D15極限運算法則07843

1、 第一章 二、二、 極限的四則運算法則極限的四則運算法則 三、三、 復(fù)合函數(shù)的極限運算法則復(fù)合函數(shù)的極限運算法則 一一 、無窮小運算法則、無窮小運算法則 第五節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 極限運算法則時, 有,min21一、一、 無窮小運算法則無窮小運算法則定理定理1. 有限個無窮小的和還是無窮小 .證證: 考慮兩個無窮小的和 . 設(shè),0lim0 xx,0lim0 xx,0,01當(dāng)100 xx時 , 有2, 02當(dāng)200 xx時 , 有2取則當(dāng)00 xx22因此.0)(lim0 xx這說明當(dāng)0 xx 時,為無窮小量 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 無限個無限個無窮小之

2、和不一定不一定是無窮小 !例如，例如，機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 類似可證: 有限個有限個無窮小之和仍為無窮小 . 22221231lim2nnnnnn事實上：原式22) 1(limnnnn)11(21limnn21定理定理2 . 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 證證: 設(shè), ),(10 xxmu 又設(shè),0lim0 xx即,0,02當(dāng)),(20 xx時, 有m取,min21則當(dāng)),(0 xx時 , 就有uumm故,0lim0uxx即u是0 xx 時的無窮小 .推論推論 1 . 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .推論推論 2 . 有限個無窮小的乘積是無窮小 .機動 目錄 上頁 下頁 返回

3、 結(jié)束 oyx例例1. 求.sinlimxxx解解: sin1,x01limxx利用定理 2 可知.0sinlimxxxxxysiny = 0 是xxysin的漸近線 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注：注：有界函數(shù)與無窮大的乘積不一定為無窮大！例如，為有界函數(shù)，且但 01limxx ,1( )0,xxf x其它001lim( )lim1.xxxf xxx再如0sinlim1.xxx二、二、 極限的四則運算法則極限的四則運算法則,)(lim,)(limbxgaxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因,)(lim,)(limbxgaxf則有bxgaxf)(,)(

4、其中,為無窮小) 于是)()()()(baxgxf)()(ba由定理 1 可知也是無窮小, 再利用極限與無窮小ba的關(guān)系定理 , 知定理結(jié)論成立 .定理定理 3 . 若機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論推論: 若,)(lim,)(limbxgaxf且),()(xgxf則.ba)()()(xgxfx利用保號性定理證明 .說明說明: 定理 3 可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形 .提示提示: 令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 4 . 若,)(lim,)(limbxgaxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2 證明

5、.說明說明: 定理 4 可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形 .推論推論 1 .)(lim)(limxfcxfc( c 為常數(shù) )推論推論 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù) )例例2. 設(shè) n 次多項式,)(10nnnxaxaaxp試證).()(lim00 xpxpnnxx證證:)(lim0 xpnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xpnba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為無窮小(詳見詳見p44)b2b1)(1xg)(0 xx定理定理 5 . 若,)(lim,)(limbxgaxf且 b0 , 則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證

6、: 因,)(lim,)(limbxgaxf有,)(,)(bxgaxf其中,設(shè)baxgxf)()(baba)(1bb)(ab無窮小有界ba因此由極限與無窮小關(guān)系定理 , 得baxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfbaxgxf)()(為無窮小,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理6 . 若,lim,limbyaxnnnn則有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(時且當(dāng)bynbayxnnnlimbaba提示提示: 因為數(shù)列是一種特殊的函數(shù) , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出結(jié)論 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意：注意：極限的

7、四則運算法則成立的條件為：參與四則運算的各項的極限都存在！ x = 3 時分母為 0 !31lim3xxx例例3. 設(shè)有分式函數(shù),)()()(xqxpxr其中)(, )(xqxp都是多項式 ,0)(0 xq試證: . )()(lim00 xrxrxx證證: )(lim0 xrxx)(lim)(lim00 xqxpxxxx)()(00 xqxp)(0 xr說明說明: 若,0)(0 xq不能直接用商的運算法則 .例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 若機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 約分約分例例5 . 求.4532lim21xxxx解解: x

8、= 1 時3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方法：先求其倒數(shù)的極限。例例6 . 求.125934lim22xxxxx解解: x時,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x則54分母“ 抓大頭抓大頭”原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)：練習(xí)： 求2lim439.xxx一般有如下結(jié)果：一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù) )nmba,0(00mn 當(dāng)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 mn 當(dāng)mn 當(dāng)三、

9、三、 復(fù)合函數(shù)的極限運算法則復(fù)合函數(shù)的極限運算法則定理定理7. 設(shè),)(lim0axxx且 x 滿足100 xx時,)(ax 又,)(limaufau則有 )(lim0 xfxxaufau)(lim機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 1 、 若定理中,)(lim0 xxx則類似可得 )(lim0 xfxxaufu)(lim2 、 本定理說明：求極限時可用變量代換的方法！定理定理7. 設(shè),)(lim0axxx且 x 滿足100 xx時,)(ax 又,)(limaufau則有 )(lim0 xfxxaufau)(lim機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 3、 在 x 的某個

10、領(lǐng)域中 的條件不能少！( ) xa 反例：反例： 設(shè)0( )0,0,uxx,0( )2,0 xxf xx 則0,a 00lim ( )lim (0)2,xxxfxf00lim( )lim( )lim0.uauuf uf uu而例例7. 求求解解: 令.93lim23xxx932xxu則ux3lim61 原式 =uu61lim6166機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 變量代換變量代換例例8 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 則, 1lim1ux令 原式211lim1uuu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分子有理化，即約分！1lim(1)uu 變量代換變量代換內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 極限運算法則(1) 無窮小運算法則(2) 極限四則運算法則(3) 復(fù)合函數(shù)極限運算法則注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法0) 1xx 時, 用代入法