數(shù)學(xué)教學(xué)案例

1、數(shù)學(xué)教學(xué)案例二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用一教學(xué)目標(biāo)1、 能將簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。2、 掌握用二次函數(shù)的性質(zhì)解決具體問(wèn)題的一般步驟。3、 提高學(xué)生歸納、建模、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。4、 讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)來(lái)源于實(shí)踐又作用于實(shí)踐的辯證唯物主義觀點(diǎn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。二教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：如何將生活、生產(chǎn)中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用二次函數(shù)求出最大（?。┲?。難點(diǎn)：將實(shí)際應(yīng)用轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，用二次函數(shù)求最值的建模思想。三教學(xué)過(guò)程的形成過(guò)程 成功的教案形成的過(guò)程各不相同，但有兩點(diǎn)是必不可少的：第一，借鑒他人成功的經(jīng)驗(yàn)。許多老教師、名教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富，對(duì)教材的理

2、解深刻，教學(xué)過(guò)程的處理得法，重點(diǎn)的突破和難點(diǎn)的化解都有獨(dú)到的方法，是年輕教師得以學(xué)習(xí)的。值得借鑒的可以是一份完整的教案，也可以是教學(xué)過(guò)程某一個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)，如新課的導(dǎo)入，概念的形成過(guò)程，重點(diǎn)的突破，難點(diǎn)的化解，解題步驟的歸納等學(xué)生不容易掌握的知識(shí)點(diǎn)。第二，執(zhí)教者自身對(duì)教材的理解和獨(dú)特的教學(xué)思路，在認(rèn)真學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程教學(xué)大綱和閱讀教科書后和教學(xué)參考書后，教師明確了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)理念，了解教科書中該節(jié)內(nèi)容的編寫意圖，會(huì)形成對(duì)這一教學(xué)內(nèi)容新的理解，在教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)中反映出自身的特色和風(fēng)格，這樣編寫的教學(xué)過(guò)程才會(huì)有創(chuàng)新?！岸魏瘮?shù)性質(zhì)的應(yīng)用舉例”的教案，是一位青年教師根據(jù)如下教案進(jìn)行試教，經(jīng)過(guò)其他教師

3、聽(tīng)課點(diǎn)評(píng)后，再結(jié)合執(zhí)教者對(duì)教材的深刻理解編寫的一份教案，下面我們來(lái)看這份教案形成的過(guò)程。（一） 對(duì)被借鑒的教案的實(shí)施（課堂實(shí)錄）和點(diǎn)評(píng)1、 復(fù)習(xí)提問(wèn)師二次函數(shù)y=ax2+bx+c有哪些性質(zhì)？生（略）評(píng)教師提出的問(wèn)題范圍太大，學(xué)生難以簡(jiǎn)要回答，只能照背教科書中二次函數(shù)的性質(zhì)，花費(fèi)了很多時(shí)間。這樣的問(wèn)題最好分解成小問(wèn)題，讓學(xué)生便于回答，又能復(fù)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)，才能達(dá)到預(yù)期的目的。師下面大家一起做投影上的練習(xí)。（出示投影）已知二次函數(shù)y=x2-3x+2，填空：(1)圖象的對(duì)稱軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是。直線x=, (,)(2)開(kāi)口方向是。（向上）（3）當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)x

4、 時(shí)，函數(shù)有最值，是。（，小，）（4）當(dāng)x時(shí)，y>0，若y<0，則x的取值范圍是 .(>2或<1,1<x<2)評(píng)復(fù)習(xí)練習(xí)應(yīng)起到承上起下的作用，要緊扣本節(jié)課的教學(xué)要求，一些內(nèi)容聯(lián)系不大的問(wèn)題如練習(xí)（4），該省略就省略。2、新課教學(xué)師這一節(jié)課我們來(lái)學(xué)習(xí)二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。（板書：二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用舉例）先看例1（呈現(xiàn)投影）例1 用長(zhǎng)6m的鋁合金條制成如圖1的矩形窗框，問(wèn)寬和高各是多少時(shí)，窗戶的透光面積最大？最大面積是多少？師大家考慮一下，要求窗戶的最大透光面積，應(yīng)先解決什么問(wèn)題？生先應(yīng)寫出面積關(guān)于窗寬的二次函數(shù)解析式。師窗戶面積關(guān)于窗寬的二次函數(shù)的解析式怎么求呢

5、？圖1生設(shè)窗戶寬為xm，則窗戶高為m，窗戶的透光面積y與x的關(guān)系是y=x。師這里自變量x的取值范圍是什么？根據(jù)什么來(lái)定的？生根據(jù)窗戶的寬和高都必須大于零，得6-3x>0 解得：0x<2 x>0師這樣求窗戶的最大透光面積，就轉(zhuǎn)化為求什么？生求函數(shù)y=x=的最大值。師怎樣求？生當(dāng)x=1時(shí)，y的最大值是。師對(duì)，應(yīng)注意x 的取值是否在自變量的取值范圍內(nèi)。（教師板書解題過(guò)程）評(píng)（1）這種問(wèn)答式的講課方式，表面上看教師提出的問(wèn)題學(xué)生都對(duì)答如流，沒(méi)有任何障礙，但這樣的問(wèn)答結(jié)果，學(xué)生有沒(méi)有真正掌握了問(wèn)題所在，學(xué)生的思維是否被激起？（2）新課的引入缺乏新意，照搬照抄會(huì)讓學(xué)生成為解題機(jī)器。教學(xué)中

6、應(yīng)創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在實(shí)踐中提出問(wèn)題，解決問(wèn)題，增加師生互動(dòng)，生生互動(dòng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生主動(dòng)地學(xué)習(xí)。師通過(guò)例1的講解可知，用二次函數(shù)的性質(zhì)解決生活和生產(chǎn)中的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般步驟是：列出二次函數(shù)的解析式，列解析式時(shí)要根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍。在自變量的取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式或通過(guò)配方法，求出二次函數(shù)的最大值或最小值。評(píng)數(shù)學(xué)課堂教育應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，學(xué)生能做的盡量讓學(xué)生去做，教師在必要的時(shí)候加以點(diǎn)撥，像這種歸納最好由學(xué)生去完成，教師對(duì)不完整之外進(jìn)行補(bǔ)充，讓學(xué)生體驗(yàn)一次成功的感覺(jué)。師接下來(lái)看例2。（呈現(xiàn)投影片）例2 如圖2，B船位于A船正東26Km處，現(xiàn)在A、B兩船同

7、時(shí)出發(fā)，A船以每小時(shí)12Km的速度朝正北方向行駛，B般以每小時(shí)5Km的速度向正西方向行駛，求A船何時(shí)與B船相距最近，最近距離是多少? A A B B圖2師要求兩船相距最近，應(yīng)先回答下列問(wèn)題。（呈現(xiàn)投影片）設(shè)若經(jīng)過(guò)t時(shí)，兩船A、B分別到A、B，則AA= ,BB。（2）AB（3）若設(shè)兩船的距離為s（km），寫出s關(guān)于t的函數(shù)解析式s=（4）要求出兩船之間的距離的最小值只要求什么？（指定一名學(xué)生填空：AA12t，BB=5tAB26-5tAB生要求最小值只要求二次三項(xiàng)式169t2-260t+676的最小值。師 多項(xiàng)式169t2-260t+676的最小值.怎么求呢？生甲當(dāng)t時(shí)，有最小值576。生乙用配方

8、法，1695t2-260t+676=(13t-10)2+576.當(dāng)13t-10=0,即t=時(shí)，有最小值576，則s的最小值為24評(píng)這個(gè)例題是一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題，有條件的情況下最好采用多媒體動(dòng)態(tài)圖形，使問(wèn)題更直觀、形象，問(wèn)題的解答過(guò)程可由學(xué)生學(xué)習(xí)小組討論解決、以調(diào)節(jié)課堂氣氛，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作能力。3、課堂練習(xí)師下面做書本的練習(xí)。1 如圖3，周長(zhǎng)20m的籬笆，一面靠墻圍成一個(gè)長(zhǎng)方形的園子，怎樣圍才能使園子的面積最大？最大面積是多少？ 圖3 2 把60表示成兩個(gè)正數(shù)的和，使這兩個(gè)數(shù)的乘積最大。3 已知直角三角形的兩直角邊的和為2，求斜邊的最小值，以及當(dāng)斜邊達(dá)到最小值時(shí)的兩條直角邊的

9、長(zhǎng)。（學(xué)生練習(xí)，教師巡視指點(diǎn)）評(píng)課堂練習(xí)的目的是為了使學(xué)生加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，形成知識(shí)體系，把多個(gè)練習(xí)題放在一起做有些枯燥，對(duì)鞏固所學(xué)知識(shí)的效果不是最好，練習(xí)1、2可在例1講解后就去完成，練習(xí)3放在例2講解后做，這樣更能使例題和練習(xí)配套，便于學(xué)生歸納總結(jié)。師請(qǐng)同學(xué)們考慮書本中“想一想”的問(wèn)題。想一想：你能用配方法求函數(shù)y=x2+的最小值嗎？（兩名學(xué)生板演）生甲,.生乙,.師兩個(gè)同學(xué)的答案誰(shuí)正確呢？（學(xué)生沉默）師甲的結(jié)果是錯(cuò)誤的，因?yàn)樵趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)不存在x使x+ =0；乙的結(jié)果是正確的，當(dāng)x=時(shí)， 4、課堂小結(jié)師這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：（1）分析題意，選取適當(dāng)?shù)牧繛樽宰?/p>

10、量，列出二次函數(shù)的解析式，確定自變量的取值范圍。（2）在自變量的取值范圍內(nèi)，求出二次函數(shù)的最大（小）值。5、布置作業(yè)（略）評(píng)本節(jié)課是應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)通過(guò)學(xué)生主動(dòng)參與、積極動(dòng)手、觀察、討論、歸納去發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題，這樣有利于開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，提高分析問(wèn)題的能力。新課的引入相當(dāng)關(guān)鍵，要能吸引學(xué)生的注意力，但本節(jié)課的引入缺乏新意，難激起學(xué)生的求知欲；對(duì)例題的解決了應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去探求，教師不宜講解過(guò)于細(xì)致，釋疑要留給學(xué)生。（二）修改后成功的教案1、 創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題板書課題：二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。（1） 實(shí)驗(yàn)：學(xué)生用課前準(zhǔn)備好的長(zhǎng)6cm的細(xì)鋁線圍成一個(gè)矩形。量一量，你的矩形的長(zhǎng)和寬

11、是多少？算一算，你的矩形的面積有多大？比一比，誰(shuí)圍的矩形的面積最大？（2） 思考和猜想：圍成的矩形的長(zhǎng)和寬有什么關(guān)系？矩形面積最大時(shí)長(zhǎng)和寬有什么關(guān)系呢？（學(xué)生自由發(fā)言）（ 長(zhǎng)和寬的和是定長(zhǎng)3cm；當(dāng)長(zhǎng)和寬相等時(shí)，面積最大）【提示】營(yíng)造一個(gè)學(xué)生熟悉的但不被注意的實(shí)際情境，讓學(xué)生體驗(yàn)“數(shù)學(xué)來(lái)自生活”、“數(shù)學(xué)就在你身邊”；通過(guò)動(dòng)手操作，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；提出問(wèn)題，讓學(xué)生猜想、探索，激發(fā)學(xué)生的求知欲。（3） 怎樣用數(shù)學(xué)方法驗(yàn)證“長(zhǎng)和寬相等時(shí)矩形面積最大”呢？ 通過(guò)多媒體動(dòng)態(tài)圖形觀察，矩形的和變化時(shí)，寬也在變化，若長(zhǎng)為xcm,則寬為多少？(3-x)cm 矩形的面積怎樣計(jì)算？面積y（cm2）與長(zhǎng)x（cm

12、）有什么關(guān)系？y=x(3-x) x的取值范圍由什么確定？怎樣求？ 怎樣求面積y(cm2)的最大值呢？【提示】培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)去分析問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中蘊(yùn)藏著一些相互聯(lián)系的變量，找出最有代表性的變量設(shè)元，從而將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，使學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)建模思想。2、 例題分析，比較歸納（1） 例1用長(zhǎng)6m的鋁合金條圍成如圖4形狀的矩形窗框，問(wèn)寬和高各是多少時(shí)，窗戶的透光面積最大？最大面積是多少？圖4學(xué)生根據(jù)實(shí)驗(yàn)中的矩形進(jìn)行分析，探索解決問(wèn)題的方法。教師結(jié)合下列問(wèn)題進(jìn)行啟發(fā)： 本題中有哪些變化的量？哪個(gè)量與其他變量的關(guān)系都比較明顯？（窗框的寬，窗框的高，窗框的面積） 設(shè)這一有代表性的量為x，請(qǐng)用x

13、表示面積y。（學(xué)生口述，教師板書解題過(guò)程）【提示】與實(shí)際情形比較，培養(yǎng)學(xué)生類比能力，滲透比較思想，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，通過(guò)例題講解，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。（2） 嘗試反饋：如圖5，用長(zhǎng)20m的籬笆圍成一個(gè)一面靠墻的長(zhǎng)方形的園子，園子前面空出一段長(zhǎng)1m的空隙為進(jìn)出小門（小門不用籬笆），怎樣圍才能使園子的面積最大？最大面積是多少？ 1m圖5 把60表示成兩個(gè)正數(shù)的和，使這兩個(gè)正數(shù)的積最大。（3） 歸納用二次函數(shù)解實(shí)際問(wèn)題的步驟:（學(xué)生回答，教師補(bǔ)充并板書） 選擇適當(dāng)?shù)淖兞繛樽宰兞浚?列二次函數(shù)的解析式； 確定自變量的取值范圍； 在自變量取值范圍內(nèi)，求二次函數(shù)的最大（?。┲?，（用公式法或配方法）3、

14、 深入探究，問(wèn)題遷移（1） 出示實(shí)驗(yàn)中矩形的多媒體動(dòng)態(tài)圖形，如圖6，在實(shí)驗(yàn)圍成的矩形中，對(duì)角線L與邊長(zhǎng)（x）有何關(guān)系？學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：當(dāng)矩形的邊長(zhǎng)AB變化時(shí)，它的對(duì)角線L的長(zhǎng)也隨著變化。DC3-XLAXB圖6能否寫出L關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系？（L0<x<3）能否求出對(duì)角線L的最小值？當(dāng)被開(kāi)方式2x2-6x+9取最小值時(shí)，對(duì)角線L也有最小值。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求2x2-6x+9取最小值。（2） 例題分析。例2 （題目在原教案例2）閱讀題目，觀察多媒體動(dòng)態(tài)圖形（呈現(xiàn)多媒體動(dòng)態(tài)圖形），分小組討論，討論后歸納出解題思路：（1）t 小時(shí)后兩船分別航行的路程AABB。（12t, 5t）（2）在RtABA中，A

15、B。（26-5t）（3）在RtABA中，s=AB=。（,t>0）（4）要求s的最小值，只要求出169t2-260t+676的最小值再開(kāi)方就行了。讓學(xué)生閱讀課本，理解教材中的解題過(guò)程?！咎崾尽堪才耪n堂討論，發(fā)掘?qū)W生思維，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作能力；通過(guò)看書，培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力，用不同的方式進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)，使課堂氣氛更加活躍。4、 歸納小結(jié)（1） 這節(jié)課學(xué)習(xí)了用什么知識(shí)解決哪一類問(wèn)題？（2） 解決這類問(wèn)題的步驟是什么？應(yīng)注意什么問(wèn)題？【提示】讓學(xué)生歸納教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生對(duì)知識(shí)加深理解，形成體系，為今后繼續(xù)學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。5、 遷移拓展（1） 你能用配方法求出函數(shù)y=x2+的最小值嗎？（2） 某商店購(gòu)進(jìn)一

16、批單價(jià)為16元的日用品，銷售一段時(shí)間后，為了獲得更多利潤(rùn)，商店決定提高銷售價(jià)格。經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若按每件25元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣360件；若按每件30元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣210件，假定每月銷售件數(shù)y（件）是價(jià)格x（元/件）的一次函數(shù)。 試求y與x之間的關(guān)系式。 在商品不積壓，且不考慮其他因素的條件下，問(wèn)銷售價(jià)格定為多少時(shí)，才能使每月獲得最大利潤(rùn)？每月的最大利潤(rùn)是多少？（總利潤(rùn)總收入總成本）四教學(xué)反思（一）精心設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境在自然科學(xué)教學(xué)中，教師指導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)是非常正常的事，而數(shù)學(xué)課堂似乎與實(shí)驗(yàn)無(wú)緣，其實(shí)，一切知識(shí)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)世界，數(shù)學(xué)也是如此。新的數(shù)學(xué)理念就是要求學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)

17、生、形成的過(guò)程，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以讓深知實(shí)驗(yàn)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)，體驗(yàn)從中獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的樂(lè)趣。本節(jié)課教學(xué)的引入進(jìn)行了精心的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生從實(shí)驗(yàn)和多媒體的動(dòng)態(tài)圖形中得到感性的認(rèn)識(shí)，又以實(shí)驗(yàn)為手段對(duì)有關(guān)知識(shí)進(jìn)行進(jìn)一步探究，從而理性地認(rèn)識(shí)二次函數(shù)性質(zhì)的實(shí)質(zhì)。（二）步步設(shè)計(jì)問(wèn)題，提高思維層次著名數(shù)學(xué)教育有波利亞曾說(shuō)過(guò)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟。”足見(jiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位。本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的進(jìn)展，以矩形為載體，合理地設(shè)計(jì)了有針對(duì)性的問(wèn)題，有意地將問(wèn)題“復(fù)雜化”，使教學(xué)在學(xué)生已有的認(rèn)識(shí)水平上展開(kāi)，讓學(xué)生的思維深入到解題的過(guò)程中去。同時(shí)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中又能發(fā)現(xiàn)新的問(wèn)題，一環(huán)接著一環(huán)，學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性隨之調(diào)動(dòng)，學(xué)生的參與性達(dá)到高潮。由于問(wèn)題的設(shè)計(jì)能圍繞學(xué)生容易產(chǎn)生困惑地地方展開(kāi)，引導(dǎo)學(xué)生抓住最本質(zhì)的現(xiàn)象進(jìn)行思維，理清了思路，為教學(xué)目標(biāo)的完成做好了鋪路搭橋的工作。（三）歸納整理經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)成功樂(lè)趣總結(jié)不僅可以進(jìn)一步梳理、鞏固所學(xué)的知識(shí)，有利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有整體認(rèn)識(shí)，更重要的是提煉出讓學(xué)生感受教學(xué)中的數(shù)學(xué)方法，使學(xué)生的思維水平有所提高，教學(xué)時(shí)，讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行整理、歸納能提高學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，更容