不定積分概念與基本積分公式81(數(shù)分教案)

1、第八章第八章 不定積分不定積分 8.1不定積分概念與基本積分公式不定積分概念與基本積分公式 8.2換元積分法與分部積分法換元積分法與分部積分法 8.3有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分定積分8.1不定積分概念與基本積分公式不定積分概念與基本積分公式 一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). )0(1ln xxxxln是是x1在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù).如如果果在在區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi)，定義：定義：可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xf的的即即ix ，都都有有)()(xfxf 或或dxxfxdf)

2、()( ，那那么么函函數(shù)數(shù))(xf就就稱稱為為)(xf導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)為為)(xf，例：“求”出下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的原函數(shù)：(2)21( ), ( 1,1);1f xxx 2( ), ;f xxxr(1):解3(1)3x2,xxr32.3xxr在 內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)為(2)arcsin x21,1x( 1,1)x 21( 1,1)arcsin .1xx在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)為2. 若已知某個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在,又怎樣把它求出來?研究原函數(shù)必須解決下面兩個(gè)重要問題:1. 滿足何種條件的函數(shù)必定存在原函數(shù)?如果存在,是否唯一?注意:一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)不是唯一的.事實(shí)上,21arccos,1xx21arccos(

3、1,1).1xx也是在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)3. 原函數(shù)的結(jié)構(gòu)？原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：簡(jiǎn)言之：簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).定理8.1 注意：(1)由于一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都連續(xù)，所以一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都有原函數(shù)。 下一個(gè)問題：下一個(gè)問題：(1) 原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？例例 xxcossin xcxcossin （ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）c(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？關(guān)于原函數(shù)的結(jié)構(gòu)：關(guān)于原函數(shù)的結(jié)構(gòu)：定理8.2 ffi設(shè) 是 在 上的一個(gè)原函數(shù),則 ,fcfi(1)也是 在 上的原函數(shù)c其中 為任意常數(shù);(2),

4、fi在 上的任意兩個(gè)原函數(shù)之間 只可能相差.一個(gè)常數(shù)證證:(1) )()()()(xgxfxgxf 0)()( xfxfcxgxf )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）c(2)( )( )( ),f xcf xf x xixi( )( )( )f xg xf xi設(shè)和皆為在 上的原函數(shù)xi由拉格朗日中值定理的推論( )( ),f xf x( )( )g xf x此定理提示了一個(gè)函數(shù)的全體原函數(shù)的結(jié)構(gòu)，要把已知函數(shù)的原函數(shù)全體求出來，只需求其中一個(gè)原函數(shù)，由它加上任意常數(shù)，便得到全部的原函數(shù)。積分常數(shù)積分常數(shù)積分號(hào)積分號(hào)被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：cxfdxxf )()(被積

5、表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量定義fi函數(shù) 在區(qū)間 上的全體原函數(shù),fi稱為 在 上的不定積分記作( )f x dx,ff如果 是 的一個(gè)原函數(shù)( )( );f xf x即ffc c則 的不定積分為為任意常數(shù)簡(jiǎn)寫為: :于是有2x dx3,3xc211dxxarcsin,xccosxdxsin,xc1dxxln,xc0,x 不定積分的幾何意義:( )( ),f xf x若是的一個(gè)原函數(shù)( )yf x則稱的圖象( )f x是的一條積分曲線.( )yf x( )yf xcoyx0 x( )f x于是函數(shù)的不定積分( )f x表示的某一條積分曲線沿著縱軸方向任意地.平行移動(dòng)而得到的所有積分曲線組成

6、的曲線族,顯然若在每一條積分曲線上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處,作切線 則這些切線.都是互相平行的 , a例 設(shè)質(zhì)點(diǎn)作勻加速直線運(yùn)動(dòng) 其加速度為( ),( );tv ts t在時(shí)刻 的速度為路程為00( ),v tv若已知00( ).( ).s tss t求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律:解( ),v ta ( )v tadt則atc00( ),v tv由,:代入上式 得00,cvat于是00( )v ta ttv00 ( )s ta ttv即00( )s ta ttv dt200112a ttv tc00( ),s ts由,:代入上式 得100 0,csv t故質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律( )s t200001.2a ttvtts

7、00( )s tss( )s t( )yf xoyx0 x上述例子說明: （稱為初始條件） 來確定其中的任意常數(shù)， 從而，得到所求的原函數(shù) ( )f x dx00()f xy例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx例例3 3 設(shè)曲線通過點(diǎn)（設(shè)曲線通過點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解解設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是

8、是x2的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù).,22 cxxdx,)(2cxxf 由曲線通過點(diǎn)（由曲線通過點(diǎn)（1，2）, 1 c所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可知 ( )( ),f x dxf xc又 ( )( ).df xf xc即結(jié)論：結(jié)論： 微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是的的.( )f x dx( )f xc( )f x( );f x( )df x dx( )d f xc( )f x dx,ff如果 是 的一個(gè)原函數(shù)( )( )f x dxd f x這里記實(shí)例實(shí)例 xx 11.11cxdxx 啟示啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分

9、公式？能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.)1( 二、二、 基本積分表基本積分表基基本本積積分分表表 kckxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 cxdxx;ln)3( cxxdx說明：說明： , 0 x,ln cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( cxxdx,|ln cxxdx簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為.ln cxxdx dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx xdxcos)6(;sincx xdxsi

10、n)7(;coscx xdx2cos)8( xdx2sec;tancx xdx2sin)9( xdx2csc;cotcx xdxxtansec)10(;seccx xdxxcotcsc)11(;csccx dxex)12(;cex dxax)13(;lncaax (14) 0dxc例例4 4 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25cx 125125.7227cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2）cxdxx 11 三、三、 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)8.3 定理,fgi如果函數(shù) 與 在區(qū)間 上都存在原函數(shù)12,k k 為兩個(gè)任意常數(shù),12.:k fk gi則在 上也存在原函數(shù)且

11、1212( )( )( )( )k f xk g xdxkf x dxkg x dx:證明12( )( )kf x dxkg x dx12( )( )kf x dxkg x dx12( )( )k f xk g x12( )( ).kf x dxkg x dx且中含有任意常數(shù)項(xiàng).等式成立 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情況）（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情況）特別地，有： dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k11(3) ( )( )nniiiiiik f xdxkf x dx例例5 5 求積分求積分解解.)121

12、3(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 c 例例6 6 求積分求積分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctancxx 注意:這里計(jì)算不定積分的方法是,(1)對(duì)被積函數(shù)作恒等變形,化為基本積分公式表中的函數(shù)的線性組合;(2)運(yùn)用定理8.3這種計(jì)算不定積分的方法分項(xiàng),稱為積分法.例例7 7 求積分求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arct

13、an1cxx 例例8 8 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21cx 例例 9 9 已知一曲線已知一曲線)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn))(,(xfx處的處的切線斜率為切線斜率為xxsinsec2 ，且此曲線與，且此曲線與y軸的交軸的交點(diǎn)為點(diǎn)為)5 , 0(，求此曲線的方程，求此曲線的方程.解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costancxx , 5)0( y, 6 c所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy基本積分表基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：原函數(shù)的概念：)()(xfxf 不定積分的概念：不定積分的概念： cxfdxxf)()(求微分與求積分的互逆關(guān)系求微分與求積分的互逆關(guān)系四、四、 小結(jié)小結(jié)思考題思考題符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf在在 內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？?jī)?nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？),( 思考題解答思考題解答不存在不存在.每一個(gè)含有每一個(gè)含有第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)都沒有原函數(shù)的函數(shù)都沒有原函數(shù).不