實(shí)變函數(shù)教案(共63頁(yè))

1、實(shí)變函數(shù)教案總48學(xué)時(shí)實(shí)變函數(shù)誕生于上世紀(jì)初（法）Lebesgue 創(chuàng)立Lebesgue積分Riemann積分的對(duì)象是連續(xù)函數(shù)；Lebesgue積分的對(duì)象是可測(cè)函數(shù)，其應(yīng)用廣泛測(cè)度積分形成后，建立了泛函分析理論它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一門(mén)重要課程，應(yīng)用廣泛第一章集合§1.1, 1.2 集合表示及運(yùn)算1集合概念集合：具有某種共性的事物的全體,記為 空集：；全集：X 元素：如：；B=一個(gè)班級(jí)全體學(xué)生2包含與相等是指：；稱(chēng)A是B的子集是指：若，稱(chēng)A為B的一個(gè)真子集關(guān)系滿(mǎn)足：(1) ； (2) ；(3) 3集合的運(yùn)算并集 ；交集 ；若，稱(chēng)A與B不相交；差集 ；余集 （畫(huà)圖示）集合運(yùn)算性質(zhì)：(1) 交換

2、律：；(2) 結(jié)合律：；(3)分配律： ；(4) 對(duì)偶律：4集族 集族：X為集合，集合A的元素都是X的子集，稱(chēng)A為X的一個(gè)集族：A中所有元素的并； ：A中所有元素的交冪集：，X的全體子集構(gòu)成的集族指標(biāo)集， 有集族并：；交：如 ，得到集列； ， 簡(jiǎn)記 5集合序列的極限定義1.1.1. 為一集列，上限集：；下限集：關(guān)系：若， 稱(chēng)收斂例1. 令 ， 則 收斂例2. 令 ， 則 ， 故 發(fā)散定理1.1.1. 為一集列，則(1) 有無(wú)窮多個(gè)含有x；(2) 定義1.1.2. (單調(diào)集列)單增集列：； 單減集列：結(jié)論：(1) 若，則 ；(2) 若，則 證：(1) ；6集族的直積A與B的直積集 ；的直積集&#

3、167;1.3, 對(duì)等于基數(shù)1映射（對(duì)應(yīng)）概念映射f：x原象， y象， X定義域滿(mǎn)射：；單射：；一一映射：滿(mǎn)射+單射恒等映射 ， （一一映射）若 ，稱(chēng)f為X上的實(shí)（或復(fù)）函數(shù)逆映射： 為一一映射，定義設(shè)， 記 （象）； （原象）定理1設(shè)， 和 分別是X上和Y上的集族，則， ； ，(*) (*)證：記 ， 反之，即特征函數(shù)（示性函數(shù)）：性質(zhì)：設(shè) ，()， 則(1)； (2)； (3)； (4)；(5)； (6) ； (7) ；(8) 收斂收斂；此時(shí)有 2集合的對(duì)等、勢(shì)對(duì)等：存在一一映射，稱(chēng)A與B對(duì)等，記作 或 集合A的勢(shì)（基數(shù)）關(guān)系“”性質(zhì)：(i) 反身性：； (ii) 對(duì)稱(chēng)性：； (iii)

4、傳遞性： ，3勢(shì)的比較若A與B的一個(gè)子集對(duì)等，記 ；若A與B的一個(gè)子集對(duì)等，但A與B不對(duì)等，記 定理1.2.2. 對(duì)于集合A， 有 證：若，結(jié)論成立若，則A與中由A的單點(diǎn)集構(gòu)成的子集對(duì)等，故 下用反證法假設(shè) ，則存在一一映射 令 則 ，唯一的 ，使 矛盾 故 Banach 引理設(shè)，則 滿(mǎn)足 其中 （證略）定理1.2.3. (1) 對(duì)于集合A，成立 ；(2) 若 ，；(3) 若 ， (Berstein定理)證(3)：由條件，存在單射 及單射由引理，注意到， 均為一一映射，可令 為 是一一映射，得 §1.3 ;1.5 可數(shù)集與不可數(shù)集對(duì)于集合A，規(guī)定 ； ， 以上稱(chēng)A為有限集若，稱(chēng)A為可

5、數(shù)集（可列集），（元素互異）， 記 不是可數(shù)集的無(wú)限集稱(chēng)為不可數(shù)集定理1.3.1. 每一無(wú)限集必含有一個(gè)可數(shù)子集證：設(shè)A為無(wú)限集取 由于， 可取 由于， 可取 續(xù)下去，便得A的可數(shù)子集推論可數(shù)集的任一子集至多是可數(shù)集證：設(shè) 為無(wú)限子集，則 由Th1.3.1， 故 定理1.3.2. 設(shè) 為有限集或可數(shù)集)，若 ，則 至多為可數(shù)集；又，使 ，則 是可數(shù)集（可列個(gè)可數(shù)集之并是可數(shù)集）證：若 ，結(jié)論顯然成立只需證明當(dāng) ， 且 時(shí)結(jié)論成立 記 ，按對(duì)角線(xiàn)法則，有 它是可數(shù)集定理1.3.3. 若 ，且存在，則 是可數(shù)集（有限個(gè)可數(shù)集的乘積集是可數(shù)集）證：只需證明當(dāng) 時(shí)結(jié)論成立利用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng) 時(shí)，結(jié)論成立

6、假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立取定 ， 記 ， 則 ， 由假定為可數(shù)集， 故 為可數(shù)集例1有理數(shù)集Q是可數(shù)集證：只需證明正有理數(shù)集是可數(shù)集一方面，； 另一方面， 而 ， 同理， 例2實(shí)數(shù)集 R是不可數(shù)集證：只需證明閉區(qū)間是不可數(shù)集用反證法及閉區(qū)間套定理假設(shè) 是可數(shù)集可將三等分，分點(diǎn)為c, d區(qū)間與中至少有一個(gè)區(qū)間不含，將它記為； 對(duì)重復(fù)上述對(duì)的討論，可得不含 的子區(qū)間；如此以往，得閉區(qū)間列，滿(mǎn)足：(a) ； (b) ； (c) 不含中點(diǎn)由閉區(qū)間套定理，唯一 故 而由(3)知，矛盾由于 是 的一一映射， 記 (連續(xù)統(tǒng)的勢(shì)) 記S為無(wú)理數(shù)集， 定理1.3.4. 若 ， 則 證：只需證明：當(dāng) 時(shí) ； 而當(dāng) 時(shí) 若

7、 ，則 ， 而 (采用二進(jìn)制小數(shù)表示) 于是 若，則 ，每個(gè)可用二進(jìn)制無(wú)窮小數(shù)表示為 ， ，利用對(duì)角線(xiàn)法則，作映射 為 顯然，f是單射，于是 推論1若 ，且存在， 則 推論2若 ， 則 簡(jiǎn)證：（其余略）例3. 可列集的子集全體的勢(shì)為， 即 證：記可列集，構(gòu)造A的冪集到二進(jìn)制小數(shù)全體的映射f，即 ，定義 ， 其中 映射 是一一映射 第二章點(diǎn) 集§2.1.度量空間, n維歐氏空間定義2.1.1，定義 為 稱(chēng)d為上的Euclid 距離易證距離d滿(mǎn)足：； ； X ， r .x A 定義2.1.2( 距離空間，Metrical Space ) x y X為非空集合，二元函數(shù) 滿(mǎn)足：非負(fù)性：；

8、對(duì)稱(chēng)性：； 三角不等式： 稱(chēng)d為X上的一個(gè)距離，為距離空間或度量空間如 ，稱(chēng)為距離子空間，開(kāi)球：； 閉球：開(kāi)集：，球 ，稱(chēng)x為A的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)如A中每個(gè)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng)A為開(kāi)集開(kāi)球是開(kāi)集；中第一象限區(qū)域（不含坐標(biāo)軸）是開(kāi)集記中開(kāi)集全體為，則有如下結(jié)論定理2.1.1(1) ； (2) ； (3) 例：(1) 離散空間，定義 稱(chēng)X為離散距離空間(2) 空間， 定義，d是距離(3) 有界函數(shù)空間， 定義 ，()，d是距離稱(chēng)為有界函數(shù)空間取 ，記，定義2.1.3設(shè) ， 滿(mǎn)足：(1) ； (2) 對(duì)于有限交運(yùn)算封閉：；(3) 對(duì)于任意并運(yùn)算封閉：稱(chēng)為X上的一個(gè)拓?fù)? Topology )，X上安裝了拓?fù)?，?/p>

9、拓?fù)淇臻g( Topological Space ) 每個(gè) 稱(chēng)為開(kāi)集 如 ， 令 ， 稱(chēng)為（拓?fù)洌┳涌臻g例：(1) 度量空間是拓?fù)淇臻g，稱(chēng)為由距離d誘導(dǎo)的拓?fù)?2) 設(shè) ，稱(chēng)是平凡拓?fù)淇臻g(3) 設(shè) ，稱(chēng)是離散拓?fù)淇臻g(4) ，令 ，則成為拓?fù)淇臻g§2.2, 2.3 聚點(diǎn),內(nèi)點(diǎn),界點(diǎn) 及開(kāi)集閉集,完備集設(shè)是拓?fù)淇臻g，定義：(1) 若 是開(kāi)集，稱(chēng)A為閉集(2) A的閉包 (包含A的最小閉集)(3) 若，G是開(kāi)集，稱(chēng)G為x的一個(gè)鄰域鄰域G，使，稱(chēng)x為A的內(nèi)點(diǎn)A的內(nèi)點(diǎn)全體稱(chēng)為A的核（內(nèi)部），記為 （書(shū)(3)錯(cuò)）(4) 的鄰域G，有，稱(chēng)x為A的邊界點(diǎn)A的邊界點(diǎn)全體稱(chēng)為A的邊界，記為 顯然， 互

10、不相交，(5) 的鄰域G，有 ，稱(chēng)x為A的聚點(diǎn)A的聚點(diǎn)全體稱(chēng)為A的導(dǎo)集，記(6) ，稱(chēng)x為A的孤立點(diǎn)(7) 若 ，稱(chēng)A為完全集（完備集）(8) 若 ，稱(chēng)A為疏朗集（無(wú)處稠密集） A不在任何開(kāi)集中稠密(9) ，若，稱(chēng)A在B中稠密它等價(jià)于：(10) 型集A：，閉集)；型集B：，開(kāi)集)(11) 設(shè)B在A中稠密，稱(chēng)A為可分集若X可分，稱(chēng)X為可分空間(12) 若 ，疏朗)，稱(chēng)A為第一綱集；否則稱(chēng)A為第二綱集(13) 設(shè) 為度量空間，若存在球 ，使，稱(chēng)A為有界集 設(shè) 若，稱(chēng)B為A的一個(gè)若，A具有有限的 B，稱(chēng)A為完全有界集注：可取有限的 如：球 是完全有界集(14) 設(shè)， 若， 使 稱(chēng)收斂于x， 記 或

11、極限是唯一的； 收斂點(diǎn)列是有界集(15) 設(shè) 為度量空間，若A中任一點(diǎn)列都存在收斂于X中點(diǎn)的子列，稱(chēng)A為列緊集 如：歐氏空間中的有界集是列緊集(16) 設(shè) ，是開(kāi)集族若，稱(chēng)為A的一個(gè)開(kāi)覆蓋若A的任一開(kāi)覆蓋，存在有限子覆蓋：，稱(chēng)A為緊集 若空間X緊，稱(chēng)X為緊空間(17) 設(shè)為度量空間，則稱(chēng)為Cauchy序列（基本列） 若X中每個(gè)基本列均收斂，稱(chēng)X是完備的度量空間如：收斂點(diǎn)列必是基本列 是完備的度量空間以下假設(shè)是拓?fù)淇臻g定理2.2.1（閉集的性質(zhì)）(1) 是閉集；(2) 有限個(gè)閉集之并是閉集；(3) 任意多個(gè)閉集之交是閉集定理2.2.2(1) 是A的最大開(kāi)子集； A為開(kāi)集 (2) 是包含A的最小閉

12、集； A為閉集(3) A為閉集 (4) (5) (6) 為度量空間，則為閉集中取極限運(yùn)算封閉(7) A為度量空間X中閉集若 選證：(1) 記為A的全體開(kāi)子集所成之集族則，于是 是開(kāi)集，且是A的最大開(kāi)子集 故A為開(kāi)集(3) 若A為閉集，則為開(kāi)集，且由聚點(diǎn)定義，即，反之， 設(shè)，則， 故存在x的某個(gè)鄰域G， 滿(mǎn)足 ， ，即，說(shuō)明x是的內(nèi)點(diǎn)，是開(kāi)集，A是閉集(6) 設(shè)點(diǎn)列，若有無(wú)窮多項(xiàng)互異，則；否則從而總有由(2) 得證例1. ； 由于 不成立，E不是閉集例2. ， 則 ； ； 例3. 證明的導(dǎo)集是閉集證：需要證是開(kāi)集不是A的聚點(diǎn)，存在x的鄰域 ，中不存在異于x的A中的點(diǎn)，故中的每個(gè)點(diǎn)均不是A的聚點(diǎn)于

13、是 ， 是開(kāi)集定理2.2.3 非空開(kāi)集 ，有 證：設(shè) 若開(kāi)集G滿(mǎn)足 則 為閉)由Th2.2.2.(2) 得 ， 于是，反之，由于為開(kāi)集，由條件，得 定理2.2.4( 疏朗集的三種等價(jià)描述)(1) ； (2) 非空開(kāi)集 ；(3) 非空開(kāi)集G，必含有非空開(kāi)子集 ，滿(mǎn)足證：(1)(2)若開(kāi)集G滿(mǎn)足，則， 于是 (2)成立(2)(3)非空開(kāi)集G，令 為G的非空開(kāi)子集， 且(3)(1)反證法假設(shè) ，由(3)，存在非空開(kāi)集，滿(mǎn)足 ，即 (閉集)， (開(kāi)集)， 從而 ( )矛盾（ 錯(cuò)）定理2.2.5在度量空間中，完全有界集是有界的可分集證：設(shè) 為完全有界集，存在X中有限多個(gè)球 ，使 固定 ，記 ， 故 ，即

14、 ， A有界對(duì)于，存在有限多個(gè)以A中點(diǎn)為中心的球，使記，則 D是A的至多可數(shù)子集于是， D在A中稠密，A為可分集定理2.2.6在度量空間中，列緊集是完全有界集證：反證法假設(shè)是列緊集，但A不是完全有界集，沒(méi)有有限的網(wǎng)，使同理，不是A的網(wǎng)，使繼續(xù)下去，得到，滿(mǎn)足：顯然，點(diǎn)列無(wú)收斂子列，A非列緊定理2.2.7在度量空間中，A為緊集為列緊的閉集證：只需證明：A為緊集 中每個(gè)點(diǎn)列均有收斂于A中點(diǎn)的子列“” 反證法假設(shè)存在點(diǎn)列無(wú)收斂于A中點(diǎn)的子列則時(shí)，有 現(xiàn)為緊集A的一個(gè)開(kāi)覆蓋， 存在 滿(mǎn)足令 ，則當(dāng) 從而 矛盾“” 設(shè) A為列緊閉集，則A為完全有界集要證A是緊集，只要證明，對(duì)于A的任一開(kāi)覆蓋 ， ( 因

15、為 A具有有限的網(wǎng) )采用反證法假設(shè)不然，存在A的一個(gè)開(kāi)覆蓋， 滿(mǎn)足， 有對(duì)， 因A為列緊閉集，存在子列 ，使(開(kāi)集) 而當(dāng)k充分大時(shí)，有 矛盾定理2.2.8設(shè)是度量空間，則以下三條等價(jià)：(1) X是完備的度量空間；(2) 非空閉集列滿(mǎn)足 ，則唯一的 (3) X中的完全有界集是列緊集證：(1)(2) 取當(dāng) 時(shí)， 為完備空間X中的基本列記 ，閉， 的唯一性顯然(2)(3)設(shè)為完全有界集，點(diǎn)列由完全有界集的定義，有限個(gè)以 為半徑的閉球所成之集族 覆蓋A于是，存在 含有中的無(wú)限多項(xiàng)；又存在 ，使得含有中的無(wú)限多項(xiàng)一般地，使得含有中的無(wú)限多項(xiàng) 由此知，存在的子列 滿(mǎn)足，非空集列 滿(mǎn)足，且 由(2)，存

16、在，且，即， A為列緊集(3)(1)設(shè)為X中基本列，記從而， A為完全有界集 A為列緊集 故有收斂子列 顯然 X為完備空間定理2.2.9設(shè)是完備的度量空間，則子空間是完備的 是閉集定理2.2.10(Baire 綱定理)完備的度量空間X必是第二綱集證：采用反證法假設(shè)X是第一綱集，則 為疏朗集 由Th2.2.4.(3) 知：對(duì)于 直徑小于1的非空閉球；對(duì)于 直徑小于的非空閉球，使； ； 對(duì)于 直徑小于的非空閉球得非空閉球套 X完備， 這樣， 矛盾定理2.2.11(完備化定理)對(duì)于度量空間，必存在一個(gè)完備的度量空間，使得等距于的一個(gè)稠密子空間在等距意義下，空間是唯一的稱(chēng)空間為的完備化空間（證明的思想

17、方法與Cantor 實(shí)數(shù)理論中，把無(wú)理數(shù)加到有理數(shù)域中的方法相同）等距映射：，是距離空間， 存在一一映射 滿(mǎn)足 ，稱(chēng)為等距映射，空間X與Y等距例：取，d為歐氏距離 (開(kāi)球，)則A為完全有界集；X完備，A也是列緊集作為距離子空間，A不完備，其完備化距離空間為 (閉球)§2.4. 直線(xiàn)上的開(kāi)集,閉集及完全集的構(gòu)造§2.5,康托爾三分集開(kāi)區(qū)間是R中開(kāi)集 () 任意多個(gè)開(kāi)區(qū)間之并是開(kāi)集另一方面，設(shè)開(kāi)集則 記 ， 開(kāi)區(qū)間具有性質(zhì)：稱(chēng)為開(kāi)集G的一個(gè)構(gòu)成區(qū)間于是，G中每一點(diǎn)必在G的一個(gè)構(gòu)成區(qū)間此外，G的任何兩個(gè)不同的構(gòu)成區(qū)間必不相交而R中兩兩不交的開(kāi)區(qū)間至多可列個(gè)定理2.4.1. (開(kāi)集

18、構(gòu)造定理)每個(gè)非空開(kāi)集可表示為至多可列個(gè)兩兩不交的開(kāi)區(qū)間之并： 根據(jù)完全集的定義 ()及Th2.2.3(3) 可知，完全集（）即為無(wú)孤立點(diǎn)的閉集故有如下定理定理2.4.2. (R中完全集的構(gòu)造)集是完全集 是兩兩不交并且無(wú)公共端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間之并Cantor 集P 構(gòu)造過(guò)程： 0 1 第一步：將 三等分，挖去，留下閉區(qū)間 ， 記 第二步：對(duì)，分別三等分，挖去中間的開(kāi)區(qū)間 與 記 ，留下4個(gè)閉區(qū)間，第三步：對(duì)留下的4個(gè)閉區(qū)間施行同樣過(guò)程將挖去的4個(gè)開(kāi)區(qū)間之并記為如此繼續(xù)下去記 (書(shū)錯(cuò))據(jù)Th2.2.4 及Th2.4.2，Cantor 集P是疏朗集、完全集若采用三進(jìn)制無(wú)窮小數(shù)表示中數(shù)，則中至少有一位是

19、1，亦即： 可表示為由0或2作為位數(shù)過(guò)構(gòu)成的無(wú)窮小數(shù)由Th1.3.4，； 第二章習(xí)題16設(shè)是度量空間X中非空單調(diào)減緊集序列，證明：特別地，若 ，則 為單點(diǎn)集證：反證法假設(shè)， 即 ， 緊 矛盾若 ， 33證明：是不可分的距離空間證明：距離：， 假設(shè) 可分，據(jù) (11), (9)，它有至多可列的稠密子集對(duì)于 ，存在可列多個(gè)球， 使 記， 則 ， 但 ， 存在球，至少包含A中不同的兩點(diǎn) 這樣， 矛盾空間 不可分 第三章,測(cè)度論 第一節(jié),外側(cè)度(1) Riemann積分回顧（分割定義域），積分與分割、介點(diǎn)集的取法無(wú)關(guān)。幾何意義（非負(fù)函數(shù)）：函數(shù)圖象下方圖形的面積。（2）新的積分（Lebesgue積分,

20、從分割值域入手）記，則 問(wèn)題：如何把長(zhǎng)度,面積,體積概念推廣?達(dá)布上和與下和上積分（外包）（達(dá)布上和的極限）下積分（內(nèi)填）達(dá)布下和的極限二、Lebesgue外測(cè)度(外包)1定義：設(shè) ，稱(chēng)非負(fù)廣義實(shí)數(shù)為開(kāi)區(qū)間為的Lebesgue外測(cè)度。下確界：（1）是數(shù)集的下界，即，（2）是數(shù)集的最大下界，即使得為開(kāi)區(qū)間開(kāi)區(qū)間列使得且即：用一開(kāi)區(qū)間列“近似”替換集合例1 設(shè)是中的全體有理數(shù)，試證明的外測(cè)度為0. 證明：由于為可數(shù)集，故不妨令作開(kāi)區(qū)間則且，從而 ，再由的任意性知思考：. 設(shè)是平面上的有理點(diǎn)全體，則的外測(cè)度為0提示：找一列包含有理點(diǎn)集的開(kāi)區(qū)間2.平面上的軸的外測(cè)度為0提示：找一列包含軸的開(kāi)區(qū)間3.

21、對(duì)Lebesgue外測(cè)度，我們用可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋中的有理數(shù)全體，是否這可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間也覆蓋（除可數(shù)個(gè)點(diǎn)外）.注：對(duì)可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間不一定有從左到右的一個(gè)排列（如Cantor集的余集的構(gòu)成區(qū)間）2Lebesgue外測(cè)度的性質(zhì)（1）非負(fù)性：，當(dāng)為空集時(shí)，（2）單調(diào)性：若則證明:能覆蓋的開(kāi)區(qū)間列也一定能覆蓋，從而能覆蓋的開(kāi)區(qū)間列比能覆蓋的開(kāi)區(qū)間列要少，相應(yīng)的下確界反而大。（3）次可數(shù)可加性證明：對(duì)任意的,由外測(cè)度的定義知，對(duì)每個(gè)都有一列開(kāi)區(qū)間（即用一開(kāi)區(qū)間列近似替換）使得且從而，且可見(jiàn)由的任意性，即得注：（1）一般證明都是從大的一邊開(kāi)始，因?yàn)橥鉁y(cè)度的定義用的是下確界（2）外測(cè)度的次可數(shù)可加性的等號(hào)即使不交

22、也可能不成立（反例要用不可測(cè)集），但有:若則當(dāng)區(qū)間的直徑很小時(shí)候，區(qū)間不可能同時(shí)含有，中的點(diǎn)從而把區(qū)間列分成兩部分，一部分含有中的點(diǎn)，一部分含有中的點(diǎn).例2 對(duì)任意區(qū)間，有.思考：書(shū)本中的證明用有限開(kāi)覆蓋定理的目的何在？此例說(shuō)明Lebesgue外測(cè)度某種程度是區(qū)間長(zhǎng)度概念的推廣例3 Cantor集的外測(cè)度為0.證明：令第次等分后留下的閉區(qū)間為從而注：稱(chēng)外測(cè)度為0的集合為零集；零集的子集，有限并，可數(shù)并仍為零集.練習(xí)題1 如果將外測(cè)度的定義改為“有界集的外測(cè)度是包含的閉集的測(cè)度的下確界.”是否合理？2 設(shè)，問(wèn)在什么條件下有3 對(duì)于有界集，是否必有？4設(shè)是直線(xiàn)上的一有界集，則對(duì)任意小于的正數(shù)，恒有

23、子集，使§2 可測(cè)集合Lebesgue外測(cè)度(外包)且為開(kāi)區(qū)間開(kāi)區(qū)間列使得且即：用一開(kāi)區(qū)間列“近似”替換集合次可數(shù)可加性(即使兩兩不交) 一、可測(cè)集的定義若有（Caratheodory條件），則稱(chēng)為L(zhǎng)ebesgue可測(cè)集，此時(shí)的外測(cè)度稱(chēng)為的測(cè)度，記作.注：Lebesgue開(kāi)始也是利用外測(cè)度與內(nèi)測(cè)度相等定義可測(cè)集，但此方法對(duì)處理問(wèn)題很不方便，故我們采用上述方法.例1：零集必為可測(cè)集證明：，有 從而即為可測(cè)集。二、Lebesgue可測(cè)集的性質(zhì)（1）集合可測(cè)（即 證明：(充分性），(必要性)令（2）若 可測(cè)，則下述集合也可測(cè)即可測(cè)集類(lèi)關(guān)于差，余，有限交和可數(shù)交，有限并和可數(shù)并，以及極限運(yùn)算

24、封閉；若則，有注:上式由前面可測(cè)集的等價(jià)刻畫(huà)立刻可得若兩兩不交，則（測(cè)度的可數(shù)可加性）.若可測(cè)，則有可減性證明：由可測(cè)集的定義：有易知可測(cè)若可測(cè)已證明，則易知，也可測(cè)。若當(dāng)為兩兩不交時(shí)，可測(cè)已證明，則通過(guò)令可把一般情形轉(zhuǎn)化為兩兩不交的情形，通過(guò)取余即可證明下面證明若可測(cè)，則可測(cè)證明：，有 （可測(cè)）（可測(cè)）從而下面證明若兩兩不交，則證明：有從而 （*）另外顯然有 從而可測(cè)，并用代入（*）式，即得結(jié)論例2：設(shè)中可測(cè)集滿(mǎn)足條件，則必有正測(cè)度。證明：?jiǎn)握{(diào)可測(cè)集列的性質(zhì)(1) 若是遞增的可測(cè)集列，則(2) 若 是遞減的可測(cè)集列且，注：（1）左邊的極限是集列極限，而右邊的極限是數(shù)列極限，(2)中的條件不可

25、少，如注：（2）若是遞減集列，若是遞增集列， 若可測(cè)，則 練習(xí)題1 設(shè)，能否斷定可測(cè)？能否斷定的任一子集可測(cè)？ 2 設(shè)是可測(cè)集列，且，則3 證明：任意點(diǎn)集的外測(cè)度等于包含它的開(kāi)集的測(cè)度的下確界，即4 設(shè)是的子集，可測(cè)，證明等式§3 可測(cè)集類(lèi)一、可測(cè)集例1 區(qū)間是可測(cè)集，且注：（1）零集、區(qū)間、開(kāi)集、閉集、型集（可數(shù)個(gè)開(kāi)集的交）、型集（可數(shù)個(gè)閉集的并）.Borel型集（粗略說(shuō)：從開(kāi)集出發(fā)通過(guò)取余，取交或并（有限個(gè)或可數(shù)個(gè)）運(yùn)算得到）都是可測(cè)集。（2）開(kāi)集、閉集既是型集也是型集； 有理數(shù)集是型集，但不是型集；無(wú)理數(shù)集是型集，但不是型集。有理數(shù)集可看成可數(shù)個(gè)單點(diǎn)集的并，而單點(diǎn)集是閉集；通過(guò)

26、取余型集與型集相互轉(zhuǎn)化（并與交，開(kāi)集與閉集互換）二、 可測(cè)集與開(kāi)集、閉集的關(guān)系（1）若可測(cè)，則，存在開(kāi)集，使得且即：可測(cè)集與開(kāi)集、閉集只相差一小測(cè)度集（可測(cè)集“差不多”就是開(kāi)集或閉集），從而可測(cè)集基本上是至多可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間的并。（2）若可測(cè)，則，存在閉集，使得且證明：（1）當(dāng)時(shí)，由外測(cè)度定義知存在開(kāi)區(qū)間列，使得且令則為開(kāi)集，且從而（這里用到 ）(2)當(dāng)時(shí)，這時(shí)將分解成可數(shù)個(gè)互不相交的可測(cè)集對(duì)每個(gè)應(yīng)用上述結(jié)果，存在開(kāi)集，使得且令，則為開(kāi)集，且 若(1)已證明，由可測(cè)可知，存在開(kāi)集，使得且.取，則為閉集例2 設(shè)若開(kāi)集，使得且，則是可測(cè)集.證明：對(duì)任意的， （開(kāi)集），使得且令，則是型集且故從而為可測(cè)集

27、.例3：設(shè)為0,1中的有理數(shù)全體， 試各寫(xiě)出一個(gè)與只相差一小測(cè)度集的開(kāi)集和閉集。開(kāi)集：閉集：空集.例4：設(shè)為中的無(wú)理數(shù)全體，試各寫(xiě)出一個(gè)與只相差一小測(cè)度集的開(kāi)集和閉集。開(kāi)集: 閉集：三、 可測(cè)集與集和集的關(guān)系(1).若可測(cè)，則存在型集, 使且可測(cè)集可由型集去掉一零集，或型集添上一零集得到。(2).若可測(cè)，則存在型集, 使證明：若(1)已證明，由可測(cè)可知 型集，使得且取，則為型集 ，且(1).若可測(cè)，則存在型集, 使證明：對(duì)任意的，存在開(kāi)集，使得且令，則為型集，且故例5：設(shè)為0,1中的有理數(shù)全體， 試各寫(xiě)出一個(gè)與只相差一零測(cè)度集的型集或型集。型集：型集：空集注：上面的交與并不可交換次序.例6：設(shè)

28、為中的無(wú)理數(shù)全體，試各寫(xiě)出一個(gè)與只相差一零測(cè)度集的型集或型集。類(lèi)似可證：若則存在型集使得且（稱(chēng)為的等測(cè)包）證明: 由外測(cè)度定義知，使得且令則為開(kāi)集，且令，則為型集，且 練習(xí)題1設(shè)是的子集，證明不等式2 試證有界集可測(cè)的充要條件是，存在開(kāi)集及閉集，使得.3 證明可測(cè)的充要條件是：存在開(kāi)集及，使第四章可測(cè)函數(shù)§ 4.1. 可測(cè)函數(shù)及其性質(zhì)定義4.1.1設(shè), A )是可測(cè)空間，A是代數(shù)，A，函數(shù) 若 ， 有A，稱(chēng)f為E上的（A）可測(cè)函數(shù)如：常值函數(shù)是 E上的可測(cè)函數(shù)定理4.1.1設(shè), A )是可測(cè)空間，A，函數(shù) 則以下四命題等價(jià)(1) A； (2) A；(3) A； (4) A證：(1)

29、(2) (3) 見(jiàn)書(shū)上(3) (4)A(4) (1)A定理4.1.2設(shè), A )是可測(cè)空間，函數(shù) 那么：(1) 集族 A 是上的代數(shù)(2) 若f在X上可測(cè)，則包含中的全體開(kāi)集因此，f在X上可測(cè)A(3) 若f在X上可測(cè)，則包含中的Borel集全體B(4) 若g在上Borel可測(cè)，f在X上可測(cè)，則在X上可測(cè)證：(1) 首先，由A， 故 若 ，則A，即；若，則A， 即 ， 是代數(shù)(2) 對(duì)于，由Th4.1.1，知 而中開(kāi)集均為至多可數(shù)個(gè)形如 區(qū)間的并集 由(1)得(2)(3) B是由生成的代數(shù)，而是包含的代數(shù)，(3)成立(4) B； 由(3)，A， 據(jù)(2)，在X上可測(cè)推論1設(shè)是拓?fù)淇臻g，A為X上的

30、代數(shù)，且A，若 連續(xù)，則f在X上A可測(cè) (書(shū)錯(cuò))如：取 ，則一切連續(xù)函數(shù)均為R上的Lebesgue 可測(cè)函數(shù)；上的連續(xù)函數(shù)均為E上的Lebesgue 可測(cè)函數(shù)推論2R上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)均為R上的Lebesgue 可測(cè)函數(shù)；上的單調(diào)函數(shù)均為E上的Lebesgue 可測(cè)函數(shù)證：若，則 ； 若，則 引理1(1) 若f在A上可測(cè)，則f在E的任一可測(cè)子集上可測(cè)；(2) 若f在A上可測(cè)，則f 在 上可測(cè)引理2設(shè)f和g在A上可測(cè)，則 A證：記有理數(shù)集 ，有 A定理4.1.3設(shè)f和g在A上可測(cè)，記 ，則下列函數(shù)是E上的可測(cè)函數(shù)(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) 證：(1) A知， 在E上可測(cè)若在

31、E上可測(cè)若A； 若利用引理1(2)，在E上可測(cè) 若在E上可測(cè)(2), (3), (4) 證略(5) ，應(yīng)用(4) 及Th4.1.2 (4) 即可得(5)定理4.1.4設(shè)是A上的可測(cè)函數(shù)列，則 ， 均為E上的可測(cè)函數(shù)證：，由于 A；， ， 可得以上四個(gè)函數(shù)均在E上可測(cè)推論1在A上可測(cè) 正部 及負(fù)部 均在E上可測(cè) 推論2在A上收斂的可測(cè)函數(shù)列的極限函數(shù) 在E上可測(cè)簡(jiǎn)單函數(shù)：A， A 且兩兩不交，稱(chēng)為E上的簡(jiǎn)單函數(shù)定理4.1.5設(shè)是A上的可測(cè)函數(shù)， 則存在E上的簡(jiǎn)單函數(shù)列 滿(mǎn)足 ，證：先設(shè)令 ， ， 易知，為E上非減的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)列下證 若 ，則 ，于是 若 時(shí)， 使 此時(shí) ， 于是 ， 從而 若

32、是E上的一般可測(cè)函數(shù)，則由已證結(jié)論，存在E上非減的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)列與， 使 令 ， 則為簡(jiǎn)單函數(shù)， 且 于是有 ，推論1若是E上的有界可測(cè)函數(shù)，則存在一致有界的簡(jiǎn)單函數(shù)列 在E上一致收斂于推論2是E上的可測(cè)函數(shù) 可表示為E上的簡(jiǎn)單函數(shù)列的極限§4.2. 葉果羅夫定理幾乎處處 a.e.： 設(shè), A, 是測(cè)度空間，A為代數(shù)，存在零測(cè)集，命題P或條件P在上成立，則稱(chēng)P在E上a.e. 成立如：若 ，稱(chēng)在E上a.e.有限，記 “，a.e.于E”；若 ，記 “，a.e.于E”；若 ，記 “，a.e.于E”依測(cè)度收斂：設(shè)A，是E上的可測(cè)函數(shù)，有 ，稱(chēng)在E上依測(cè)度收斂于，記定理4.2.1設(shè), A, 是

33、測(cè)度空間，是A上的可測(cè)函數(shù)列，若 于E，則存在E上的可測(cè)函數(shù)，使 于E證：存在零測(cè)集，使 ， 令 ， 則在E上可測(cè)，且 于E推論若, A, 是完備的測(cè)度空間，則A上的可測(cè)函數(shù)列的a.e.收斂的極限函數(shù)必是E上的可測(cè)函數(shù)證：記 A，AA 則 A定理4.2.2設(shè), A, 是測(cè)度空間，是A上的可測(cè)函數(shù)， 且 ， 則 于E證：由，可知， 故 ， 令 ， 得， 而 ， 知 引理設(shè) ，為有限函數(shù)，則 ，有 證：，使，即 從而 說(shuō)明 故 從而 (上限集為，極限存在)定理4.2.3(Lebesgue 定理) 設(shè), A, 是測(cè)度空間，A，是E上的可測(cè)函數(shù)列，于E， a.e. 有限，則 于E證：記 ，A， 在上取

34、值有限， 且， 有 據(jù)引理有 于是 從而 定理4.2.4(葉果洛夫定理) 設(shè), A, 是測(cè)度空間，A，可測(cè)函數(shù)列在E上a.e. 收斂于a.e. 有限的函數(shù)則，A，使上一致收斂于 ( 稱(chēng)在E上近一致收斂于，記為 于E)證：記 ，則 A，上取值有限，由引理知 ， 使 從而 令 ， 則 A 即為所求 事實(shí)上， 對(duì)于此， 使得 有 ，即 說(shuō)明在 上一致收斂于定理4.2.5(Riesz定理，匈牙利) 設(shè), A, 是測(cè)度空間，A，在E上可測(cè)， 于E則存在子列在E上a.e. 收斂于證： 使 注意到 ， 由Th3.2.1 (10) 得 記 ， 則 ，易知 在 上收斂于 事實(shí)上， 時(shí) 有 ， 即 關(guān)于Lebes

35、gue 定理、葉果洛夫定理的4個(gè)注記見(jiàn)書(shū)上 (簡(jiǎn)說(shuō))§4 3, 4 4 可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造, 依側(cè)度收斂定理4.3.1(魯金定理，前蘇聯(lián)) 設(shè)為可測(cè)集E上的a.e. 有限的可測(cè)函數(shù)，則 ，存在閉集，滿(mǎn)足 且 (限制)是有限值的連續(xù)函數(shù)證：首先，可假設(shè)為E上的有限可測(cè)函數(shù)這是由于 若閉集 滿(mǎn)足 ， 則 ， 復(fù)記即可其次，由于在變換 下，具有相同的可測(cè)性與連續(xù)性，故可進(jìn)一步假定上的有界可測(cè)函數(shù) 以下分兩步證明(A) 設(shè)上的簡(jiǎn)單函數(shù)，可記 ， 兩兩不交、可測(cè)， 據(jù) Th3.4.2 (2)，使 記 的閉子集，且 下證上的連續(xù)函數(shù) ，存在唯一的，使 從而 (開(kāi)集)對(duì)于中任一收斂于的點(diǎn)列， 于是 ，

36、 即上的限制函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)故上的限制是連續(xù)函數(shù)(B) 設(shè)上的有界可測(cè)函數(shù)據(jù)Th4.1.5 推論1，存在一致有界的簡(jiǎn)單函數(shù)列在E上一致收斂于f 據(jù)(A)，使得 上的連續(xù)函數(shù) 令 的閉子集，且 由于 ，故上的一致有界連續(xù)函數(shù)，且在上一致收斂于f 在上的限制為有界連續(xù)函數(shù)定理4.3.2(魯金定理) 設(shè)為可測(cè)集合E上的a.e. 有限的可測(cè)函數(shù)，則 ，存在R上的連續(xù)函數(shù)使得 若E是有界集，則可使的支集 為緊集證：首先，存在閉集 ，且在上的限制是有限值連續(xù)函數(shù)再據(jù)Th2.3.3，存在R上的連續(xù)函數(shù)使得 ，且 可知，的可測(cè)子集，故 若 是有界集，則存在 注意到為R中閉集，且，據(jù)Th2.3.3 前面的引理知，存

37、在連續(xù)函數(shù) 將上述的替換為 即得所求推論設(shè)為可測(cè)E上的a.e. 有限的可測(cè)函數(shù)，則存在R上的連續(xù)函數(shù)列在E上a.e.收斂于證：由Th4.3.2，上的連續(xù)函數(shù) 滿(mǎn)足 記 ， 則 故 而 這樣， ， 使 時(shí)，有 即在上每一點(diǎn)收斂于關(guān)系圖： Lebesgue 定理 葉果洛夫 Riesz 定理 定理 第四章習(xí)題2設(shè), A )是可測(cè)空間，為A上的可測(cè)函數(shù)列證明：的收斂點(diǎn)集與發(fā)散點(diǎn)集均為可測(cè)集證：收斂點(diǎn)集 ， 可測(cè)；發(fā)散點(diǎn)集 ，可測(cè)或者：利用 證之 ，可測(cè)； ，可測(cè)8. 測(cè)度空間, A, ，A， 于E， 證明：若 于E， 則 于E證：由Riesz 定理，存在子列，于E 但 于E， 故 于E11設(shè)f為可測(cè)集

38、E上的a.e. 有限函數(shù)證明：若對(duì)于任一，存在閉集，使得 且f 在上的限制是有限值連續(xù)函數(shù)，則 f為E上的可測(cè)函數(shù)證： 閉集 ，使 是有限值連續(xù)函數(shù)，記 ，則 均為可測(cè)集，且 ，令 得 ，從而， 有由于 ，而是完備測(cè)度，故 又由于包含R中的開(kāi)集全體，據(jù) Th4.1.2 的推論1知，f在每個(gè)上可測(cè)，所以 這樣 ， f是E上的可測(cè)函數(shù)12證：(1) 由于 ， 有 ， (2) 若，則顯然 ；若，則 (3) ，有 ， 所以(4) ，(5) 根據(jù) Riesz 定理， 存在子列； 而 存在子列(不妨仍記為) 這樣， 而 ， 據(jù)Lebesgue 定理知 反證法：假設(shè)不成立，使 不成立存在 及N的子列，使 但

39、， 由已證結(jié)果知，存在子列(不妨仍記為) 矛盾. 乘積空間上的積分定義5.3.1X與Y是集合，分別取定 與，記 ，稱(chēng) E的x截口（集）， E的y截口（集）定義5.3.2設(shè) 為上的二元函數(shù)取定 ，定義 稱(chēng)為的截口（函數(shù)） 類(lèi)似可定義的截口（函數(shù)）性質(zhì)：若 有 ， ， 以下設(shè) 上的函數(shù)，那么：； ；定義5.3.3（乘積代數(shù)）設(shè)AX和AY 分別是X和Y上的代數(shù)，記 AX, AY 由生成的代數(shù)和代數(shù)分別稱(chēng)為AX與AY的乘積代數(shù)和乘積代數(shù)記 AXAY， 稱(chēng) AXAY) 為可測(cè)空間, AX) 與, AY) 的乘積可測(cè)空間稱(chēng)為可測(cè)矩形 AXAY 中的元素稱(chēng)為中的可測(cè)集定理5.3.1設(shè) AXAY) 是乘積可測(cè)

40、空間 (1) 若AXAY，則 有 AY，AX；(2) 若 f是上的AXAY可測(cè)函數(shù)，則 上的AY可測(cè)函數(shù)；上的AX可測(cè)函數(shù)證：只對(duì)截口加以證明(1) 取定，令A(yù)XAYAY 據(jù)截口集的性質(zhì)知，為上的代數(shù) 而當(dāng)，有 AY于是，進(jìn)而AXAY 這說(shuō)明：AXAY，則 AY，(2) f是上的AXAY可測(cè)函數(shù)， 開(kāi)集AXAY 由(1)得 AY， 從而 上的AY可測(cè)函數(shù)引理定理5.3.2設(shè), AX, ) 和, AY, ) 是兩個(gè)有限測(cè)度空間，AX和AY是代數(shù) y E (1) 若AXAY，定義，則是X上 Ex 的非負(fù)AX可測(cè)函數(shù)； y Ey(2) 由 AXAY) 定義的集合函數(shù)是 AXAY)上的有限測(cè)度，且 o

41、 x x，AX，AY)滿(mǎn)足上式的乘積空間上的測(cè)度是唯一的（證略）定理5.3.3( Fubini定理 )設(shè), AX, ) 和, AY, ) 是兩個(gè)有限測(cè)度空間，AX 和AY 是代數(shù)，為 AXAY) 上的可測(cè)函數(shù)(1) 若 ，則存在零測(cè)集A與零測(cè)集B，令 ， 則 ，且成立 (*)(2) 若 的兩個(gè)累次積分中有一個(gè)有限，則另一個(gè)也有限； 此時(shí)在上可積，同時(shí)(*)式成立證：分三種情況討論(1) 首先，設(shè)AXAY 則, 據(jù)前一定理，為X上非負(fù)AX可測(cè)函數(shù)，且 由積分的線(xiàn)性性質(zhì)知，當(dāng)為上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)時(shí)，也有 (a) 其次，設(shè)為上的非負(fù)AXAY可測(cè)函數(shù)，用非減的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)列，據(jù)Levi定理，可得(a)式

42、成立最后，設(shè)為上的一般AXAY可測(cè)函數(shù)且可積令 ，則 均在X上非負(fù)AX可測(cè)，且由 ，可知均在X上非負(fù)可積，從而在X上a.e. 有限 記 ， 則 再令 ， 則在X上可積，且當(dāng) 時(shí)； 當(dāng) 時(shí)，此外，同理可證，存在 零測(cè)集B及，使 (2) 在(1)中已證：若為上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，有(a)式成立在(a)式中，視作，視作相應(yīng)所得的函數(shù)，則知當(dāng)在X上可積時(shí)（即的“先y后x的累次積分值有限”），在上的積分值也有限，在上可積，從而在上可積由(1)即得(2)（書(shū)上錯(cuò)誤）例1設(shè) ， 若 ， 則 絕對(duì)收斂， 且 證：在Fubini 定理中， 取 ， AXAY=P ， 上的計(jì)數(shù)測(cè)度)， 則AXAY， 為上的計(jì)數(shù)測(cè)度，

43、是上的可測(cè)函數(shù)，據(jù)Fubini 定理中(2) 即得結(jié)論例2（積分的幾何意義）設(shè), A ,是有限的測(cè)度空間，是有限值可測(cè)函數(shù)，若 y f(x) y= f(x) A，記曲邊梯形 則 為 A上的可測(cè)集，且 證：令 o a x b x則A， 有 A，A 即 均在上A可測(cè)，故 為A可測(cè)集 于是，§5.4. 廣義測(cè)度（簡(jiǎn)介）5.4.1. 廣義測(cè)度及 JordanHahn 分解定義5.4.1. 設(shè), A )是可測(cè)空間，集合函數(shù) A ，滿(mǎn)足：(1) ；(2) (可列可加性) 若為A中兩兩不交的集列， 則 ；稱(chēng)為, A )上的一個(gè)廣義測(cè)度 若 ，稱(chēng)為有限廣義測(cè)度； 若存在A，稱(chēng)為有限廣義測(cè)度注：類(lèi)似地

44、，可給出廣義測(cè)度 A 的相應(yīng)定義廣義測(cè)度不具有測(cè)度的全部性質(zhì)例如：(1)令，取Lebesgue 可測(cè)空間 定義：， 可驗(yàn)證是上的一個(gè)廣義測(cè)度(2) 取測(cè)度空間, A, ， f為X上的A可測(cè)函數(shù)， 且 定義 ，A ) 則是, A )上的廣義測(cè)度 特別，若 ，則是, A )上的有限廣義測(cè)度 定義5.4.2. 設(shè)為, A )上的一個(gè)廣義測(cè)度集A 滿(mǎn)足： A有 ，則稱(chēng)E為關(guān)于的正定集（負(fù)定集）引理1若 為的正（負(fù)）定集，則A， 集合 均為的正（負(fù)）定集證：A，有 正定定理5.4.1. (1) （Hahn分解） 設(shè), A, ) 是廣義測(cè)度空間， 存在A， 使E為正定集，為負(fù)定集(2) （Jordan分解）, A )上的任一廣義測(cè)度均可分解為 ，其中為A上的測(cè)度，且是有限測(cè)度進(jìn)而，若為有限（或有限）