復(fù)變函數(shù)(西交大)第五講

1、第五講 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分cauchy積分公式積分公式解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)& 1. 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念& 2. 積分計(jì)算公式積分計(jì)算公式3.4 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分 1. 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念 由由2基本定理的推論知：設(shè)基本定理的推論知：設(shè)f (z)在單連通區(qū)在單連通區(qū)域域b內(nèi)解析，則對(duì)內(nèi)解析，則對(duì)b中任意曲線中任意曲線c, 積分積分c fdz與路與路徑無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。徑無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。 當(dāng)起點(diǎn)固定在當(dāng)起點(diǎn)固定在z0, 終點(diǎn)終點(diǎn)z在在b內(nèi)變動(dòng)內(nèi)變動(dòng),c f (z)dz

2、在在b內(nèi)就定義了一個(gè)變上限的單值函數(shù)，記作內(nèi)就定義了一個(gè)變上限的單值函數(shù)，記作 zzdfzf0)1()()( 定理定理 設(shè)設(shè)f (z)在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域b內(nèi)解析，則內(nèi)解析，則f(z)在在b內(nèi)解析，且內(nèi)解析，且)()( zfzf 定義定義 若函數(shù)若函數(shù) (z) 在區(qū)域在區(qū)域b內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于f (z) ，即，即 ,稱稱 (z)為為f (z)在在b內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù). )()( zfz zzdfzf0)()( 上面定理表明上面定理表明 是是f (z)的一個(gè)的一個(gè)原函數(shù)。原函數(shù)。設(shè)設(shè)h (z)與與g(z)是是f (z)的任何兩個(gè)原函數(shù)，的任何兩個(gè)原函數(shù)，)(,)()(0)()()(

3、)( )()(為任意常數(shù)為任意常數(shù)cczhzgzfzfzhzgzhzg 這表明：這表明：f (z)的任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。的任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。( (見(jiàn)第二章見(jiàn)第二章2 2例例3)3) czfdzzf)()(2. 積分計(jì)算公式積分計(jì)算公式定義定義 設(shè)設(shè)f(z)是是f (z)的一個(gè)原函數(shù)，稱的一個(gè)原函數(shù)，稱f(z)+c(c為為任意常數(shù)任意常數(shù))為為f (z)的不定積分，記作的不定積分，記作定理定理 設(shè)設(shè)f (z)在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域b內(nèi)解析，內(nèi)解析， f(z)是是f (z)的一個(gè)原函數(shù)，則的一個(gè)原函數(shù)，則),()()()(100110bzzzfzfdzzfzz a 此公式類似于

4、微積分學(xué)中的牛頓萊布尼茲公式此公式類似于微積分學(xué)中的牛頓萊布尼茲公式.a 但是要求函數(shù)是但是要求函數(shù)是解析解析的的,比以前的比以前的連續(xù)連續(xù)條件要強(qiáng)條件要強(qiáng)例例1 計(jì)算下列積分：計(jì)算下列積分：;3,3, 0re, 31)12iizzcdzzc終終點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)為為為為半半圓圓周周：其其中中 解解1) 32|1211,00re1331222izdzzzzziic 故故上解析上解析，在在32319312222222ideideiedzziiic ：解解., 1arg1)2的的任任意意曲曲線線終終點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)為為內(nèi)內(nèi)：為為單單連連通通區(qū)區(qū)域域其其中中zzdcdzzc ).(ln1lnln11l

5、n,1dzzzdzzzzdzc 故故的一個(gè)原函數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，是是又又內(nèi)解析內(nèi)解析在在解解2)例例3 計(jì)算下列積分：計(jì)算下列積分：32|332izdzziiii 11111|11 nnnnnzndzz iiizzzzdzziicossin|cossinsin00 小結(jié)小結(jié) 求積分的方法求積分的方法knkkncxfdzzf 1)(lim)()1( udyvdxivdyudxdzzfc)()2(dttztzfdzzfc)()()()3( 0)(,)()4( cdzzfbcbzf則則單單連連通通解解析析若若)()(,)()(,)()5(1010zfzfzfdzzfbbzfzzzz 則則單單連連通通

6、內(nèi)內(nèi)解解析析在在若若 利用利用cauchy-goursat基本定理在多連通域上基本定理在多連通域上的推廣的推廣,即復(fù)合閉路定理即復(fù)合閉路定理,導(dǎo)出一個(gè)用邊界值表示解導(dǎo)出一個(gè)用邊界值表示解析函數(shù)內(nèi)部值的積分公式析函數(shù)內(nèi)部值的積分公式,該公式不僅給出了解析該公式不僅給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式，從而成為研究解析函數(shù)函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式，從而成為研究解析函數(shù)的有力工具，而且提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉的有力工具，而且提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的方法路積分的方法.內(nèi)內(nèi) 容容 簡(jiǎn)簡(jiǎn) 介介3.5 cauchy積分公式積分公式0)(.)(,)(,00000一一般般不不解解析析在在則則的的一一條條閉閉曲

7、曲線線內(nèi)內(nèi)圍圍繞繞是是內(nèi)內(nèi)解解析析在在單單連連通通設(shè)設(shè) cdzzzzfzzzzfzdcbzdzfd 100)()(ccdzzzzfdzzzzf的的內(nèi)內(nèi)部部曲曲線線在在內(nèi)內(nèi)部部的的任任意意包包含含由由復(fù)復(fù)合合閉閉路路定定理理得得ccz 10,分析分析dcz0c1)(21)()()(00000011zifdzzzzfdzzzzfdzzzzfccc )0(01可可充充分分小小 zzzc)()(,0)(,)(0zfzfzfczf 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)上上的的函函數(shù)數(shù)值值在在的的連連續(xù)續(xù)性性 .,這這就就是是下下面面的的定定理理這這個(gè)個(gè)猜猜想想是是對(duì)對(duì)的的dcz0c1猜想積分猜想積分特別取特別取定理定理(cauch

8、y 積分公式積分公式)內(nèi)內(nèi)任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)為為它它的的內(nèi)內(nèi)部部完完全全含含于于曲曲線線內(nèi)內(nèi)任任意意一一條條正正向向簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉是是內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在設(shè)設(shè)czddcdzf0)3,)2,)()1 cdzzzzfizf00)(21)( ).(2)(lim:,)()(.000000zifdzzzzfrkdzzzzfdzzzzfcrzzzkkrck 只只須須證證明明無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的半半徑徑與與的的內(nèi)內(nèi)部部設(shè)設(shè)證明證明 )(2)( ,0, 0:000zifdzzzzfrzzk即即要要證證 kkkdzzzzfdzzzzfzifdzzzzf000001)()()(2)( 2)()(00 kkdsrdszzz

9、fzf )()(0, 0)()(lim0000zfzfrzzzfzfzz kdzzzzfzf00)()()(2)(lim000zifdzzzzfkr cdzzzzfizf00)(21)( 積積分分公公式式仍仍成成立立. .上上連連續(xù)續(xù)及及在在內(nèi)內(nèi)解解析析, ,所所圍圍區(qū)區(qū)域域在在( (1 1) )若若定定理理?xiàng)l條件件改改為為cauchybbcbczf,)( a . . , , f f( (z z) ) . .c c積積分分公公式式 ( (2 2) )定定了了內(nèi)內(nèi)部部任任一一處處的的值值也也就就確確則則它它在在區(qū)區(qū)域域確確定定在在區(qū)區(qū)域域邊邊界界上上的的值值一一經(jīng)經(jīng)即即若若值值來(lái)來(lái)表表示示的的值

10、值可可以以用用它它在在邊邊界界的的內(nèi)內(nèi)部部任任一一點(diǎn)點(diǎn)表表明明函函數(shù)數(shù)在在cauchy cidzzzzfizfzzc000)(21)(re:)3( 則則若若a 一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值圓周上的平均值. . 200re)re(21driezfiiii 200)re(21dzfi 443211)2sin21)1zzdzzzdzzzi）（求求： 0sinsin21)104 zzzdzzzi iiidzzzdzdzzzzfzzz 62212321)3211()221)(444 及及例例1解解.1122線線在在內(nèi)內(nèi)的的任任意意簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單正正向向曲曲為為

11、包包含含求求 zcdzzzzc例例2 21222121212cccdzzzzdzzzzdzzzz解解cc1c21xyo 21112112ccdzzzzdzzzziizzizzzzc 4 212211210 積積分分公公式式由由).1( ,173)(, 3222ifdzzfyxcc 求求表表圓圓周周設(shè)設(shè) 例例3解解 )613(27)1(62)1( 3)76(230)( 3)173(230173)(173222 iiiifzzizzfzzzizdzzfzzc 故故又又在全平面上處處解析，在全平面上處處解析，內(nèi)內(nèi) 容容 簡(jiǎn)簡(jiǎn) 介介 本節(jié)研究解析函數(shù)的無(wú)窮次可導(dǎo)性，并導(dǎo)本節(jié)研究解析函數(shù)的無(wú)窮次可導(dǎo)性，

12、并導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式。研究表明：一個(gè)解析函出高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式。研究表明：一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù)，而且有各階導(dǎo)數(shù)，它的值數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù)，而且有各階導(dǎo)數(shù)，它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示。這也可用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示。這一點(diǎn)與實(shí)變函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別。一點(diǎn)與實(shí)變函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別。6 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)得得兩兩邊邊在在積積分分號(hào)號(hào)下下對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)積積分分公公式式0000)()(21)(zdzdzzzzfizfc cdzzzzfizf200)()(21)( cdzzzzfizf300)()(2!2)( ), 2 , 1()()(2!)(100)( ndzzzz

13、finzfcnn 形式上，形式上，以下將對(duì)這些公式的正確性加以證明。以下將對(duì)這些公式的正確性加以證明。.,)(), 2 , 1()()(2!)(,)(000)(1dzdzfcndzzzzfinzfnzfcnn 而而且且它它的的內(nèi)內(nèi)部部任任意意正正向向簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線的的內(nèi)內(nèi)圍圍繞繞的的解解析析區(qū)區(qū)域域?yàn)闉樵谠谄淦渲兄须A階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為它它的的的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)仍仍為為解解析析函函數(shù)數(shù)解解析析函函數(shù)數(shù) 定理定理證明證明 用數(shù)學(xué)歸納法和導(dǎo)數(shù)定義。用數(shù)學(xué)歸納法和導(dǎo)數(shù)定義。zzfzzfzfdznz )()(lim)( .100000的的情情形形先先證證 cdzzzzzfizzf 00)(21)( cdzz

14、zzfizf00)(21)( 由由柯柯西西積積分分公公式式 cccdzzzzzzzfidzzzzfdzzzzzfzizzfzzf)()(21)()(21)()(000000 令為令為i ccdzzzzzzzzfidzzzzfi20020)()(21)()(21 ccdszzzzzzfzdzzzzzzzzfi200200)(21)()(21 則則有有取取則則上上連連續(xù)續(xù)在在上上解解析析，在在,21min,)(,)()(0dzzzdmzfmczfczfcz dzzzdzzzzzzdzzdzz21,211,00000 ）（*)()(21)()(lim)( 200000 czdzzzzfizzfzzf

15、zf 從從而而有有顯顯然然，的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度）,0lim(03 icldmlziz .2)()(的情形的情形的方法可證的方法可證式及推導(dǎo)式及推導(dǎo)再利用再利用 n czdzzzzfizzfzzfzf300000)()(2!2)( )( lim)( 依次類推，用數(shù)學(xué)歸納法可得依次類推，用數(shù)學(xué)歸納法可得 cnndzzzzfinzf100)()()(2!)( .,)()(無(wú)無(wú)窮窮次次可可導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)內(nèi)解解析析即即在在具具有有各各階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)在在內(nèi)內(nèi)解解析析平平面面上上在在定定理理表表明明 ddzfdzzf一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)。一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)。)(!2)()(:0)(10zfnidzzzzfncn 可可計(jì)計(jì)算算積積分分用用途途 czcdzzedzzzrzc225)1()2)1(cos)11: 求求下下列列積積分分值值例例1iizidzzzzzc12)(! 42)(cos!152)1(coscos)1541)4(5 ）（在全平面處處解析在全平面處處解析解解的的內(nèi)內(nèi)部部不不相相交交且且在在取取處處不不解解析析在在cccizcizcizizez21221122,:.)()2 21222222)()()1(czczczdzzie