凸函數(shù)判定方法的研究要點(diǎn)

1、凸函數(shù)判定方法的研究凸函數(shù)判定方法的研究雞冠山九年一貫制學(xué)校張巖2013年12月15日ii凸函數(shù)判定方法的研究目 錄摘要 ii關(guān)鍵詞 iiAbstract iiKey words ii前言 iii一、凸函數(shù)的基本理論 11 、預(yù)備知識(shí) 12 、凸函數(shù)的概念及性質(zhì) 2二、凸函數(shù)的判定方法 4（一）一元函數(shù)凸性的判定方法 41、利用作圖判斷函數(shù)凸性 42、其它判定方法 5（二）多元函數(shù)凸性的判定方法 81、多元凸函數(shù)的有關(guān)概念 82、多元函數(shù)凸性的判定方法 9三、凸函數(shù)幾個(gè)其他判定方法 12四、總結(jié) 14參考文獻(xiàn) 14致謝 15凸函數(shù)判定方法的研究凸函數(shù)判定方法的研究摘要：凸函數(shù)是一類非常重要的函

2、數(shù)，借助它的凸性可以科學(xué)準(zhǔn)確地描述函數(shù)圖 像，而且可以用于不等式的證明。 同時(shí)，凸函數(shù)也是優(yōu)化問題中重要的研究對(duì)象， 研究的內(nèi)容非常豐富，研究的結(jié)果已在許多領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用，因此凸函數(shù)及 其性質(zhì)以及凸性判定的充要條件的研究就顯得尤為重要。本文首先給出了凸函數(shù) 的一些基本概念和結(jié)論，然后針對(duì)一元和多元函數(shù)，對(duì)凸函數(shù)的判定做了研究和 討論，本文最后也給出幾種新的判定凸函數(shù)的方法。關(guān)鍵詞：凸函數(shù)；梯度；Hesse矩陣；泰勒定理Abstract: Convex function is a kind of very important functions, with the help of its c

3、onvexity we can accurately describe the graph of functions and it can also be used to prove the inequalities. As the significant object in optimization problems, the contents about convex functions we study are very abundant, the results obtained so far has been applied to many fields. Therefore, th

4、e topic we concern about is deserved to be discussed. In this paper, we firstly present some basic definitions and properties of convex functions, then aiming at the univariate function and multi-variable functions we give several criterions for determining the convexity of functions. Finally, some

5、new principles are also given.Key words : Convex function; Gradient; Hesse matrix; Taylor Theorem4提起凸函數(shù)，人們都會(huì)想起它的許多良好性質(zhì)和在數(shù)學(xué)中的重要作用。的確，凸函數(shù)是一個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)概念，它在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域中具有 廣泛的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)教材中，函數(shù)的凹性和凸性一直都占據(jù)著重 要的位置，關(guān)于這兩個(gè)性質(zhì)的考查也常常見諸于練習(xí)和考試中 .凸函數(shù)是一類非常重要的函數(shù)，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)規(guī)劃，控制論等領(lǐng)域，函數(shù) 凸性是數(shù)學(xué)分析專攻的一個(gè)重要概念，它在判定函數(shù)的極值、研究函數(shù)的圖

6、象以 及證明不等式諸方面都有廣泛的應(yīng)用。凸分析作為數(shù)學(xué)的一個(gè)比較年輕的分支， 是在50年代以后隨著數(shù)學(xué)規(guī)劃，最優(yōu)控制理論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科的 興起而發(fā)展起來的。運(yùn)籌學(xué)是在二十世紀(jì)四十年代才開始興起的一門分支。運(yùn)籌 學(xué)的創(chuàng)始人定義運(yùn)籌學(xué)是：“管理系統(tǒng)的人為了獲得關(guān)于系統(tǒng)運(yùn)行的最優(yōu)解而必 須使用的一種科學(xué)方法?！彼褂迷S多數(shù)學(xué)工具（包括概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)理分析、線 性代數(shù)等）和邏輯判斷方法，來研究系統(tǒng)中的人、財(cái)、物的組織管理、籌劃調(diào)度 等問題，以期發(fā)揮最大的效益。隨著科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)的發(fā)展，運(yùn)籌學(xué)已滲入很多 領(lǐng)域里，發(fā)揮了越來越重要的作用。但是，凸分析的局限性也是很明顯的，實(shí)際問 題中的大量函數(shù)是

7、非凸的，因此，各種廣義凸函數(shù)的定義相繼出現(xiàn)，特別是近年來， “非凸分析”或更一般的“非光滑分析”已成為引人注目的熱門課題，它們是凸分析的拓廣和發(fā)展。本文主要從凸函數(shù)出發(fā)給出凸函數(shù)的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)及一些重要的性質(zhì)，然后給出了凸函數(shù)的幾個(gè)等價(jià)定義并加以說明，然后利用函數(shù)圖象判定函數(shù)的凸性， 接下來給出了一些一元函數(shù)的判定方法并結(jié)合實(shí)例給出了判定函數(shù)凸性的一些 等價(jià)條件，接著給出多元函數(shù)的判定方法及其應(yīng)用， 最后，又介紹了判定函數(shù)凸 性的幾個(gè)其他的方法。凸函數(shù)判定方法的研究15一、凸函數(shù)的基本理論(一)預(yù)備知識(shí)1 .梯度：若n元函數(shù)f(x)對(duì)自變量x = (x1,x2，,xn)T的各分量xi的偏導(dǎo)數(shù)空

8、i =(1,2,n)都存在，則稱函數(shù)f(x)在x處一階可導(dǎo)，并稱向量 xi-：f(x)Tf(x)開(x)、f(x)=(，1x1；興2聶:1,2.都為函數(shù)f (x)在x處的梯度或一階導(dǎo)數(shù)2 . Hesse矩陣：若n元函數(shù)f(x)具有二階偏導(dǎo)數(shù)，即存在，則稱矩陣2f(x)="2 f (x)以次4 f (x)3x2a12 一：f(x)-x1 - x2/f(x) %區(qū)£2 f (x)1M&iF2f(x)xn %$f(x) '已2 f (x)Cx2Cxn1 1 I，2f(x)Cxntxn /為f (x)在x處的Hesse矩陣(海色矩陣)3 .泰勒展式(1) 一階泰勒展

9、式：設(shè)f(x)在點(diǎn)x處具有一階連續(xù)偏導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)x處的 泰勒展開式f (x) = f (x) +Uf (x)(x x)+0( x -x )其中口( x -x )為變量x -x的高階無窮小量(xT x),或者f(x) = f(x) +f(-)T(x-x),其中 £ = x+8(x x)(0 <8 <1)。(2)二階泰勒展式：設(shè)f(x)在點(diǎn)x處二階連續(xù)可微(或具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))則f(x)在點(diǎn)x處的二階泰勒展開式為2_ _ T _1_ T_2 _ _f(x) = f (x) + Vf(x) (xx)+(xx) V f (x)(x x)+口( x x )_1_或者f (x

10、) = f (x) +Vf (x)T(x -x) + (x x)，V2 f 4)(x x),2其中 x =x+9(x -x)(0 <9 <1) o(二)凸函數(shù)的概念及性質(zhì)定義1.1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，若Vxi,xzW|,總有f I l(x1 +x2 啟1( f (xi )+ f 乂)(1.1 )22則稱f(x)為I上的凸函數(shù).若在定義1.1中當(dāng)X *x2且不等式嚴(yán)格成立，則稱f(x)為I上的嚴(yán)格凸函數(shù).定義1.2設(shè)f(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)I上的任意兩點(diǎn)x1,x2和任意的九10,1)總有f +(1-九淡產(chǎn)九 f (x2)+(1-九)f (x2)(1.2)則稱

11、f(x)為I上的凸函數(shù).若(1.2)改為嚴(yán)格不等式，則稱f(x)為嚴(yán)恪凸函數(shù)定義1.3 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，若Vx1，x2，xnwI(n之2),總有飛 十+.f (% )+ f “2 )+ + f (% )f . n -n()則稱f(x)為I上的凸函數(shù).1 .凸函數(shù)的一些基本性質(zhì)(1)若f1(x )、f2(x廿勻?yàn)閍,b】上的凸函數(shù)，則 f1(x)+f2(x)也是g,。上的凸函數(shù)。(2)設(shè)f(x)為la,b】上的凸函數(shù)，k為正常數(shù)，則kf(x)也為B,b】上的凸函數(shù)(3)設(shè)u=f(x)為a,b】上的凸函數(shù)，g(u)在b,b】上單調(diào)遞增，且也為 a,b】上的凸函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)g(“x

12、»也是a,b】上的凸函數(shù)。(4)若u = f (x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x20時(shí)，u = f (x)是凸函數(shù)，則當(dāng)x < 0 時(shí)，u = f(x捉凹函數(shù)。(5)若u = f (x )是偶函數(shù)，且當(dāng)x之0時(shí)，u = f (x)是凸函數(shù)，則當(dāng)x > 0 時(shí)，u = f (x促凸函數(shù)。(6)若y=f(x足匕力】上的連續(xù)遞增的凸函數(shù)，則 x=f(y層遞增的 凹函數(shù)。(7)若y = f (x層定義在區(qū)間(a,b止的凸函數(shù)，則y = f (x禰(a,b)上連 續(xù)。(8)若y=f(x徒(-8,收)上的凸函數(shù)且不包為常數(shù)，則存在一點(diǎn)c使得y = f(x位(-g,c )上遞減,在(g8)上遞增。

13、2 .凸函數(shù)的一些重要性質(zhì)性質(zhì)1.1 設(shè)函數(shù)f (x爪I上連續(xù)，若f (x)是I上Jensen意義下的凸函數(shù)，則 Vox? w I及九三10,1】都有(1.2)成立。性質(zhì)1.2(性質(zhì)1的逆命題)設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I上的，若又tVx,x2wi ,九w 0,1都有f (，出十(1九)x2產(chǎn)九f(x2)十(1九)f(x2),則f (x)在I內(nèi)連續(xù)。性質(zhì)1.3 若f (x)在區(qū)間I上連續(xù)，且滿足f x Ef x1 Lf X2x2 -x1x2 - x1其中x1,x2,，則f (x)是I上的凸函數(shù)。性質(zhì)1.4 若f (x)是閉區(qū)間a,b上有界的凸函數(shù)，f(x)在a,b內(nèi)必連續(xù)。性質(zhì)1.5 若函數(shù)f (

14、X)是區(qū)間I上的連續(xù)凸函數(shù),則有1)函數(shù)f(X)在I內(nèi)處處存在左、右導(dǎo)數(shù) f'x)與f'"x),且f_(x)«f'*x );2) f'_(x )與f +(x )都是x的不減函數(shù).二、凸函數(shù)的判定方法(一)一元函數(shù)凸性的判定方法1 .利用作圖判斷函數(shù)凸性圖1-1上圖是一個(gè)凸函數(shù)f (x )的幾何圖像，其中乂 = ?以1+(1-九)x2 , A=f(x1)，A=f(x2), C =?，-A + (1-九)B。若函數(shù)y= f(x)在區(qū)間I內(nèi)有定義，如果對(duì)于Vx1,x2-I ,連接(為，“斗)和(x2,f(x2)兩點(diǎn)的弦都在介于這兩點(diǎn)的弧段之下，則可

15、以判定(由定義1.1)該函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)是凸函數(shù)。定義1.1是對(duì)凸函數(shù)的幾 何特性的直觀描述，可以通過作圖判斷函數(shù)的凸性。2 .其它判定方法引理2.1 f為I上的凸函數(shù)的的充要條件是：對(duì)I上的任意三點(diǎn)x,<x2<x3,總有f x2f X1f X3 ：；- f X2(2.1 )x3 -'x2x2 - X1定理2.1 設(shè)函數(shù)f (x祚區(qū)間I可導(dǎo)，f (X)在區(qū)間I內(nèi)是凸函數(shù)二 Vx1, x2 = I ,且 x1 w x2，有 f'(x1 )w f'(x2 )。證明：必要性 若f (x)在區(qū)間I上式凸函數(shù)，且 ”,x2W I且vx:xi 2, 由(2.1 )式有f

16、X - f - : f x - f ”x - x1X - x2已知函數(shù)f (X)在X1與X2皆連續(xù)可導(dǎo)，根據(jù)極限保號(hào)性定理有,fX1- fx2fX2- fX1f,/、f (X1)- - f (X2)X1 'X2X2 'X1于是f,(X1)M fX1-fX2M fX2-fX1工 f(X2)X1 -X2X2 - X1充分性：Vx1,x2,x3 = I ,且x1cx <x2,根據(jù)微分中值定理， 三產(chǎn) 產(chǎn)蘆蘆1, 2：X1 < 1 :二 X :二 2 :二 X2有 f)= f(X)f(X1)與 f(X)-f(X2)= f 值)。已知 f1)Mf'«2)即

17、X”x-x2f(x )f (X1)w f (x)f (x2 ) 由引理(2.1)知函數(shù)f (x)在I上是凸的。 x -x1x - x2定理2.2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I可導(dǎo)，f (x)在區(qū)間I內(nèi)是凸函數(shù)u曲線y = f (x )位于它們的任意一點(diǎn)切線的上方。證明：必要性 VXo=I ,曲線y = f (x)在點(diǎn)(Xo, f (Xo)的切線方程'y(x) = f(%) f (Xo)(x-Xo),從而_ _ f(x) -y(x) =f (X)- f(Xo) -f (Xo)(X- Xo)=f,(-)(X-Xo)- f,(Xo)(X-Xo) =(f,(-) -f,(Xo)(X-Xo),其中1在

18、 X 與 Xo 之間，若函數(shù)f(x)在I上是凸的，由定理1,則f'(D- f(Xo)與X-Xo同號(hào)，于是VxJ ,有f (x) -g(x) >0 0即曲線y = f (x)在其上任意點(diǎn)(%, f (%)的切線上方。充分性 若為 x,x0wl ,有 f (x) y(x) = f (x) f (%) f'(x0)(x x0) 20 ,于是叫X,X2/ 且 x<x"，有 SSwSfL)由引理 1, x-x1x2 Tf (x歡I上是凸函數(shù)。定理2.3 設(shè)函數(shù)f (x )在區(qū)間I上存在二階導(dǎo)數(shù)，f (x )在區(qū)間I內(nèi)是凸函數(shù)u Vx w I ,有 f "(

19、x 廬 0 o證明：必要性 Vx1,x2 = I ,且 <x2 ,已知f (x)在區(qū)間I上是凸函數(shù)，根據(jù)止理 2 有f (x1)主 f(x2)(x1x2)+ f(x2)與 f(x2)2 f(x1)(x2 x1)十 f (x1)從而f'(xi)三 f(x2) f(xi)與 f'(x2)(x2 -xi)即函數(shù)f'(x)在區(qū)間I上單調(diào)增加，于是又 Vx= I有f”(x)之0充分性 V為？2 w (a,b),由泰勒公式,££ 屋f ()f(x2)=f(xi)f(、)(x2-xi) (x2 - xi)2其中U在xi與x2之間，已知VxW I有f ”(x義

20、0,則f(x2)至f (x) +f (x )(x2灰),即f (x汽區(qū)間I上是凸函數(shù)。定理2.4 設(shè)f(x)在區(qū)間I上有定義，則f(x)在區(qū)間I內(nèi)為凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)V xi,x2,x3e I ,且 xi <x2 <x3 有fx2- fxifx3- fxifx3- fx2x2 - xi乂3 - xi乂3 - x2證明：必要性 已知f(x)在區(qū)間I上為凸函數(shù)，有定義Vxi,x3= I ,設(shè)X<x3,有f (九K +(i 九)x3 產(chǎn)兒 f(xi)+(i 九)f(x3)(2.2)將 fdLWxi) , (Xi)乘以(x2-xi)移項(xiàng)變形可知：(x2 -xi)(x3 -xi)f(x2)

21、 qx- f(x3)+x3 f (xi)(2.3 )x3 - xix3 - xi時(shí)，則1一 =%二x3X1可見 Vx2 w (x1, x3),令九=x2 x1X3 -xix2 - x(x? - x2_- x32 xi = x2x3 - xix3 - xi從而由(2.2)式可推到(2.3)式 同理類推，由(i.2)得"%)-f(xi) J(x3)-f(x2)。x3 - xix3 - x2充分性 X/為，x2,x3 W I 且 x, c x2 <x3,有f x2 - f xif & - f xif & - f x2x2 - x1& - x& - x2

22、若 Vxw(0,1),令 x2 =九乂3+(i 一人)xi,貝(J?y='x_x1 , x3 - xi從而由(2.3)式可推到(2.2)式。同理類推，由 f(x3) f(xi)，f(x3) f(x2) 推得(2.2)式 x3 - Xix3 - x2定理2.5 若f (x )在區(qū)間I上連續(xù),且滿足1Xif ( Xi )1xf (x )201X2f X2其中x1, x2 w I ,則f (x )是I上的凸函數(shù)。下面舉幾個(gè)例題說明這些判別方法的使用。例 2.1 求證 Va,bwR,有 ea+ wea+eb)2證明：Va,b w R ,不妨設(shè)a <b ,考察函數(shù)y = ex，因?yàn)閥

23、9; = y” = ex > 0 ,故y = ex是R上的凸函數(shù)。&=b,由定理2.5知xif (xi)X2 f(X2)之0,X3 f (X3)令 Xi =a , X2 =ab ,2111aa baea： ；be 2>0,ab -a2b - aaea -ba-e>0,b a e -e2 ba： ；bb -ea) _(ba)(e 2 -ea) >0,.a： to所以因此1 b a2-a-(e -e ) _e 2 -e ,2a -b .1 a b、e <- (e +e ) o2例 2.2證明不等式-(xn + yn) >(-一y)n(x>0, y

24、a0,x # y, n A1)成立。2 2證明： 取函數(shù)f (t) =tn,(t W (0,依)_'n二_ ''n 22._f(t)=nt ,f(t)=n(n-1)t ,(t (0,二)當(dāng) n >1 時(shí)，f >0 ,(住(0, y)因此，f (t) =tn在(0, F)內(nèi)是凸函數(shù)，故對(duì)任何x A0, y A0,x ¥ y ,包有1x y-f(x) + f(y)> f(),22即不等式 1(xn +yn)A(_xy)n(x > 0, y >0, x # y, n >1)成立22（二）多元函數(shù)凸性的判定方法1 .多元凸函數(shù)的有關(guān)

25、概念定義2.1 設(shè)D<= Rn,對(duì),小D,x?w D,數(shù)，f匕/, x,及x2為n維向量，若均有£為+(1 九)X2 w D ,則稱D為凸集,即如果D中的任意兩點(diǎn), X2的連線也在D內(nèi)，則稱D為Rn中的一個(gè)凸集。多元凸函數(shù)的定義可由一元凸函數(shù)的定義推廣得到。定義2.2 設(shè)D u Rn為非空凸集,"ywDNw (0,1),若有f x (1- )y) < . f(x) 1 f(y),則f(x,y)為D上的凸函數(shù)；若上述為嚴(yán)格不等式，則f(x,y)是D上的嚴(yán)格凸 函數(shù)。我們可以利用函數(shù)的梯度和二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣(Hesse矩陣)來判斷多元函數(shù)的凸性。2 .多元函數(shù)凸性的判

26、定方法定理2.6 設(shè)f(x )為凸集DuRn內(nèi)可微函數(shù)，則f(x)為D內(nèi)的凸函數(shù)的充要條件是：對(duì) yxe D,x +Axe D, f(x+Ax)k f(x)+Vf(xjAx ,其中Fxx2lx = gradf ( x ) = | cx2Cf»nT /x = (x1，x2,xn)證明：必要性設(shè)f (x)為四的凸函數(shù)，對(duì)Vaw|0,1,恒有f ： (x x) (1 - ： )x _ 二 f (x Lx) (1 - ： ) f (x)f(x ：,x) - f*f(xx).f(x)令a從正趨向于o,則艘十Ct3M3-f(x)Zx,所以'、f (x)T x - f (x 二x) - f

27、 (x)充分性 設(shè) /xWD, x+AxW D ,有 f(x+Ax)之 f (x)+Vf(x)Zx 成立。設(shè) x1,x2 乏 D ,令 x=ux1 +(1口)x2 , 0 <口 <1 ,則f (Xi) > f (x) +Vf (x)T(Xi x)(2.6)f (x2) > f(x) + Vf (x)T(x2 -x)(2.7)a X (2.6) +(1-a) X (2.7)式得：:f (x1) (iT-)f (x2) _ f (x) t f (x)T 二(x1 x) (1 二)(x2 x1) 或:f (xi) (1-： )f(x2) - f (x) 即二 f (xi) (

28、1 - ： ) f (x2) _ f - xi (1 - - )x2所以，f(x)是D內(nèi)的凸函數(shù)。定理2.7f(x)是定義在凸集DU Rn內(nèi)的二次可微函數(shù)，則f(x)為D內(nèi)的凸函數(shù)的充要條件為f(x)的二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣2f(x)處處半正定。類似的，f(x)為D內(nèi)嚴(yán)格凸函數(shù)的充要條件為 2f(x)處處正定。證明：必要性 設(shè)人=守2“刈,對(duì)任意的Ax,由泰勒公式得：1f (x x) = f (x) 1 f (x)二x x Alx2由題意知 f (x+Ax)至 f (x)+Vf (x)TAx ,所以 AxTAAx 至0,即A = V2 f (x)處處半正定。充分性由泰勒公式得,. T .1 . Tf

29、(x 1 =x) = f (x) 、f (x) x x A x2若A處處半正定，對(duì)任意Ax,恒有AxTAx之0,貝U f (x + Ax)之f (x)+Vf (x)TAx由定理2.6知，f(x)為D內(nèi)的凸函數(shù)。例2.3 求證：二元函數(shù)f (x, y) =x2-2xy + y2+x +y為R2上的凸函數(shù)。(證法一)證明：因?yàn)閞 1f (x, y) = 2 x y-2Yx2 Ay；人1令 f (x,y) = f (x) = xZvx+b”,其中 2一aa c任取 xi =,x2 = WR , tw(0,1),則1kM<b2jf(tX(1一%)二 f (tai(1t)a2m (1t)b2)二

30、(t(a f)( 也)2 t(a1也)(1-t)(a2 b2)tf(xj (1-t)f(x2),、22= t(&-bi)(1-t)(a2-b?)t(abi)(1 -t)(a2bz)利用一元函數(shù)g(x) =x2為xw R上的凸函數(shù)可知2(t(a -b) (1-t)(a2-b2)222-t(a1-bi)2 (1-t)(a2-b2)2因此二元函數(shù)f (x, y) = x2 -2xy + y2 + x+ y為因上的凸函數(shù)。(證法二)證明:2 _2z z二2 ex.2二 z-2、z zexey_2z z口 2y )-八入,因?yàn)榱?2>0,22. 2Jex則A為半正定，所以二元函數(shù)f(x,y

31、) =x22xy+y2+x+y為R2上的凸函數(shù)例 2.4 求函數(shù) f (x,y) =10(y2 -4x)2+(1-4y)2 的極小值。解：首先討論f(x,y)的凸性，求出它的Hess即陣''320-160y'<-160y 120y2 -160x + 32f2z-2二 z二 x：y；2z-2二 z<cxcy2因?yàn)橐?320 >0, detA = 2560(5y2 -20x+4) 二 x當(dāng)det A >0時(shí)，A為正定，即5y2 -20x+4>0是f (x, y)為嚴(yán)格凸函數(shù)的條件11_11 _令 fx(x, y)=0, fy(x,y) =0 ,

32、即 x= ,y=，而 x= ,y= 酒足不等式6446441 15y2 -20x+4>0 ,所以 f (x, y)有唯一極小值,f (,-) =0 0三、凸函數(shù)幾個(gè)其他判定方法定義3.1 令SuRn是一一個(gè)非空集，f :S > Repif =(x,a ) f (x )Wa,x w S,a w R稱集合 epif u Rn*是 f 的上圖像。定理3.1 令SuRn是一個(gè)非空凸集，f: St R在S上是凸的當(dāng)且僅當(dāng)f的 上圖像epif是凸集。證明：充分性 因?yàn)閒在S上是凸的,對(duì)Vx1,x2 w S,(x1,a1),(x2,a2)亡epif ,九w (0,1) 有f X (1-)x2)三

33、- f (x1)1 - - f(x2) < x1 (1- )x2由于S是凸集，故兒Xi+(1 K)x2WS,則( Xi (1 y)X2, , a1 (1 -心)epif即f是凸的。必要性 因?yàn)?epif 是凸的，對(duì) 立1,乂2W$,(川，f(X1),(x2,f(x2)WepifJw (0,1),有( x1 (1 - ' )x2, 1 f (x1) (1 -1) f (x2) epif即f x1 (1-1 )x2) - f (x1) 1 一生)f(x2)得證。定理3.2 設(shè)SU Rn為一非空凸集合，f :ST R為凸的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)Vv,函數(shù) h:ST R, h(t 產(chǎn) f (x+tv

34、 )在t x + tvw S上是凸的。定理3.3 設(shè)SURn為一非空開凸集合，f:ST R在S上可微，則f為凸的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì) Vx1,X2 = S, f(X2 )f(X )>Vf (X1 T(X2-X1 )0定義3.2 令f：SuRnTRn, &uS。稱f在S上是單調(diào)的，若對(duì)Vx, y二S, 有 f(x) f(y：(xy)主 0 成立。定理3.4設(shè)SuRn為一非空開凸集合,f:ST R在S上可微，則f在S上為凸的當(dāng)且僅當(dāng) f單調(diào)，即對(duì)Vx,X2W S,有(Vf (xi )-f(X2)(Xi-X2心0。1例3.1 函數(shù)f(x) = xTAx+bTx+c,其中A=(aj)nn為半正定的對(duì)稱陣，2 jb =(bi,b2, ),為給定的常向量，為常數(shù)，則f(x)為凸函數(shù)。證明：利用定理3.4來驗(yàn)證。/x=(x1,x2),y =(y1,y2)wS 有f(x) =ATx+bT , Vf (y) = ATy + bT , x y = (x1 - y% - y2)T貝(J Vf (x)-Vf (y) =At (x-y),于是(Vf(x)-Vf (y)(x-y)=(x-y)AT(x-y),由于 A =)nn 為半正定的對(duì) 稱陣，于是(x - y) AT (x-y)之0 ,即(Vf (x) -Vf (y)(x y)之0 ,所以 f (x)為凸函