定積分概念、第一換元

1、定積分的概念abxyo? a原型原型 （求曲邊梯形的面積）求曲邊梯形的面積）一、抽象定積分概念現(xiàn)實(shí)原型)(xfy 曲曲邊邊梯梯形形由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線軸軸與與兩兩直直線線, ,所所圍圍成成. .( )( ( )0),yf xf xxxa xb考考察察下下列列圖圖形形由由哪哪些些曲曲邊邊圍圍成成. .a2022xy 00y asinyx 0 x 2x x 2y 0 x 利用元素法的思想求解曲邊梯形的面積時(shí)，利用元素法的思想求解曲邊梯形的面積時(shí)，可可概括概括“分割分割- -取近似取近似- -求和求和- -取極限取極限” ” 的步驟的步驟. .將曲邊梯形的底，即將曲邊梯形的底，即a ,b進(jìn)行分割進(jìn)行

2、分割( (用垂直于用垂直于x軸的直線軸的直線).).第一步第一步 分割；分割；曲邊梯形的面積的解決思路：曲邊梯形的面積的解決思路：a bxyo)(xfy ix1x1 ix1 nx2x記記1.iiixxx 取出典型小區(qū)域，用矩形面積近似曲邊梯形面積取出典型小區(qū)域，用矩形面積近似曲邊梯形面積. .第二步第二步 取近似；取近似；a bxyo)(xfy ()if 高高底底ix1x1 ix1 nx2xix 典型小區(qū)域面積典型小區(qū)域面積 is i ().iiisfx a bxyo)(xfy ix1x1 ix1 nx2x第三步第三步 求和；求和；i 矩形面積和與曲邊梯矩形面積和與曲邊梯形面積不相等形面積不相

3、等1 2 1n n 11().nniiiiisfx 將每個(gè)小曲邊梯形的面積都用矩形近似，并將所將每個(gè)小曲邊梯形的面積都用矩形近似，并將所有的小矩形面積加起來有的小矩形面積加起來. .第四步第四步 取極限取極限. .當(dāng)對(duì)曲邊梯形底的分割越來越細(xì)時(shí)，矩形面積之當(dāng)對(duì)曲邊梯形底的分割越來越細(xì)時(shí)，矩形面積之和越近似和越近似于于曲邊梯形面積曲邊梯形面積. .a bxyo)(xfy 0,1,2,ixinmax0ix 11()nniiiiiasfx 112233( )()()(),nnfxfxfxfx iniixfa )(lim10 1122330lim()()()() .nnfxfxfxfx 曲曲邊邊梯梯形

4、形面面積積的的近近似似值值為為: :曲曲邊邊梯梯形形面面積積為為當(dāng)當(dāng)即即小小區(qū)區(qū)間間的的最最大大長(zhǎng)長(zhǎng)度度趨趨近近于于零零時(shí)時(shí)分分割割無無限限加加細(xì)細(xì)12,max,(0),nxxx 設(shè)設(shè)是是定定義義在在區(qū)區(qū)間間上上的的有有界界函函數(shù)數(shù) 用用點(diǎn)點(diǎn)將將區(qū)區(qū)間間任任意意分分割割成成 個(gè)個(gè)子子區(qū)區(qū)間間這這些些子子區(qū)區(qū)間間及及其其長(zhǎng)長(zhǎng)度度均均記記作作在在每每一一子子區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)作作 個(gè)個(gè)乘乘積積的的和和式式012111( ) , ,. , ,(1,2,.),(1,2,., ).,()nniiiiiiiiif xa baxxxxxba bnxxixxxinxnfx 二、 定積分的定義1().

5、niiifx 定義定義以直代曲以直代曲求和求和被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式 , a b 為為積積分分區(qū)區(qū)間間積分上限積分上限積分下限積分下限 如如果果當(dāng)當(dāng)同同時(shí)時(shí)最最大大子子區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度時(shí)時(shí) 和和式式并并且且其其極極限限值值與與的的分分割割法法以以及及 的的取取法法無無關(guān)關(guān) 則則該該極極限限值值稱稱為為函函數(shù)數(shù)區(qū)區(qū)間間在在上上的的定定積積分分 記記作作的的極極限限存存在在1,max0, , , , ()(,:)niiiiifxf xnxa ba b 1(0)( )lim()nbiianif xxfx d d積分變量積分變量積分和積分和( )f xx取極限取極限即即注意：注意：(

6、 )baxfx d d( )baf t t d d( )baf u u d d(2).i 在在定定義義中中區(qū)區(qū)間間的的分分法法和和 的的取取法法是是任任意意的的(1),.積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關(guān)關(guān) 而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關(guān)關(guān)(3)( ) , ,( ) , f xa bf xa b當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上的的定定積積分分存存在在時(shí)時(shí)稱稱在在區(qū)區(qū)間間上上可可積積. .xtuxtu, 0)( xf( )baf x xa d d曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xfd d( )baf x xa 曲邊梯形的面積的負(fù)值曲邊梯形的面積的負(fù)值1

7、234( )baf xxaaaa d d 定積分的幾何意義3a4a2a1a abyxo幾何意義( ),;xf xxa xbxx 它它是是介介于于軸軸、函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形及及兩兩條條直直線線之之間間的的各各部部分分面面積積的的代代數(shù)數(shù)和和在在軸軸上上方方的的面面積積取取正正號(hào)號(hào) 在在軸軸下下方方的的面面積積取取負(fù)負(fù)號(hào)號(hào) _ _abyxo例例1利利用用定定積積分分的的幾幾何何意意義義計(jì)計(jì)算算下下列列積積分分d dd d11200.(1);(2)1.x xxx 解解d d，10(1)x x 表表示示由由及及 軸軸圍圍成成的的三三角角形形面面積積. .0,1,xxyxx 100 x 1x 0y ay

8、x d d10 x x 11 12 1.2d d120(2)1,xx 表表示示由由及及 軸軸圍圍成成的的圓圓面面積積. .20,1,114xxyxx 100 x 1x 0y d d1201xx 1.4 yx a2114 定理定理( ) , ,( ) ,( )( ).,bbaaf xa bkkf xkffaxbxxkx 若若在在上上可可積積為為常常數(shù)數(shù) 則則在在上上d dd d也也可可積積 且且三、定積分的性質(zhì)定理定理( ) , ,( )( ) , ,( ( )( )( )( ).bbbaaaf xg xxf xa bf xgfbx xg x xxa 若若在在上上可可積積 則則在在上上也也可可積

9、積 且且 d dd dd d補(bǔ)充：補(bǔ)充：不論不論 的相對(duì)位置如何的相對(duì)位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,定理定理 （積分區(qū)間的可加性）（積分區(qū)間的可加性）d dd dd d323002( )( )( ),f xxf xxf xx d dd dd d363006( )( )( ),f x xf x xf x x 有有界界函函數(shù)數(shù)在在上上都都可可積積的的充充要要條條件件是是在在上上也也可可積積 且且 dddddd ( ) , , , ( ) , ( )( )( ),.bcbaacf xxf xxff xa cc bf xaxxb266032 063 2abcsacscbsabd dd d1

10、.bbaaxxba 定理定理d d203 x d d2033.2x 對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定:(1),( )0.baabf xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 令令d d(2)( ),( )( ).abbaababf x xf x xf x x 當(dāng)當(dāng)且且d d 存存在在時(shí)時(shí)則則d dd d定理定理（保序性保序性）推論（保號(hào)性）推論（保號(hào)性）( )( )( )( ) , ,( ), , ,( ).bbaaf xg xa bg xf xg xxf xxbxa 設(shè)設(shè)與與為為定定義義在在上上dddd的的兩兩個(gè)個(gè)可可積積函函數(shù)數(shù)若若則則( )0, , (,)0 .baf xxf xxa b d d若若則則ab(

11、 )g x( )f x定理定理 （有界性）（有界性）ab( )f x,( ) ,()( )().( ) , ,bam mf xa bf xm baf x xm baa b 設(shè)設(shè)分分別別是是在在上上的的最最小小值值和和最最大大值值若若在在上上可可積積 則則 d d . .例例2解解利利用用定定積積分分的的有有界界性性估估計(jì)計(jì)下下列列定定積積分分的的值值d dd d4201.(1)sin;(2)(1).x xxx d d，0(1)sin x x 0sin1,0, ,xx d d0sin x x 0 1, d d0sin x x 0 .0asinyx 0y 1y d d421(2)(1),xx 21

12、yx 4122117,1,4 ,xx d d421(1)xx 2 (41) 17 (41) , d d4216(1)51 .xx 2y 17y 定理（絕對(duì)值不等式）定理（絕對(duì)值不等式）( ) , ,( ) ,( )( ).,bbaaf xa bf xa bf xxf xx 若若在在上上可可積積 則則在在上上也也可可積積且且 d dd d 4321)(aaaadxxfba 1234( )baf x dxaaaa ( )( )( )f xf xf x用保序性證得用保序性證得abyxo1a2a3a4a( ) , , , ( )( )() .,baf xa ba bf xxfba 若若函函數(shù)數(shù)在在上上

13、連連續(xù)續(xù) 則則在在上上至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)使使得得 d d = =abxoy定理（積分中值定理）定理（積分中值定理）積分中值公式的幾何解釋積分中值公式的幾何解釋 , , , ,( )( ).a ba byf xf 在在區(qū)區(qū)間間上上至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)使使得得以以區(qū)區(qū)間間為為底底邊邊 以以曲曲線線為為曲曲邊邊的的梯梯形形面面積積等等于于同同一一底底邊邊而而以以為為高高的的一一個(gè)個(gè)矩矩形形面面積積 )( f定積分的計(jì)算定積分計(jì)算定積分計(jì)算 定義很復(fù)雜，直接計(jì)算很困定義很復(fù)雜，直接計(jì)算很困難難. .需要轉(zhuǎn)換新的思路需要轉(zhuǎn)換新的思路. .d d( )baf t t 01lim()niiifx

14、根據(jù)幾何意義，圖不好畫根據(jù)幾何意義，圖不好畫定理定理牛頓牛頓- -萊布尼茨公式萊布尼茨公式( ) , ,( )( ) ,( )(.),baf xa bf xf xa bf x xf bf a 設(shè)設(shè)在在上上連連續(xù)續(xù) 若若是是在在上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù) 則則 d d 微積分基本定理( )baf x x d d微積分基本公式表明：微積分基本公式表明：( )baf x 求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題 , , .a ba b 一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上的的定定積積分分等等于于它它的的任任意意一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上的的增增量量( )( )

15、 .f bf a ( )( )( ).baabf xxffba 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，d d仍仍成成立立例例1 求求 解解1. 提示與分析：提示與分析：20sin.x x d d20sin x x d d coscos02 20先看成不定積分問題，先看成不定積分問題，求出原函數(shù)求出原函數(shù). .d dsincosx xxc cos x d d( )( )bbaaf xxf x lnbax lnln.ba例例21ln,xxcx d d1baxx d d例如例如d d311xx 1ln.xx是是的的原原函函數(shù)數(shù)31ln x ln3ln1 ln3 . ( )yf x ( )( )dydf xyfxdxdx( )(

16、 )df xfx dxdyy dx問題問題40cos2xdx 40sin2x 解決方法解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程過程令令從 到從 到從 到從 到2 ,0,0.42ux xu 1,2dxdudu 2udxdx 第一換元法第一換元法40cos2xdx 201cos2udu 201sin2u 2012cosduu 1.2 考慮考慮2402 cos().xxx 求求定定積積分分d d能能用用直直接接積積分分法法嗎嗎？不不行行到底該令哪個(gè)式子為到底該令哪個(gè)式子為u u 對(duì)對(duì)于于不不定定積積分分d d如如果果無無法法直直接接計(jì)計(jì)算算 而而被被積積函函數(shù)數(shù)可可以以分分

17、為為兩兩個(gè)個(gè)部部分分( ),:( ) ( )( )f xxf xgxx ( )ux ( )f x ( )( )gxx 那那么么 d dxd dxd d( )g uu 如如果果d d 可可以以求求出出 原原不不定定積積分分就就解解決決了了 這這就就是是第第一一換換元元法法湊湊微微分分法法也也稱稱( ),.,.g uu ( )( )fxxf x d dd dd d ( )x 第第一一換換元元法法求求定定積積分分的的步步驟驟：( )( ),( ),( ).xxxuxxuf uu 湊湊微微分分d dd d并并作作變變量量代代換換把把關(guān)關(guān)于于 的的定定積積分分轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化成成關(guān)關(guān)于于 的的定定積積分分第第d

18、 d二二步步：關(guān)關(guān)鍵鍵( )( ),( )f xxx 把把被被積積函函數(shù)數(shù)分分解解成成兩兩部部分分因因式式相相乘乘的的形形式式，一一部部分分是是的的函函數(shù)數(shù)另另一一部部分分第第一一步步：是是的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)；一定要換積分上、下限一定要換積分上、下限第一換元（湊微分）法常用的幾種配元形式第一換元（湊微分）法常用的幾種配元形式: : d d(1)()f axbx d d()axb a1d d1(2)()nnf xxx d d()nxn1d d(3)(sin )cosfxx x d d(sin )xd d(4)(cos )sinfxx x d d(cos )x()nf x ()f axb (sin)fx