一類遞推數(shù)列涉及的五個問題

1、一類遞推數(shù)列涉及的五個問題兼析2015年浙江高考數(shù)學(xué)理科壓軸題范廣法（浙江省桐鄉(xiāng)第二中學(xué)314511 ） 2015年浙江高考數(shù)學(xué)理科壓軸題（第20題）是：例1已知數(shù)列g(shù)”滿足5二+且£+1二暫一必w n*）.（1 ）證明：1w丄w2 5wn*）（筆者注：左邊的等號取不到）; %1c1(ii )設(shè)數(shù)列的前n項和為證明(n e n*).1 丿2(+ 2) n 2(/? +1)顯然題中的數(shù)列t/jill首項再與遞推式和=an-a；共同確定，為此本文研究由首項勺與遞推式an+l=f（atl）（其中/（兀）是二次函數(shù)）所確定的無窮數(shù)列色所涉及到的兒個問題.象例1中的遞推式an+i = an -

2、 a有時也會改成其迭代后的形式an+i = a（l-aj（l-a2）-l-an）,這樣改頭換面后問題的隱蔽性就更強了.1數(shù)列的圖形表示先來考慮數(shù)列的圖形表示問題.我們希望將此類數(shù)列屮的項表示在曲線y二/（兀）或直線y = x 上，進(jìn)陽發(fā)現(xiàn)數(shù)列的一些簡單性質(zhì)（如單調(diào)性、有界性等），獲取對數(shù)列的感性認(rèn)知，從而再迅速有 效切入試題.下以例1為例說明如何解決此類數(shù)列的圖形表示問題.在平面直角坐標(biāo)系中，過點（,0）作兀軸的垂線交illi線）/（兀）于人，交直線y = x于b】,再過人作a,色的垂線交直線y = x于場，過場作人場的垂 線交曲線y = /（x）于仏，依此類推，反復(fù)作垂線就得到點列 ak （

3、ak,務(wù)+】），bk（ak,ak）,這樣a”就表示在曲線 _y = /（%）和直線y = x±我們把圖1這樣的圖叫做數(shù)列 a的迭代圖.當(dāng)正整數(shù)r由小到大變化時,通過觀察點4 或乞位置變化可得atl滿足0勺w*，色+凡limd“=0,這樣對%有了初步的認(rèn)知.若過原點與拋物線頂點作一條直線y =丄兀，就會發(fā)現(xiàn)” t4o02入總在直線y = x的下方直線)，=丄x的上方(只有a在直線上)，所以必有丄w汕 <1,這就 22陽是第一問的圖形解釋迭代圖有時就能直接反映問題的背景，顯示問題的答案，如：例2 (2012年安徽髙考理第21題)數(shù)列£滿足：斗二0,陥嚴(yán)£ + c

4、 5 w n *).求c的 取值范圍，使數(shù)列£是單調(diào)遞增數(shù)列.圖2分析:設(shè)/(x)= -x2 +兀+ c ,則兀計=/(£)由兀1 <兀2得 c>0, /一個不動點是逐，做£的迭代圖(見圖2), 可得?！?< xn+i < yc，且 lim xn = y/c (即 lim b“=d),必有一+ooh->+oo點d在/(x)的對稱軸x = |上或其左側(cè)，從而0 v c w扌2數(shù)列的通項現(xiàn)在討論數(shù)列血的通項問題.若坷是函數(shù)y = /(x)的不動點，則數(shù)列他是常數(shù)列.拋開這種惜況不談，例1屮數(shù)列如的通項很難求出或許根木不存在(與 其將精力集

5、中到求通項上倒不如在遞推式上多下點功夫)，但當(dāng)遞推式具冇特殊結(jié)構(gòu)時就冇可能獲 取數(shù)列的通項，女口：例3 (改編口 2006年山東鬲考理第22題)已知坷=2,點”衛(wèi)曲)在函數(shù)/(x) = x2+2x的 圖象上，其中料=1,2,3,求數(shù)列an的通項.分析：易得% =盜 + 2色且色 >0,%+i+l = (色+1幾 ln(l + %+) = 21n(l + d“),ln(l + an)是公比為 2 的等比數(shù)列，ln(l +an) = 2心 ln3 = ln3肝,an = 3肝 一 1.這就表明當(dāng)遞推式滿足曾+i + k = a(an +k)a豐0)時可以求出數(shù)列血的通項，但特殊結(jié)構(gòu) 又不只這

6、一種，如數(shù)列如滿足6/,e(-l.l), tz,j+1 = 2a；t -1時也可求得他的通項.3數(shù)列的逼近例1屮，由于1w£w2 ,丄w弘w1,從而(丄丄，這表明%的通項總是色+】2%22介于兩個等比數(shù)列厶、丄的通項z間；由于s” =©-%+】，一!£玉£?等價轉(zhuǎn)222(+ 2) n 2(n +1)化為丄丄，再等價轉(zhuǎn)化為“ + 1w丄w2/?,這說明丄的通項可用兩個等差數(shù)列的通 2nn +1anan項來逼近；考慮到竺二 =!且0vd”w丄，從而丄ww1,an+i an+i j 1 一色22 alt+l an + lw丄w2n,這樣仏的通項a”滿足丄丄，同

7、樣是數(shù)列的逼近問題，所以從某種 5 2 /? +1也度來說例1實際上就是數(shù)列的逼近問題.4和與積的線性關(guān)系例1中的企是個奇特乂另類的數(shù)列，其前項的和與乘積存在線性關(guān)系.現(xiàn)簡述如f： %將山+】=山兩邊取倒數(shù)得丄=丄+ -，此式有個另類“ - ”，設(shè)bn =丄 %+1 礙 1一住1一色1一n11hn11zz1叫金兀肓凸訝心呼'吩石乙考慮到r 從而tn=2pn-2.可見7,、代之間存在線性關(guān)系.若已知變?yōu)?數(shù)列色滿足a =,am+1 -a +an,n = 1,2,3,將嚴(yán) + a,兩邊取倒數(shù)得_l =，此式也有個另類“ ”，設(shè)色+151 + 51+色b =“1+色a11川“11從而tn+2

8、p=2, t.打之間也存在線性關(guān)系.若已知變?yōu)?數(shù)列%滿足ax =29an+l =a -an +1屮=123,先將色+嚴(yán)尤- + 1變?yōu)榱?1-1二尤'兩邊再収倒數(shù)得一=丄+丄,此式有個另%_1色_1 an類“丄”，設(shè)仇=丄即bn=旦二lanan勺+】一1色i q曲一1tn='1,p“ =',從而tn=ptl-l, t”、住之間也存在線性關(guān)系. 色+i -15+1 一 15拋物線的切線由例1可知an <an+,此不等式還有切線背景,即在圖1中直線y =兀與曲線f(x) = x-x2相 切于原點，且肓線y = x在拋物線的上方.利用切線背景我們可以構(gòu)造一個線性遞推不等式，從而設(shè)計出一些試題例4己知數(shù)列色滿足色+i = aj + 5,a】=1( w n*) 求止張皿” 口蠱+士+盅音分析：(i )顯然直線y = 4x+l與曲線/(x) = x2+5相切于(2,9)點,且切線在拋物線的下方，所以點(,q“+i )在切線y = 4x +1的上方,必冇4+1> 4an +1 ；11 “ 1(ii)1 + 3%> _ 1 + 3色，11 1<一11144"+ +<