t12.（）該水庫的蓄求量小于50 的時期稱為枯水期.以 i-1 t t 表示第 1 月份（ i=1,2,12）,同一年內(nèi)哪幾個月份是枯水期？（）求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量（取e=2.7 運(yùn)算） .1解：（）當(dāng)0 t10化簡得 t2-14t+40>0,44時， vt=-t2+14t-40 e5050,解得 t 4，或 t10，又 0 t10，故 0t 4.當(dāng) 10 t12 時， v （

25、t） 4（t-10）（ 3t-41） +5050,化簡得（ t-10）（ 3t-41） 0,41解得 10 t 3，又 10 t12, 故 10 t12.綜合得 0<t<4, 或 10<t12,故知枯水期為1 月， 2 月， 3 月， 4 月， 11 月， 12 月共 6 個月 . 知： vt 的最大值只能在（4， 10）內(nèi)達(dá)到 .1tc 4 由 v （ t） =1 t 243 t4211 c 4t t 42 t8,令 v t=0, 解得 t=8t=-2 舍去 .當(dāng) t 變化時， v t與 v t 的變化情形如下表：t4,888,10v t+0-vt極大值由上表， vt 在

26、t 8 時取得最大值v8 8e2+50-108.52億立方米 .故知一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是108.32 億立方米點評：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式等基本學(xué)問，考查用導(dǎo)數(shù)求最值和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問解決實際問題才能.考點四：復(fù)數(shù)【內(nèi)容解讀】本章重點是復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)形式的運(yùn)算.難點是復(fù)數(shù)的向量表示和復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算.【命題規(guī)律】復(fù)數(shù)的概念及其運(yùn)算是高考命題熱點，從近幾年高考試題來看，主要考查復(fù)數(shù)的概念及其運(yùn)算，難度不大；2例 11、2021 福建理 如復(fù)數(shù) a3a2a1i 是純虛數(shù)，就實數(shù)a 的值為（）a.1b.2c.1 或 2d.-1解：由a 23a2 0 得 a1或2 ,且 a10

27、得a1a2 ；點評：此題主要考查復(fù)數(shù)的概念，留意純虛數(shù)肯定要使虛部不為0；例 12、2021 江西理 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zsin 2i cos 2 對應(yīng)的點位于（）a第一象限b其次象限c第三象限d 第四象限解：因 sin 20,cos 20 所以 zsin 2i cos 2 對應(yīng)的點在第四象限，選（d ）；點評： 此題考查復(fù)數(shù)的幾何意義及三角函數(shù)的學(xué)問，每一個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都有一個點與之對應(yīng)；1 3i例 13、2021 湖南理 復(fù)數(shù)i等于 a.8b. 8c.8id.8ii132 38i8i解：由iii 4,易知 d 正確 .點評：此題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，把握2i 1；例 14、 2021 上海文 如

28、 z 是實系數(shù)方程x22xp0 的一個虛根，且z 2 ，就p解：設(shè) zabi ,就方程的另一個根為zabi , 且 z2a2b22，由韋達(dá)定理，得：zz2a2,a1,b23,b3,所以 pz z13i13i4.點評：此題考查一元二次方程根的意義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模等學(xué)問；例 15、設(shè)復(fù)數(shù) z 滿意 |z i |z i | = 2，求 |z i 1|的最小值解：由題設(shè)知，復(fù)數(shù)z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點集是線段ab ，如圖所 1·示，線段 ab 上 b 點到 c 點距離最短|bc |=1， |z i 1|的最小值為1c點評：在分析問題和解決問題時，要留意解析語言的意義及運(yùn)用， 要把握圖形語言、符號語言及文字語言的互化，自覺地由“形” 到“數(shù)”與由“形”變“數(shù)”地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思維方法四、方法總結(jié)與2021 年高考猜測（一）方法總結(jié)y a·1ox· 1b1.極限的概念和運(yùn)算法就是微積分中最重要的工具，