大學(xué)數(shù)學(xué)：ch7-2 線性微分方程組

1、2013年6月8日一階線性微分方程組線性線性微分方程組基本知識(shí)微分方程組基本知識(shí)齊次齊次線性線性微分方程組解的結(jié)構(gòu)微分方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次非齊次線性線性微分方程組解的結(jié)構(gòu)微分方程組解的結(jié)構(gòu)高階高階線性線性微分方程微分方程預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)1 向量值函數(shù)和矩陣函數(shù)的有關(guān)定義向量值函數(shù)和矩陣函數(shù)的有關(guān)定義(1)(1)n維一元向量值維一元向量值函數(shù)函數(shù)定義為定義為12( )( )( )( )nx tx tx tx t( )(1,2, )ix tinI 每每一一在在區(qū)區(qū)間間 上上有有定定義義. .( )n nA t 矩陣函數(shù)定義為1112122122212( )( )( )( )( )(

2、 )( )( )( )( )nnnnnatatatatatatA tatatat( )ija t每一在I上有定義.(2 ) 向量值函數(shù)和矩陣函數(shù)的連續(xù)向量值函數(shù)和矩陣函數(shù)的連續(xù),微分和積分的概念微分和積分的概念( )( )x tA t如如果果向向量量值值函函數(shù)數(shù)或或矩矩陣陣函函數(shù)數(shù)的的每每一一元元素素都都是是區(qū)區(qū)間間,atb 連續(xù)函數(shù)上的( )( ),x tA tatb 連續(xù)則稱(chēng)或在上可微函數(shù)可微函數(shù)可微可積函數(shù)可積函數(shù)可積此時(shí)此時(shí),它們的導(dǎo)數(shù)與積分分別定義為它們的導(dǎo)數(shù)與積分分別定義為12( )( )( ),( )nxtxtx txt111212122212( )( )( )( )( )( )

3、( ).( )( )( )nnnnnnatatatatatatA tatatat000012( )( )( )( )tttttttntx s dsx s dsx s dsx s ds0000000000111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )tttntttttttntttttttnnnntttas dsas dsas dsas dsas dsas dsA s dsas dsas dsas ds注:關(guān)于向量函數(shù)與矩陣函數(shù)的微分,積分運(yùn)算法則,和普通數(shù)值函數(shù)類(lèi)似(seeP.289).2 2 函數(shù)向量值函數(shù)組線性相關(guān)與無(wú)關(guān)函數(shù)向量值函數(shù)組線性相關(guān)與無(wú)關(guān)概念

4、概念與與判定判定1 122( )( )( )0mmc x tc x tc xt證明證明:121,1,cc 取則1 122( )( )c x tc x t(,)t 12( ),( )x tx t故在任何區(qū)間線性相關(guān)故在任何區(qū)間線性相關(guān)例例1證明證明:函數(shù)向量組函數(shù)向量組21cos( )1,tx tt在任何區(qū)間都是線性相關(guān)的在任何區(qū)間都是線性相關(guān)的.221 sin( )1,tx tt22cos(1 sin)1 1tttt00 ,0 證明證明:要使1 12233( )( )( )c x tc x tc x t2331230010ttttteeccecee0例例2 證明:函數(shù)向量組1( )0,ttex

5、 te320( ),1tx te在(- ,+ )上線性無(wú)關(guān).233( ),0ttex te2133230000 ,100ttttteeceectec 則需則需因?yàn)橐驗(yàn)?330010ttttteeeee42te 0,所以所以1230,ccc123( ),( ),( )x tx tx t故故線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).t（2 2）向量值函數(shù)組線性相關(guān)與無(wú)關(guān)的判別準(zhǔn)則）向量值函數(shù)組線性相關(guān)與無(wú)關(guān)的判別準(zhǔn)則natb 設(shè)有 個(gè)定義在上的向量值函數(shù)11211122221212( )( )( )( )( )( )( ),( ),( )( )( )( )nnnnnnnxtxtxtxtxtxtx tx tx txtxtx

6、t由這由這n個(gè)向量值函數(shù)所構(gòu)成的行列式個(gè)向量值函數(shù)所構(gòu)成的行列式11211122221212( )( )( )( )( )( )( ),( ),( )( ),( )( )( )nnnnnnnxtxtxtxtxtxtW x tx tx tW txtxtxt稱(chēng)為這稱(chēng)為這n個(gè)向量值函數(shù)所構(gòu)成的個(gè)向量值函數(shù)所構(gòu)成的Wronski行列式行列式線性代數(shù)中的一個(gè)熟知的事實(shí)：線性代數(shù)中的一個(gè)熟知的事實(shí)：nRn空間中 個(gè)向量11211122221212,nnnnnnnaaaaaaaaaaaa線性相關(guān)線性相關(guān)1121112222120nnnnnnaaaaaaaaa由此立即得到由此立即得到(ii)定理定理112(

7、),( ),( ),( )0,.nx tx tx tatbW tatb 如果向量值函數(shù)在上線性相關(guān) 則它們的Wronski行列式但是此結(jié)論反之未必也成立但是此結(jié)論反之未必也成立反之未必也成立反之未必也成立212( ),( )00ttx tx t 線性無(wú)關(guān)，12( ),( ),( ),( )0,.nx tx tx tatbW tatb 如果向量函數(shù)在上線性相關(guān) 則它們的Wronski行列式(ii)定理定理112 ( ),( )0W x t x t一階一階線性線性微分方程組的有關(guān)概念微分方程組的有關(guān)概念一階微分方程組的一般形式一階微分方程組的一般形式：向量形式向量形式 ,dxf t xdt 回顧：

8、回顧： 1112221212,nnnnndxft x xxdtdxft x xxdtdxft x xxdt （1.6）( , )nnf a bDRRR ：（1.7）1 線性微分方程組的定義線性微分方程組的定義定義定義形如形如111112211( )( )( )( )nnxat xat xat xf t221122222( )( )( )( )nnxat xat xat xf t1122( )( )( )( )nnnnnnnxat xat xat xf t的微分方程組的微分方程組,稱(chēng)為稱(chēng)為一階線性微分方程組一階線性微分方程組.( )( , , 1,2, ),( )(1,2, )ijia t i

9、jnf t inatb 其中在上連續(xù).特點(diǎn)：特點(diǎn)：關(guān)于未知函數(shù)關(guān)于未知函數(shù)xi均是一次的！均是一次的！1( )( )(1,2, )niijjijxa t xf tin111112211( )( )( )( )nnxat xat xat xf t221122222( )( )( )( )nnxat xat xat xf t1122( )( )( )( )nnnnnnnxat xat xat xf t(1)2 一階線性微分方程組的向量表示一階線性微分方程組的向量表示對(duì)一階線性微分方程組對(duì)一階線性微分方程組:( )( ),ijn nA ta t若記12( ,) ,Tnxx xx12( )( ),(

10、),( )Tnf tf tf tf t則則(1)可寫(xiě)成可寫(xiě)成( )( ) (1)dxA t xf tdt See286( )( ) (1)dxA t xf tdt 12( ,)( )( ),inijjf t xxxatC Gx 例例1驗(yàn)證向量( )ttex te是初值問(wèn)題011,(0)101xxx .t 在區(qū)間上的解一階線性微分方程組的一般理論一階線性微分方程組的一般理論一、齊次線性微分方程組一、齊次線性微分方程組二、非齊次線性微分方程組二、非齊次線性微分方程組三、高階線性微分方程三、高階線性微分方程( )( ), (1)dxA t xf tdt( )( ),A tf tatb 這里和在上連續(xù)

11、這里和在上連續(xù)一階線性微分方程組一階線性微分方程組:( )0,(1)f t 若則變?yōu)槿魟t變?yōu)? ) ,(2)dxA t xdt稱(chēng)稱(chēng)(1)為一階為一階齊次線性微分方程組齊次線性微分方程組.( )0,(1)f t 若若則則稱(chēng)稱(chēng)為為非齊次線性微分方程組非齊次線性微分方程組.( ) , (2)dxA t xdt1 1 解的性質(zhì)解的性質(zhì)See286（4 4）疊加原理）疊加原理定理定理2證明證明:( )(1,2,)(2)ix timm 由由于于是是方方程程組組的的個(gè)個(gè)解解則有則有( )( )( ),1,2,iidx tA t x timdt 所以所以1( )miiic x tddt1( )miiidx t

12、cdt( ) ( )iA t x t1( )( )miiic x tA t1miic( ) , (2)dxA t xdt12112212( ),( ),( )(2),( )( )( )(2),.mmmmx tx txtmc x tc x tc xtc cc如如果果是是方方程程組組的的 個(gè)個(gè)解解則則它它們們的的線線性性組組合合 也也是是方方程程組組的的解解 這這里里是是任任常常數(shù)數(shù)12( ),( ),( )nxtxtxt 2 2 解解線線性性相相關(guān)關(guān)性性判判定定12( ),( ),( )nx tx txt微微分分方方程程組組(2)(2)的的n n個(gè)個(gè)解解線線性性相相關(guān)關(guān)00 , ,( )0.ta

13、 bW t使使得得定理定理3由此立即得，由此立即得，( )0,.W tatb00 , ,( )0ta bW t若若使使得得12( ),( ),( )nnx tx txt即即(2)(2)的的 個(gè)個(gè)解解所所構(gòu)構(gòu)成成的的WronskyWronsky行行列列式式, ,或或者者, ,或或者者恒恒等等于于零零恒恒不不等等于于零零. .注注1:12( ),( ),( )nx tx txt(2)(2)的的n n個(gè)個(gè)解解線線性性相相關(guān)關(guān)( )0,.W tatb注注2:12( ),( ),( )nx tx txt(2)(2)的的n n個(gè)個(gè)解解線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)( )0,.W tatb只需證充分性！只需證充分性！證明

14、證明:00 , ,( )0,ta bW t若使得則10200( ),( ),( )nx tx tx t數(shù)值向量組線性相關(guān),12,nc cc 從而存在不全為零的常數(shù),使得1 102200( )( )( )0,(3)nnc x tc x tc x t現(xiàn)在考慮向量值函數(shù)1 122( )( )( )( )nnx tc x tc x tc x t由由定理定理2知知,( )(2),x t是的解0( )0 x t由（由（3）有）有( )x t即解滿(mǎn)足初始條件0( )0 x t因此因此,由解的存在唯一性定理知由解的存在唯一性定理知,( )0 x t 即有即有1 122( )( )( )0,nnc x tc x

15、 tc x tatb 12( ),( ),( )nx tx tx tatb 故解組在上線性相關(guān)。微分方程組微分方程組(2) 的全體解構(gòu)成的全體解構(gòu)成n維線性空間維線性空間.( ) , (2)dxA t xdt 定理4（書(shū)上定理2.2）微分方程組微分方程組(2)一定存在一定存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，且微分方程組且微分方程組(2) 的任意解可表示為該的任意解可表示為該n個(gè)線性無(wú)關(guān)解個(gè)線性無(wú)關(guān)解的線性組合的線性組合.3 通解結(jié)構(gòu)及基本解組通解結(jié)構(gòu)及基本解組證明證明:0 , ,ta b 任任取取由解的存在唯一性定理知由解的存在唯一性定理知,微分方程組微分方程組(2)一定存在滿(mǎn)足初始條件一定

16、存在滿(mǎn)足初始條件10200100010( ),( ),( )001nx tx tx t 12( ),( ),( ); , nx tx txtta b 的的解解且且010200( )( ),( ),( )10nW tW x tx txt12( ),( ),( )nx tx txtatb故故在在上上線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān). .( ) , (2)dxA t xdt( )(2)x t 設(shè)設(shè)是是的的任任一一解解, ,00( ),x tx 且且12( ),( ),( )nx tx txtn因因是是（2 ）2 ）的的 個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的解解, ,從而可知從而可知10200( ),( ),( )nx tx t

17、xt數(shù)數(shù)值值向向量量組組線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān), ,( ) , (2)dxA t xdt以下證明定理以下證明定理4的第二部分的第二部分即它們構(gòu)成即它們構(gòu)成n維線性空間維線性空間Rn的基的基,00( ),x tx 故故對(duì)對(duì)向向量量12,nc cc一一定定存存在在唯唯一一確確定定常常數(shù)數(shù)滿(mǎn)滿(mǎn)足足01 102200( )( )( )( ),nnx tc x tc x tc x t現(xiàn)在考慮函數(shù)向量現(xiàn)在考慮函數(shù)向量1 122( )( )( )( )nnx tc x tc x tc x t由定理由定理2知知,( )(2),x t是的解由上式知由上式知,( )x t該解滿(mǎn)足初始條件000( )( )x tx tx

18、因此因此,由解的存在由解的存在唯一性唯一性定理定理,應(yīng)有應(yīng)有( )( )x tx t即1 122( )( )( )( )nnx tc x tc x tc x t推論推論1 方程組方程組(2)的線性無(wú)關(guān)解的最大個(gè)數(shù)等于的線性無(wú)關(guān)解的最大個(gè)數(shù)等于n.定義（基本解組）定義（基本解組）:12( ),( ),( )nx tx txt方方程程組組(2)(2)的的n n個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特解解稱(chēng)為方程組稱(chēng)為方程組(2)的一個(gè)的一個(gè)基本解組基本解組.( ) , (2)dxA t xdt注注1:微分方程組微分方程組(2)的基本解組不唯一的基本解組不唯一.注注2: 微分方程組微分方程組(2)的所有解所成的

19、集合構(gòu)成一個(gè)的所有解所成的集合構(gòu)成一個(gè)n維線性空間維線性空間.4 基解矩陣及性質(zhì)基解矩陣及性質(zhì)定義定義基解矩陣基解矩陣- 以基本解組為列構(gòu)成的矩陣以基本解組為列構(gòu)成的矩陣.12( ),( ),( )( )nx tx txtX t以以(2)(2)的的基基本本解解組組為為列列構(gòu)構(gòu)成成的的矩矩陣陣, ,用用表表示示, ,即即112111222212( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnxtxtxtxtxtxtxtxtxt ( ) , (2)dxA t xdt(2),nn 如如果果一一個(gè)個(gè)矩矩陣陣的的每每一一列列都都是是微微分分方方程程組組的的解解則稱(chēng)這個(gè)矩陣為微分方程組則

20、稱(chēng)這個(gè)矩陣為微分方程組(2)的的解矩陣解矩陣.12( )( )( )( )nX tx t x txt 定理1(2)( ),( )(2),X tx t 一一定定存存在在一一個(gè)個(gè)基基解解矩矩陣陣如如果果是是的的任任一一解解 那那么么( )( )x tX t C 1212(,),TnnCc ccc cc 這這里里，其其中中的的任任意意常常數(shù)數(shù)。1122( )( )( )(,)(,)nTnX tx t x txxttCc cc 1122( )( )( )nnc x tc x tc xt定理2( )X t(2)(2)的的解解矩矩陣陣是是基基解解矩矩陣陣充充要要條條件件是是: :00det( )0(),

21、, ,det( )0,det( )0,.X tatbta bX tX tatb而且 如果對(duì)某一而且 如果對(duì)某一則則( ) , (2)dxA t xdt-通解通解注注: :nnX 矩矩陣陣 (t)(t)是是(2)(2)的的基基解解矩矩陣陣充充要要條條件件是是: :( )( )( ),;dX tA t X t atbdt00 , det( )0.ta bX t且使且使seeP290,10 推論1推論1( )(2),( ).X tatbBnnX t Batb 如如果果是是方方程程組組在在上上的的基基解解矩矩陣陣是是非非奇奇異異常常數(shù)數(shù)矩矩陣陣 那那么么也也是是在在區(qū)區(qū)間間上上的的基基解解矩矩陣陣se

22、eP290,20 推論2推論2*( ),( )(2),( )( ) .X tXtatbnnBatbXtX t B 如如果果是是在在上上兩兩個(gè)個(gè)基基解解矩矩陣陣 那那么么 存存在在一一個(gè)個(gè)非非奇奇異異常常數(shù)數(shù)矩矩陣陣使使得得在在區(qū)區(qū)間間上上 有有seeP290,30例例3驗(yàn)證驗(yàn)證( )0ttteteX te是方程組是方程組1101dxxdt 的基解矩陣，的基解矩陣，解解:由于由于(1)( )0tttee tdX tdte 1101 0tttetee1101 ( )X tX故 (t)是解矩陣,故 (t)是解矩陣,又由于又由于det( )0ttteteX te 20te( )X t所以是基解矩陣.所

23、以是基解矩陣.12( )( )x txx t 其其中中例例4驗(yàn)證驗(yàn)證33( )tttteeX tee是方程組是方程組2112dxxdt的基解矩陣的基解矩陣,并求其通解并求其通解.解解:( ),( )( ),x tx tX t1212分別用表示矩陣的第一 二列,即分別用表示矩陣的第一 二列,即33( ),( ),tttteex tx tee121( )ttex te2112ttee2112( )x t13233( )3ttex te211233ttee2112( )x t2( ),( ),x tx t12因此是方程組的解( ),X t即為解矩陣又由于33det( )tttteeX tee42te

24、0X故 (t)是基解矩陣,其通解為( )xX t C3132ttttceecee312312ttttc ec ec ec e 推論1推論1( )(2),( ).X tatbBnnX t Batb 如如果果是是方方程程組組在在基基解解矩矩陣陣是是非非奇奇異異常常數(shù)數(shù)矩矩陣陣 那那么么也也是是在在區(qū)區(qū)間間上上的的基基解解矩矩陣陣X由由于于(2)(2)的的基基解解矩矩陣陣 (t)(t)滿(mǎn)滿(mǎn)足足證明證明:( )( )( ),;dX tA t X tatbdt*( )( ) ,;XtX t Batb令則令則*)(dXtBdXdttdt ( )( )A t X t B *( )( )A t Xt *X故故

25、(t)(t)為為(2)(2)的的解解矩矩陣陣, ,又由B的非奇異性又由B的非奇異性*detdet( )det0,XX tBatb ( (t t) )( ) , (2)dxA t xdt*,( )( )(2).XtX t B因此因此即是的即是的基基解解矩矩陣陣seeP290,20 推論2推論2*( ),( )(2),( )( ) .X tXtatbnnBatbXtX t B 如如果果是是在在上上兩兩個(gè)個(gè)基基解解矩矩陣陣 那那么么 存存在在一一個(gè)個(gè)非非奇奇異異常常數(shù)數(shù)矩矩陣陣使使得得在在區(qū)區(qū)間間上上 有有證明證明:( )X t由于是基解矩陣,由于是基解矩陣,12( )( )( )( )nX tx

26、t x txt ( )2ix t 均均是是（ ）的的解解*( )Xt又也是基解矩陣,又也是基解矩陣,*,( )( )niiibRx tXt b 必必(1,2,., )in *12( )( )(,)( )nX tXt b bbXt B 12(,)nBb bb *det( )det( ) detdet( )0X tXtBX t det0B 故故*det( ) det0XtBseeP290,30另證另證:( )X t由于是基解矩陣,由于是基解矩陣,1( )Xt 故其逆矩陣存在,故其逆矩陣存在,1*( )( )( ),Xt Xtt 令令*( )( )( , )XtX tt即即( ),tnn則是可微矩陣

27、 且則是可微矩陣 且 det( )0,;tatb于是有于是有*( )( )( )dXA t Xtttd( )( )( )( )dX tdttX tdtdt( )( )( )( )( ).dtA t X ttX tdt*( )( )( )( ),;dtA t XtX tatbdt 由此可得由此可得( )( )0,dtX tdt( )0,;dtatbdt 即( ),tnnB故為常數(shù)矩陣且非奇異 記作故為常數(shù)矩陣且非奇異 記作即有即有*( )( ) ,XtX t B 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 一階線性方程一階線性方程( )( )yP x yQ x 通解通解:xexQexxPxxPd)(d)(d)( ) dPxxy

28、C e 非齊次方程特解非齊次方程特解齊次方程通解齊次方程通解Yy常數(shù)變易法常數(shù)變易法常數(shù)變易法常數(shù)變易法: ( )( )yp x yQ x 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解: ( )YCyx ( )d( )p xxyxe 設(shè)非齊次方程的解為設(shè)非齊次方程的解為 *( )yyx 代入原方程確定代入原方程確定 ( ).C x( )C x解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)111112211( )( )( )( )nnxat xat xat xf t221122222( )( )( )( )nnxat xat xat xf t1122( )( )( )( )nnnnnnnxat xat xat xf t(1)( )(

29、 ),ijn nA ta t若記12( )( ),( ),( )Tnf tf tf tf t則(1)可寫(xiě)成( )( ) (1)dxA t xf tdt ( ),( )A tatbnnf tatbn 這里是上已知的連續(xù)矩陣這里是上已知的連續(xù)矩陣是上已知 維連續(xù)列向量.是上已知 維連續(xù)列向量.1 非齊線性微分方程組解的性質(zhì)非齊線性微分方程組解的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1*( )(1),( )(1)(2),( )( )(1).x tx tx tx t 如如果果是是的的解解 而而是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊線線性性方方程程組組的的解解 則則是是的的解解性質(zhì)性質(zhì)2*1212( ),( )(1),( )( )(2).xtxt

30、xtxt 如如果果是是的的兩兩個(gè)個(gè)解解 則則是是的的解解( ) , (2)dxA t xdt( )( ) (1)dxA t xf tdt 性質(zhì)性質(zhì)3121( )( )( )( );( )( )( )( )mjjjf tf tftftx tdxA t xftxx tdt m mj j設(shè)且是方程組設(shè)且是方程組= =的解,則 =是方程組(1)的解.的解,則 =是方程組(1)的解.2 通解結(jié)構(gòu)定理通解結(jié)構(gòu)定理定理定理2.4*( )(1),(1)( )Xx tx t 設(shè)設(shè) (t)(t)是是(2)(2)的的基基解解矩矩陣陣, ,而而是是的的任任意意的的特特解解 則則的的通通解解可可表表為為*( )( )(

31、 )x tX t Cx t 證明證明:由性質(zhì)由性質(zhì)2知知,*( )( )(2)x tx t是的解: 再由定理1 得再由定理1 得*( )( )( ) ,x tx tX t C即即*( )( )( ),x tX t Cx t這里這里C是任意常數(shù)的列向量是任意常數(shù)的列向量.( )(1)x t 設(shè)是的任一個(gè)解設(shè)是的任一個(gè)解這里這里C是確定的常數(shù)的列向量是確定的常數(shù)的列向量.(6)所以所以(6)即為即為方程組方程組(1)的通解的通解3 常數(shù)變易公式常數(shù)變易公式( )(2)X t設(shè)是的基解矩陣,則(2)的通解為x tX t C( )= ( ) ,下面尋求下面尋求(1)形如形如*( ) ( )X t C

32、tx = =(t)(t)的解的解,把它代入把它代入(1),得得( ) ( )( )( )( )( ) ()(X t C tX t C tXftttCAt( )( )( ),X tA t X t( )(2)X t由于是的基解矩陣,故一階線性微分方程組的常數(shù)變易公式一階線性微分方程組的常數(shù)變易公式其中其中C是任意常數(shù)的列向量是任意常數(shù)的列向量.( )( ) (1)dxA t xf tdt ( ) , (2)dxA t xdt從而從而1( )( ) ( )C tXt f t00,( )0ttC t對(duì)上面方程從 到 積分 并取得010( )( ) ( ), , ,ttC tXfdt ta b可驗(yàn)證可驗(yàn)

33、證(7)是方程組是方程組(1)滿(mǎn)足初始條件滿(mǎn)足初始條件*0( )0 x t 的特解的特解.XCf(t) (t)= (t)( )C t因此滿(mǎn)足下面方程因此可得因此可得0*10( )( )( ) ( ), , ,(7)ttx tX tXfdt ta b定理定理2.5( )(2)X t如果是的基解矩陣,則 向量函數(shù)向量函數(shù)0*1( )( )( ) ( ),ttx tX tXfd是線性方程組是線性方程組(1)的解的解,且滿(mǎn)足初始條件且滿(mǎn)足初始條件*0( )0 x t 方程組方程組(1)的通解為的通解為01( )( )( )( ) ( ).ttx tX t CX tXs f s ds注注1:0(1)(

34、)x t滿(mǎn)足初始條件的解為,0-110( )( )( )( )( ) ( ),(8)ttx tX t XtX tXfd100( )( )( )(2)( )x tX t Xtx t這里是滿(mǎn)足初始條件的解注注2: 公式公式(7)或或(8)稱(chēng)為稱(chēng)為(1)的的常數(shù)變易公式常數(shù)變易公式.10=( )C Xt例例5求方程組求方程組221120texx的通解的通解.33( )tttteeX tee解解: : 由例由例4知知是對(duì)應(yīng)齊次方程的基解矩陣是對(duì)應(yīng)齊次方程的基解矩陣,( )X t求的逆矩陣得1( )X412e3312eeee33eeee由由(7)得方程的特解為得方程的特解為*( )x t33ttttee

35、ee2330120teeedee0*1( )( )( ) ( )ttx tX tXfd332122ttttteeeee3312tttteeee0tede所以所以,原方程的通解為原方程的通解為3321( )( )22ttttteex tX t Ceee3312332121()21(2)2tttttttttc ec eeec ec eeee 33( )tttteeX tee*( )x t2330120teeedee33tttteeee例例6試求初值問(wèn)題試求初值問(wèn)題12111, (0)0110txexxxxx的解.解解: 由例由例3知知( )0ttteteX te是對(duì)應(yīng)齊次方程的基解矩陣是對(duì)應(yīng)齊次方

36、程的基解矩陣,( )X t求的逆矩陣得1( )Xs21se0sssesee101sse故方程滿(mǎn)足初始條件故方程滿(mǎn)足初始條件*1(0)1x的解是的解是-110( )( )(0)( )( ) ( )tx tX t XX tXs f s ds1010110tttetee010100ttststseteeedse(1)tttee2000ttstteteedse(1)tttee1()20ttee1()2ttttteeee1( )Xs101sse小結(jié)小結(jié)1 一階線性微分方程組的向量表示一階線性微分方程組的向量表示( )( ) (1)dxA t xf tdt ( )( ),ijn nA ta t其中12(

37、,) ,Tnxx xx12( )( ),( ),( )Tnf tf tf tf t( )( )A tf tatb 這里和在上連續(xù)。這里和在上連續(xù)。( )0,(1)f t 若則變?yōu)槿魟t變?yōu)? ) ,(2)dxA t xdt稱(chēng)稱(chēng)(2)為一階為一階齊次線性微分方程組齊次線性微分方程組.( )0,(1)f t 若則稱(chēng)為若則稱(chēng)為非齊次線性微分方程組非齊次線性微分方程組.12112212 ( ),( ),( )(2),( )( )( )(2),.mmmmx tx txtc x tc x tc xtc cc如如果果是是方方程程組組的的m m個(gè)個(gè)解解則則它它們們的的線線性性組組合合也也是是方方程程組組的的解解 這這里里是是任任常常數(shù)數(shù)2. 一階一階齊次線性微分方程組的解的性質(zhì)齊次線性微分方程組的解的性質(zhì). ( ) ,(2)dxA t xdt12( ),( ),( )nx tx txt(2)(2)的的n n