2020與名師對(duì)話兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

1、第三節(jié)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式高考概覽： 1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式； 2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式； 3.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系 知識(shí)梳理 1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)cos()coscossinsin；(2)cos()coscossinsin；(3)sin()sincoscossin；(4)sin()sincoscossin；tantan(5)tan()；1tantantantan(6)tan().1tantan2二倍角公式(1)sin22sin

2、cos；(2)cos2cos2sin22cos2112sin2；2tan(3)tan21tan2.辨識(shí)巧記 四個(gè)必備結(jié)論1(1)降冪公式： cos21cos21cos22，sin22.(2)升冪公式： 1cos22cos2，1cos22sin2.(3)公式變形： tan±tantan(±)(1?tantan)(4)輔助角公式：2b2asinx bcosxasin(x )ba其中 sin a2b2，cosa2b2 雙基自測(cè) 1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角，是任意的 ()(2)存在實(shí)數(shù) ，使等式 sin()s

3、insin成立 ()(3)公式 tantan可以變形為 tantantan(tan()1tantan)(1tantan)，且對(duì)任意角 ，都成立 ()(4)存在實(shí)數(shù) ，使 tan22tan.()答案 (1)(2)(3)×(4)2(2018·全國(guó)卷 )若 sin1，則 cos2()38778A. 9B.9C 9D9解析 21 27cos212sin 12× 39.故選 B.答案 B3(2018·貴陽市高三監(jiān)測(cè) )sin415°cos415°()1133A. 2B 2C. 2D 2解析 sin415° cos415° (

4、sin215° cos215°)(sin215° cos215°)3 sin215°cos215° cos30 ° 2 .故選 D.答案D2104(2019 ·成都市一診 )已知 sin 10 ， 0，2 ，則cos(26)的值為 ()43 3433A.10B.10433334C.10D.10解析 10310sin102cos10sin22sincos2×103106310×10 105，cos212sin2 ×102114，12105524×43333×1故選A.

5、cos6525210.答案 A必修4P137A組T5改編 )已知 cos45 5 (6< <6，則 cos5 3_.解析 5 <<， < <，362643cos 65，sin 65，coscos 66 cos 6cos6sin 6sin64 3 3 1 5× 2 5×234310.3答案 34 310考點(diǎn)一 三角公式的基本應(yīng)用【例 1】11tan)(1)若 sin() ，sin() ，則的值為 (23tan1A 5 B 1 C6 D.6(2)對(duì)于銳角 ，若 sin 3，則 cos 2)123(5243224A. 25B.8C. 8D 25

6、1解析 (1)由題意知 sincoscossin2，sincoscossin15，cossin1sincostan ，所以 sincos12，所以5，即5，312cossintan故選 A.(2)由 為銳角，且 sin 3125，可得4 cos 12 5，則cos 6 cos 12 4cos(12)cos4 42 3222sin 12 sin45× 2 5×2 10，于是 cos 23 2cos 612× 102 21 2425，故選 D. 答案 (1)A(2)D已知條件下的求值問題常先化簡(jiǎn)需求值的式子，再觀察已知條件與所求值的式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手

7、 )，最后將已知條件及其變形代入所求式子，化簡(jiǎn)求值4對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 31若 cos 45，則 sin2()7117A. 25B.5C 5D 25 解析 解法一： cos 24 2cos23217412× 525，且 cos 2 4 cos 22sin2，故選 D.32232解法二：由 cos 45，得2 cos2 sin5，即2(cos3sin)5，兩邊平方得 12(cos2sin22cossin)259，77整理得 2sincos 25，即 sin2 25，故選 D.答案 D2(2019·廣西桂林第一次聯(lián)考)已知cos2x2， ，)2sin xx (0則 tan x)4等于 (

8、11A.3B 3C3 D 3解析由cos2x2得2， ，)， ，2sin xsin2xsin xx (0sinx0 ，x tanx11故選A.4tanx2tan1tanx3.答案 A5考點(diǎn)二三角公式的逆用與變形應(yīng)用【例2】(1)(2019 河·北名師俱樂部模擬)已知 0，4，且72cos21sin 4 4，則()cos 42433A. 3B. 3C.4D.2(2)(2018·浙江紹興諸暨中學(xué)期中)3tan12 °34cos212°2 sin12 °_.7，0，解析 (1)由 sin 4 44 ，30<4<4，cos 4 4.2cos

9、21cos2cos 4 sin 4sin 22 sin 2 4sin 4sin 4 3 2cos 42.故選 D.63sin12 °3cos12 °cos12 °(2)原式2cos24 °sin12 °2 3132sin12 ° 2 cos12 ° 43sin 12°60°cos24°sin24 °sin48 °4 3.答案 (1)D(2)4 3三角函數(shù)公式活用技巧(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式(2)tantan，tantan(或 tantan

10、)，tan()(或 tan()三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和變形使用13(3)注意特殊角的應(yīng)用，當(dāng)式子中出現(xiàn)2，1，2，3等這些數(shù)值時(shí)，一定要考慮引入特殊角，把“值變角 ”構(gòu)造適合公式的形式對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 1在 ABC 中，若 tanAtanBtanAtanB1，則 cosC 的值為()2211A 2B.2C.2D2解析 由 tanAtanBtanAtanB1，可得tanAtanB 1，即 tan(AB) 1，又 AB(0，)，1tanAtanB32所以 AB4 ，則 C4， cosC2.故選 B.7答案 B·河南六市一聯(lián))已知cossin43，則 sin 72 (201965

11、6的值是()232344A 5B.5C.5D 54331解析 由 cos 6 sin 5，可得 2 cos2sinsin4 3334 3 4 3 45，即2sin2 cos5， 3sin 6 5，sin6 5，74sin 6 sin 6 5.故選 D.答案 D考點(diǎn)三 角的變換31【例 3】(1)已知 ，均為銳角，且sin5，tan()3，求 cos的值3(2)(2018 江·西臨川第二中學(xué)月考 ) 已知 cos 63， 求5sin 6 2的值 思路引導(dǎo) (1) 用、表示 求、的三角函數(shù)值 代入公式求解5利用二倍角(2) 用6表示6 2公式求值 解(1)，0，2 ，1從而2<&l

12、t;2.又tan() 3<0，810<<0.sin()10.23 10 cos() 10 .34為銳角，且 sin5，cos5.coscos() coscos()sinsin()4×3103× 109 10.510510505(2)sin62sin232 cos 32cos 2 623 212cos612×313.利用角的變換求三角函數(shù)值的策略(1)當(dāng) “已知角 ”有兩個(gè)時(shí)：一般把 “ 所求角 ”表示為兩個(gè) “已知角 ”的和或差的形式；(2)當(dāng) “已知角 ”有一個(gè)時(shí)：此時(shí)應(yīng)著眼于 “所求角 ”與 “已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把 “

13、所求角 ” 變成 “ 已知角”對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 1已知 ，tan1，則 tan 的值為 ()tan() 133392134A. 3B.2C.4D.5tan tan 3解析 tan 3 tan 31tan tan 3113112.故選 B.11×3答案 B12(2018 ·福建師大附中檢測(cè) )若 sin34，則cos 32()7117A8B 4C.4D.82解析 cos 32cos 3 2227 cos 3 2 12sin3 8.故選 A.答案 A課后跟蹤訓(xùn)練 (二十二 )基礎(chǔ)鞏固練一、選擇題1(2019 ·四川內(nèi)江一模 )sin20 cos40° °c

14、os20 °sin140 °()3311A 2B. 2C2D.2 解 析 sin20 cos40° ° cos20 °sin140 ° sin20 cos40° °3cos20 °sin40 °sin(20 °40°)sin60 ° 2 .故選 B.答案B102(2018 ·陜西榆林二模 )已知cos3cos(2 )，|<，則 sin2sin2()8222A.9B.3C.492D.292解析 coscos因?yàn)?cos(2 )，所以3cos.又|<

15、;，故 sinsinsin2122122423，cos3，所以sin22sincos2×3×39，故選C.答案 C3(2019 ·福建福州期末 ) 3cos15 °4sin215°cos15 °()A.1B.2C1D. 222解 析 3 cos15 ° 4sin215°cos15 °3cos15 °2sin15 ·°2sin15 ·°cos15 °3cos15 °2sin15 sin30°°3cos15 °

16、sin15 °2cos(15 °30°)2，故選 D.答案 D34(2019 ·山東濟(jì)寧期末 )已知 cos 2 32<<2，則 sin 3()A.32 332 36B.6C.63D.636633解析cos 2 sin 3，sin 3 ，2<<0，63163cos3.sin 3 sincos3 cossin33×23× 2 113236.故選 A.答案 A4)5已知 ，tan4 ，那么 sin 4的值為 (233434A. 5B.5 C5 D5解析 解法一：由 tan tan 14，得 4，則 tan 431t

17、an 317227，又 2，所以 cos 10， sin 10 ，所以 sin(4)227 223sincos4cossin4 10×210×2 5，故選 C. 3解法二：由 2，得 44， 4，4 3又 tan 4 3，所以 42，4，3所以 cos 4 5，sin 43 sin 2 4cos 45，故選 C.答案 D二、填空題6已知5 ， ，3，則 sin 的值為 _cos132653212解析 由 cos 13， 2 得 sin1cos 13，12351512 3故 sin 6 sincos6cossin6 13×2 13 ×226.答案 5123

18、261227化簡(jiǎn)： sin22cos_.sin 4解析 2sincos2cos2原式22 sincos2 2cossincos2cos.sincos2答案 2 2cos8已知 cosx3，則 cosxcos x_.6331333解析cosxcos x3 cosx2cosx 2 sinx2cosx 2 sinx3 3cos x6 3×3 1.答案 1三、解答題9已知 tan2.(1)求 tan 4 的值；sin2(2)求sin2sincoscos21的值 解(1)tan tantan44 1tantan421 3.12×1(2)sin2sin2sincoscos21132si

19、ncossin2sincos 2cos21 12sincossin2sincos2cos22tan22×21.2222610(2019 ·河北調(diào)研 )已知 2，且 sin2cos22 .(1)求 cos的值；3若，(2)sin(，求 cos的值)52631 解(1)由 sin2cos22得 1sin2，所以 sin2，因?yàn)?32，所以 cos 2 . 3，所以 cos(2)由題意知 ，2，因?yàn)?sin()254)5，所以 coscos() coscos()sinsin()3412 ×52×3 4 33 5 10 .能力提升練11 (2019 ·

20、廣州市高三第二次綜合測(cè)試)若 ， 為銳角，且2cos 6sin 3 ，則 ()A 3B614C3D6 解析 因?yàn)?，為銳角，所以0<<2，0<<2，則 3<6<6，22 72223< 3 < 6，故 cos 6>0，所以 sin 3>0，即 3 < 3 <，2 5cos 6sin 2 6 sin3sin3，又3<3<6 ，所2以3 3 ，即 3，故選 C.答案 C12·江西宜春豐城中學(xué)段考)已知sinsin 43，(2019352) ，則cos3等于 (2< <03344A. 5B 5C 5D.51333解析 sin 3 sin 2sin 2 cossin 2sin23143cos3 2 sin2cos 5 .31442 sin2cos 5，即 sin 6 5，2cos 3 cos 26 sin 64 5，故選 D.答案D313設(shè) 為銳角，若 cos 6 5，則 sin 12 _.3 解析 為銳角， cos 6 5為正數(shù)，46是銳角， sin 6 5.15sin 12 sin6 4 sin 6 cos4cos 6 sin442322 5×25×2 10.答案 210·湖北百所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考設(shè) 0，)，滿足 6sin 214