剪力彎矩計算

1、桿件的內力及其求法 梁的內力圖及其繪制 彎矩、剪力、荷載集度 間的關系 疊加法作剪力圖和彎矩圖 其它桿件的內力計算方法 小結第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)第五節(jié)返回第一節(jié) 桿件的內力及其求法 一、桿件的外力與變形特點 平面彎曲荷載與反力均作用在梁的縱向對稱平面內，梁軸線也在該平面內彎成一條曲線。 1.彎曲梁（橫向力作用）受力特點：垂直桿軸方向作用外力， 或桿軸平面內作用外力偶；變形特點：桿軸由直變彎。 單跨靜定梁的基本形式：返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小結2、軸向拉伸與壓縮 桿（縱向力作用）受力特點：外力與桿軸線方向重合；變形特點：桿軸沿外力方向伸長或縮短。3、扭轉軸（外力偶作用

2、）受力特點：外力偶作用在垂直桿軸平面內；變形特點：截面繞桿軸相對旋轉。4、組合變形兩種或兩種以上基本變形的組合。返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小結二、梁的內力及其求法 1、剪力和彎矩的概念 圖示簡支梁在荷載及支座反力共同作用下處于平衡狀態(tài)。 求距支座A為x的橫截面m-m.上的內力。用截面法求內力。 步驟：1)截開 2)代替 內力外力引起的受力構件內相鄰部分之間相互作用力的改變量。 桿件橫截面上的內力有：軸力，剪力，彎矩，扭矩等。剪力Q限制梁段上下移動的內力;彎矩M限制梁段轉動的內力偶。 單位：剪力Q KN, N；彎矩M KN.m ， N.m 3)平衡 0Y0QRAARQ 0o

3、M0 xRMAoxRMAo若取右半段梁為研究對象,可得：QQ ooMM 返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小結 1）剪力Q：截面上的剪力Q使所取脫離體產生順時針轉動趨勢時（或者左上右下）為正，反之為負。 2）彎矩M：截面上的彎矩M使所取脫離體產生下邊凸出的變形時（或者左順右逆）為正，反之為負。 為避免符號出錯,要求： 未知內力均按符號規(guī)定的正向假設。返回 下一張 上一張 小結 2、剪力和彎矩的符號規(guī)定返回 下一張 上一張 小結例例3-1：懸臂梁如圖所示。求1-1截面和2-2截 面上的剪力和彎矩。解：解：1）求1-1截面上的內力 0YqlPQ21100M218121qlPlM021

4、1QqlP04)21(21MlqllP 求得的 Q1 、M1 均為負值,說明內力實際方向與假設方向相反。矩心 O 是1-1截面的形心。2）求2-2截面上的內力0YqlPQ200M2221qlPlM02QqlP02)(2MlqllP 求得的 Q2 、M2 均為負值,說明內力實際方向與假設方向相反。矩心 O1是2-2截面的形心。返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小結 例3-2 外伸梁如圖，試求1-1，2-2截面上的剪力和彎矩。解：1、求支座反力：由整體平衡0638, 021ABYPPMkNYA140632, 021BAYPPMkNYB9校核： 反力無誤。020391421PPYYYB

5、A 2、求1-1截面上的內力：取左半段研究0, 011QPYYAkNPYQA1131411013, 011MYPMAo矩心o1-1截面形心 3、求2-2截面上的內力：取右半段研究0, 02BYQYkNYQB9205 . 1, 02MYMBomkNPYMA53111mkNYMB5 .135 .12若取左半段梁研究，則0, 0221QPPYYAkNPPYQA92031421205 . 15 . 65 . 4, 0221MPPYMAomkNPPYMA5 .135 . 15 . 65 . 4212矩心o2-2截面形心返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小結3、直接法求梁的內力：（由外力直接

6、求梁橫截面上的內力） （1）梁任一橫截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面一側（左側或右側）所有外力沿截面方向投影的代數(shù)和；iQPQ 符號規(guī)定：外力使截面產生順時針轉動趨勢時（或左上右下）該截面剪力為正，否則為負； （2）梁任一橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面一側（左側或右側）所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和；)(iQoPMM 符號規(guī)定：外力使梁段產生上凹下凸變形時（或左順右逆）該截面彎矩為正，否則為負； 計算時可按二看一定的順序進行：一看截面一側有幾個力，二看各力使梁段產生的變形，最后確定該截面內力的數(shù)值。返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一

7、張 小結例例3-3：簡支梁如圖所示。試計算1-1、2-2、 3-3、4-4 截面上的剪力和彎矩。 解解：1）求支座反力 0AM0322LVLPpLB0MB 06P7P6PVPVYBA 61PVQA)(6032PVLVLPPLAA2）計算截面內力 1-1截面：)(67PVB反力無誤。校核1831PLLVMA2-2截面：62PVQA9423632PLPLLpmLVMA3-3截面：63PVQA1872326)33(3PLPLLPmLLVMA4-4截面:674PVQB18736734PLLPLVMB返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小結 第二節(jié) 梁的內力圖及其繪制 梁各截面的內力隨截面位

8、置而變化，其函數(shù)關系式 Qx=Q(x), Mx=M(x) 稱作剪力方程和彎矩方程。 列內力方程即求任意截面的內力。qxPxQ)(221)(qxPxxM 反映剪力（彎矩）隨截面位置變化規(guī)律的曲線，稱作剪力（彎矩）圖。二、剪力圖和彎矩圖的作法： 取平行梁軸的軸線表示截面位置，規(guī)定正值的剪力畫軸上側，正值的彎矩畫軸下側；可先列內力方程再作其函數(shù)曲線圖。)0(lx )0(lx 如懸臂梁：當x=o, Q(x)=-P, M(x)=0; x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=-Pl-ql2/2.其剪力圖和彎矩圖如圖示。221qlPl 返回 下一張 上一張 小結 一、剪力圖和彎矩圖的概念返回 下一張 上

9、一張 小結 例3-4 作圖示懸臂梁的內力圖。 解：1.列內力方程：（先確定x坐標，再由直接法求x截面的內力。）)0( ,)(lxPxQ)0( ,)(lxPxxM 2.作內力圖：（先取坐標系確定端點坐標，再按內力方程特征繪圖。）Q(x)等于常數(shù)，為水平線圖形；由;)(,)0(, 0PlQlxPQx作剪力圖 M(x)等于x的一次函數(shù)，為斜直線圖形；由;)(,; 0)0(, 0PllMlxMx作彎矩圖 結論：當梁段上沒有荷載q作用時，剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線。返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小結 例3-5 作圖示簡支梁的內力圖。解：1.列內力方程：先求支座反力)0( ,21)(

10、lxqxqlqxVxQA)0(),(2121)(22lxxlxqqxxVxMA利用對稱性：)(21qlVVBA 2.作內力圖： Q(x)為x的一次函數(shù)，Q圖為斜直線；;21)(,;21)0(, 0qllQlxqlQx作 M(x)為x的二次函數(shù)，M圖為拋物線；;81)2(,2; 0)(,; 0)0(, 02qllMlxlMlxMx 結論：當梁段上有均布荷載q作用時，Q圖為斜直線，M圖為二次拋物線。作返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小結 例3-6 作圖示簡支梁的內力圖。 解：1.列內力方程： 求支座反力：由整體平衡),(lPbVA);(lPaVB校核無誤。 因P作用，內力方程應分A

11、C和CB兩段建立。AC段：)0( ;)(,)(axxlPbxVxMlPbVxQAACB段：);()()(,)(1111xllPaxlVxMlPaVxQBB)(1lxa2.作內力圖：)0( ;)(,)(2222bxxlPaxMlPaxQ; 0)0(,)0(, 0MlPaQx; 0)(,)(,aMlPbaQax;)(,)(),( ,21lPabaMlPbaQbxax. 0)(,)(),0( ,21lMlPalQxlxAC段：CB段：返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小結 結論：在集中力P作用截面，Q圖發(fā)生突變，突變值等于該集中力P的大小；M圖有尖角，尖角的指向與集中力P相同。 內力函

12、數(shù)的不連續(xù)是由于將集中力的作用范圍簡化為一個點的結果。若考慮集中力為微梁段上的均布荷載，則C截面的 Q圖和M圖應為斜直線和拋物線。 因此，當談到集中力作用出的剪力時，必須指明是集中力的左側截面（C左）還是集中力的右側截面（C右）。返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小結 例3-7 作圖示簡支梁的內力圖。 解：1.列內力方程：求支座反力)(lmVVBA校核無誤。AC段：)0( ;)(,)(axxlmxMlmxQCB段：)();()(,)(1111lxaxllmxMlmxQ)0( ;)(,)(2222bxxlmxMlmxQ 2. 作內力圖：; 0)0(,)0(:0MlmQx;)(,)(

13、:lmaaMlmaQax;)(,)(:1lmbaMlmaQax. 0)(,)(:1lMlmlQlxAC段：CB段： 結論：在集中力偶作用截面，Q圖不受影響；M圖有突變，突變值等于該集中力偶的力偶矩。（談彎矩時，必須指明集中力偶作用截面的左側或者右側。）返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小結第三節(jié) 彎矩、剪力、荷載集度間的關系 一、彎矩、剪力、荷載集度間的關系 由梁微段的平衡條件：0)()()()(, 0dxxqxdQxQxQY).()(axqdxxdQ; 02)()()()()(, 0dxdxxqdxxQxMxdMxMMO(Mo矩心O取在右側截面的形心。).()(bxQdxxdM

14、將(b)代入(a)，).()(22cxqdxxMd(a)、(b)、(c)三式即Q、M、q間的關系。力學意義：微分形式的平衡方程；幾何意義：反映內力圖的凹凸性；（一階導數(shù)反映切線斜率； 二階導數(shù)反映曲線凹凸性。）返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小結 二、M、Q、q三者間關系在內力圖繪制中的應用（內力圖特征） q=0梁段 q=c梁段 P作用截面 m 作用梁段 梁上外力剪力圖彎矩圖 返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小結例例3-8：用簡捷法繪出圖示簡支梁的內力圖。解解：1）計算支座反力 )(KN6VA )(18KNVB0461864qVVYBAKNqVQKNQABC18

15、4664,6KNVQQAcA6, 0AM0)(qxVxQBmqVxB3618mKNqVMB2723330mKNVMAC122在Q=0處，彎矩有極值,數(shù)值為：由BC 段：AB 段：BC 段：AB 段：3）畫內力圖：（先求控制截面內力值，再按內力圖特征畫圖。） 剪力圖 校核無誤。2) 梁分段：為AC,CB兩段。彎矩圖返回 下一張 上一張 小結4）確定內力最大值：,18|maxkNQ在B支座處。,.27|maxmkNM在距B支座3m處。返回 下一張 上一張 小結0BMm,24KN122AVCM 三、簡捷法繪梁內力圖的步驟： 1. 求支座反力；（注意校核！懸臂梁可省略。） 2. 將梁分段；（以梁上荷載

16、變化處為界，包括：P、m作用點，q的起止點，梁的支座和端點等。） 3. 繪內力圖；（先確定控制截面內力值，再按 繪圖，最后用內力圖特征檢驗。控制截面即梁分界截面。注意P、m作用處應取兩側截面。） 4. 確定內力最大值及其位置。(從圖上直接找 。)maxmax| ,|MQ 簡捷法繪梁內力圖的關鍵是：正確確定控制截面內力值（一般用直接法）；熟記內力圖的特征。 確定控制截面內力值的方法有三種： 1）截面法；（三個步驟，兩套符號規(guī)定。） 2）直接法；（由外力定內力符號看梁的變形。） 3）積分法。（微分關系逆運算的應用。）返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小結內力圖特征 3）積分法求指定截

17、面的內力： 假定梁段上從左向右依次有A、B兩個點，A點的QA、MA已知，可由此計算B點的QB、MB.。 A B 由),()(xqdxxdQ;)()(dxxqxdQ,)()(BABAdxxqxdQ;)(BAABdxxqQQ同理，由),()(xQdxxdM;)(BAABdxxQMM 如此，可利用積分法從梁左端向右端依次確定各控制截面內力值；按內力圖的特征逐段繪圖。 這樣需知梁端點上的內力值：梁端點荷載剪力值彎矩值鉸支座無集中荷載支反力值 零固定端無集中荷載支反力值支反力偶矩 自 由 端無集中荷載 零 零 集中力P P力值 零集中力偶m 零 m力偶矩返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小

18、結 例3-9 試用簡捷法繪制圖示外伸梁的內力圖。 解：1、求支座反力：)(7)32108288(121kNYA)(5)152104248(121kNYB02281BAYYY校核無誤； 2、梁分段：為AC,CD,DB,BE四段； 3、繪圖：從左向右逐段作Q圖和M圖； 檢驗Q最后與右端P2值相等,結果無誤； M極值點的確定:（由三角形的相似比）;434),134(xxx;3)3143(mxmkNMF.5 .20112120mkNMmkNMrDlD.61016.1633215 .204、確定內力最大值：|Q|max=7kN 在A端； |M|max=20.5kN.m 在距A端5m處（在F端）。返回 下

19、一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小結第四節(jié) 疊加法作剪力圖和彎矩圖 一、疊加原理： 分析圖示懸臂梁。 ,qLRPRqLPRBqBPB;2,222qLMpLMqLPLMBqBpB;)(;)(,)(qxxQPxQqLpxQqP;2)(,)(,2)(22qxxMPxxMqxPxxMqP;BqBPBRRR;BPBPBMMM);()()(xQxQxQqP).()()(xMxMxMqP返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小結 疊加原理： 由幾個荷載所引起的反力，內力或其它參數(shù)（應力、位移）等于各個荷載單獨引起的該參數(shù)值相疊加。 二、 疊加法作剪力圖和彎矩圖 步驟： 1）先把作用在梁上的

20、復雜荷載分解為幾組簡單荷載單獨作用情況； 2）分別作出各簡單荷載單獨作用下梁的剪力圖和彎矩圖。（各圖已知或容易畫出，可查表51） 3）疊加各內力圖上對應的縱坐標代數(shù)值，得原梁的內力圖。 疊加原理適用條件：參數(shù)與荷載成線性關系。即各種荷載對結構產生的效應（即各參數(shù)）彼此獨立。 對靜定結構，小變形假設可保證這一點。 注意：疊加不是圖形的拼合，而是將同一截面上的內力值代數(shù)相加；是各簡單荷載下的內力圖在對應點的縱坐標相加。返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小結例310 用疊加法作圖所示外伸梁的 M 圖。解解：1）先分解荷載為P1、P2單獨作用情況； 2）分別作出各荷載單獨作用下梁的彎矩圖

21、； 如圖 a 3）疊加各控制截面各彎矩圖上的縱坐標得梁的彎矩圖。如圖d返回 下一張 上一張 小結返回 下一張 上一張 小結 三、區(qū)段疊加法作梁彎矩圖(適用于復雜荷載作用下結構的彎矩圖。) 梁中取出的任意梁段都可看作是簡支梁，用疊加法作簡支梁的彎矩圖即梁段的彎矩圖。 梁段中的極值的求法： 1.列剪力方程； 2.令剪力方程為零，確定X坐標； 3.將X截面各M圖的縱坐標疊加。 ;2BDCDBCBCLLPLMM返回 下一張 上一張 小結 因為M極值未必是最大值，且一般極值與跨中截面的彎矩值較接近，故結構內力計算時多求梁段中 點彎矩，而不求極值，以簡化計算。返回 下一張 上一張 小結第五節(jié) 其它桿件的內

22、力分析 一、拉壓桿(沿軸線縱向力作用） 內力：軸力N， 軸力的符號規(guī)定：拉為正，壓為負。;iNPN 二、扭轉圓軸（橫截面內力偶作用）返回 下一張 上一張 小結 1、扭矩 ： 用截面法求內力。 軸力圖的規(guī)定：正值的軸力圖畫在軸上側，負值在軸下側。 1）截開；2）代替；3）平衡。扭矩限制軸段轉動的內力偶。扭矩單位：;,mkNmN., 0, 0knknxMMMMM扭矩的符號規(guī)定：按右手螺旋法則， 順時針為正，逆時針為負。 二、功率、轉速與扭矩之間的關系作用在傳動輪上的外力偶矩通常需由軸的功率和轉速換算。 設皮帶輪處的力偶矩為MK (單位：Nm) 軸轉動一分鐘時力偶矩MK所作的功為：則皮帶輪每分鐘所作

23、的功為： 機器的功率為T(單位：千瓦；1KW 當于每秒鐘作1000Nm的功）；或功率為N(單位：馬力；1PS=735.5 Nm/s); 軸每分鐘轉速為n(單位：r/min)；)(min)/()(9550.260000mNrnKWTnTMK)(60000mNTWKMnW.2或：)(min)/()(70207024mNrnPSNnNMK返回 下一張 上一張 小結, WW 例3-11、試作圖示機器傳動軸的扭矩圖。已知軸的轉速 ，主 動輪1 的功率 ，三個從動輪2、3、4的功率 分別為 。, WWPSN5001;1502PSN PSNPSN200;15043求外力偶矩：（2）計算扭矩：根據(jù)平衡條件：與

24、軸轉向一致mKNm.70.1130050002. 71mKNmm.51. 330015002. 732mKNm.406830020002. 74021mMnmKNmMn.51. 321 0 xMmKNmmMn.02. 7322043mMnmKNmMn.68. 443mKNMn.02.7max （3）確定最大值： 在31軸段。返回 下一張 上一張 小結0322mmMn3、 組合變形桿件的內力：（將外力向沿桿軸和垂直桿軸的對稱軸方向分解，再由平衡條件確定內力。） （1）斜彎曲 （雙向平面彎曲）： 兩分力Py,Pz分別引起沿鉛垂面和水平面的平面彎曲。略去剪力作用，則x截面的彎矩方程為：.sinsin

25、)(MxPxPxMzy;coscos)(MxPxPxMyz 例3-12 作圖示懸臂梁的彎矩圖。.2,/5kNPmkNq;1025212122maxmkNqlMz.422maxmkNPlMy返回 下一張 上一張 小結 （2）拉伸（壓縮）與彎曲的組合：兩分力Px、Py產生沿軸線方向的拉伸（壓縮）和鉛垂面內的平面彎曲變形。X截面的內力方程為：;sin)(PPxNx.cos)(xPxPxMyz 例3-13 簡易吊車如圖，作橫梁內力圖。 解：1）作橫梁內力圖，求拉桿作用力： 2）求內力：;8 .1285 . 25 . 15 . 2kNYB;408 .128 . 05 . 2kNXB;12kNXNBx.1

26、25 . 15 . 25 . 15 . 28 .12mkNMB3）作內力圖：返回 下一張 上一張 小結（3）偏心壓縮（拉伸）： 偏心力P平移后所得力P和附加力偶M使桿件產生軸向壓縮（拉伸）和純彎曲的組合變形。;yzPeMPN.zyPeM例3-14 廠房牛腿柱如圖，已知橫梁傳來軸向力P1=100kN,吊車梁傳來偏心力P2=30kN,偏心距e=0.2m。求作其內力圖。 解：;130)30100()(21kNPPN.62 . 0302mkNePM返回 下一張 上一張 小結4）彎曲與扭轉的組合：皮帶輪緊邊受力T大于松邊t，向軸線平移所得P和附加力偶Mk使軸產生鉛垂面彎曲和扭轉的組合變形。;)()(xTtPxxM;2)(DtTMk例3-15 卷揚機工作時受搖把上推力P和吊裝勿重量Q共同作用。設橫軸勻速轉動，不考慮軸承摩擦，試作其內力圖。 解：鉛垂面內重力Q使軸產生彎曲變形，跨中截面最大彎矩為QL/4; 力P,Q均未通過軸線，分別產生力偶矩MxA=Pa和MxB=QL,AC軸段扭矩Mx=Pa=QL;分別作彎矩