高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義+完美數(shù)學(xué)高考指導(dǎo)(一)

1、高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義+ +完美數(shù)學(xué)高考指導(dǎo)完美數(shù)學(xué)高考指導(dǎo)( (一一) )高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義（一）高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義（一）集合及簡(jiǎn)易邏輯一、基礎(chǔ)知識(shí)一、基礎(chǔ)知識(shí)定義 1 一般地，一組確定的、互異的、無(wú)序的對(duì)象的全體構(gòu)成集合，簡(jiǎn)稱集，用大寫(xiě)字母來(lái)表示；集合中的各個(gè)對(duì)象稱為元素，用小寫(xiě)字母來(lái)表示，元素在集合 A 中，稱屬于 A，記為，否則稱不屬于 A，記作。例如，通常用 N，Z，Q，B，Q+分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、正有理數(shù)集，不含任何元素的集合稱為空集，用來(lái)表示。集合分有限集和無(wú)限集兩種。集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來(lái)寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)并用逗號(hào)隔開(kāi)表示集合

2、的方法，如1，2，3；描述法：將集合中的元素的屬性寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。例如有理數(shù)，分別表示有理數(shù)集和正實(shí)數(shù)集。定義 2 子集：對(duì)于兩個(gè)集合 A 及 B，如果集合 A 中的任何一個(gè)元素都是集合 B 中的元素，則 A 叫做 B 的子集，記為，例如。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果 A 是 B 的子集，B 也是 A 的子集，則稱 A 及 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不屬于 A，則 A 叫 B 的真子集。定義 3 交集，定義 4 并集，定義 5 補(bǔ)集，若稱為 A 在 I 中的補(bǔ)集。定義 6 差集，。定義 7 集合記作開(kāi)區(qū)間，集合記作閉區(qū)間，R 記作定理 1 集合的性質(zhì)

3、：對(duì)任意集合 A，B，C，有：（1）（2）；（3）（4）【證明】這里僅證（1）、（3），其余由讀者自己完成。（1）若，則，且或，所以或，即；反之，則或，即且或，即且，即（3）若，則或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有定理 2 加法原理：做一件事有類辦法，第一類辦法中有種不同的方法，第二類辦法中有種不同的方法，第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事一共有種不同的方法。定理 3 乘法原理：做一件事分個(gè)步驟，第一步有種不同的方法，第二步有種不同的方法，第步有種不同的方法，那么完成這件事一共有種不同的方法。二、方法及例題二、方法及例題1利用集合中元素的屬性，檢驗(yàn)元素是否屬于集合。例 1 設(shè)，求證

4、：（1）；（2）；（3）若，則證明（1）因?yàn)?，且，所以?）假設(shè)，則存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇數(shù)或 4 的倍數(shù)，不可能等于，假設(shè)不成立，所以（3）設(shè)，則（因?yàn)椋?利用子集的定義證明集合相等，先證，再證，則 A=B。例 2 設(shè) A，B 是兩個(gè)集合，又設(shè)集合 M 滿足，求集合 M（用 A，B 表示）?！窘狻肯茸C，若，因?yàn)椋?，所以；再證，若，則1）若，則；2）若，則。所以綜上，3分類討論思想的應(yīng)用。例 3 ，若，求【解】依題設(shè)，再由解得或，因?yàn)?，所以，所以，所以?2，所以或 3。因?yàn)?，所以，若，則，即，若，則或，解得綜上所述，或；或。4計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。例 4 集合 A，B，C

5、是 I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集，（1）若，求有序集合對(duì)（A，B）的個(gè)數(shù)；（2）求 I 的非空真子集的個(gè)數(shù)。【解】（1）集合 I 可劃分為三個(gè)不相交的子集；AB，BA，中的每個(gè)元素恰屬于其中一個(gè)子集，10 個(gè)元素共有 310種可能，每一種可能確定一個(gè)滿足條件的集合對(duì)，所以集合對(duì)有 310個(gè)。（2）I 的子集分三類：空集，非空真子集，集合 I 本身，確定一個(gè)子集分十步，第一步，1 或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步，2 也有兩種，第 10 步，0 也有兩種，由乘法原理，子集共有個(gè)，非空真子集有 1022 個(gè)。5配對(duì)方法。例 5 給定集合的個(gè)子集：，滿足任何兩個(gè)子集的交集

6、非空，并且再添加 I 的任何一個(gè)其他子集后將不再具有該性質(zhì)，求的值?！窘狻繉?I 的子集作如下配對(duì)：每個(gè)子集和它的補(bǔ)集為一對(duì)，共得對(duì)，每一對(duì)不能同在這個(gè)子集中，因此，；其次，每一對(duì)中必有一個(gè)在這個(gè)子集中出現(xiàn)，否則，若有一對(duì)子集未出現(xiàn)，設(shè)為 C1A 及 A，并設(shè)，則，從而可以在個(gè)子集中再添加，及已知矛盾，所以。綜上，。6競(jìng)賽常用方法及例問(wèn)題。定理 4 容斥原理；用表示集合 A 的元素個(gè)數(shù)，則，需要 xy 此結(jié)論可以推廣到個(gè)集合的情況，即定義 8 集合的劃分：若，且，則這些子集的全集叫 I的一個(gè)-劃分。定理 5 最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。定理 6 抽屜原理：將個(gè)元素放入個(gè)抽屜，

7、必有一個(gè)抽屜放有不少于個(gè)元素，也必有一個(gè)抽屜放有不多于個(gè)元素；將無(wú)窮多個(gè)元素放入個(gè)抽屜必有一個(gè)抽屜放有無(wú)窮多個(gè)元素。例 6 求 1，2，3，100 中不能被 2，3，5 整除的數(shù)的個(gè)數(shù)?！窘狻坑洠扇莩庠?，所以不能被 2，3，5 整除的數(shù)有個(gè)。例 7 S 是集合1，2，2004的子集，S 中的任意兩個(gè)數(shù)的差不等于 4 或 7，問(wèn) S 中最多含有多少個(gè)元素？【解】將任意連續(xù)的 11 個(gè)整數(shù)排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個(gè)數(shù)至多有一個(gè)屬于 S，將這 11個(gè)數(shù)按連續(xù)兩個(gè)為一組，分成 6 組，其中一組只有一個(gè)數(shù)，若 S 含有這 11 個(gè)數(shù)中至少 6 個(gè)，則必有兩個(gè)數(shù)在同一組，及已知矛盾，

8、所以 S 至多含有其中 5 個(gè)數(shù)。又因?yàn)?2004=18211+2，所以 S 一共至多含有 1825+2=912 個(gè)元素，另一方面，當(dāng)時(shí)，恰有，且 S 滿足題目條件，所以最少含有 912 個(gè)元素。例 8 求所有自然數(shù)，使得存在實(shí)數(shù)滿足：【解】 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。下證當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件。令，則所以必存在某兩個(gè)下標(biāo)，使得，所以或，即，所以或，。（）若，考慮，有或，即，設(shè)，則，導(dǎo)致矛盾，故只有考慮，有或，即，設(shè)，則，推出矛盾，設(shè)，則，又推出矛盾，所以故當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。（）若，考慮，有或，即，這時(shí)，推出矛盾，故?？紤]，有或，即=3，于是，矛盾。因此，所以，這又矛盾，所以只有，所以。

9、故當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。例 9 設(shè) A=1，2，3，4，5，6，B=7，8，9，n，在 A 中取三個(gè)數(shù)，B 中取兩個(gè)數(shù)組成五個(gè)元素的集合，求的最小值?！窘狻吭O(shè) B 中每個(gè)數(shù)在所有中最多重復(fù)出現(xiàn)次，則必有。若不然，數(shù)出現(xiàn)次（），則在出現(xiàn)的所有中，至少有一個(gè) A 中的數(shù)出現(xiàn) 3 次，不妨設(shè)它是 1，就有集合1，其中，為滿足題意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6 這 5 個(gè)數(shù)，這不可能，所以20 個(gè)中，B 中的數(shù)有 40 個(gè)，因此至少是 10 個(gè)不同的，所以。當(dāng)時(shí)，如下 20 個(gè)集合滿足要求：1，2，3，7，8， 1，2，4，12，14， 1，2，5，15，16， 1，2，6，9，

10、10，1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14， 1，3，6，12，15， 1，4，5，7，9，1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11， 2，3，4，13，15， 2，3，5，9，11，2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10， 2，4，6，7，11， 2，5，6，12，13，3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9， 3，5，6，7，10， 4，5，6，14，15。例 10 集合1，2，3n可以劃分成個(gè)互不相交的三元集合，其中，求滿足條件的最小正整數(shù)【解】設(shè)其中第 個(gè)三元集為則 1+2+所以。當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，所以，當(dāng)時(shí)，集合1，11，4，2，1

11、3，5，3，15，6，9，12，7，10，14，8滿足條件，所以的最小值為 5。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1給定三元集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_。2若集合中只有一個(gè)元素，則=_。3集合的非空真子集有_個(gè)。4已知集合，若，則由滿足條件的實(shí)數(shù)組成的集合P=_。5已知，且，則常數(shù)的取值范圍是_。6若非空集合 S 滿足，且若，則，那么符合要求的集合 S 有_個(gè)。7集合之間的關(guān)系是_。8若集合，其中，且，若，則 A 中元素之和是_。9集合，且，則滿足條件的值構(gòu)成的集合為_(kāi)。10集合，則_。11已知 S 是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，且滿足 1）若，則。如果，S 中至少含有多少個(gè)元素？說(shuō)明理由。12已知，又 C 為

12、單元素集合，求實(shí)數(shù)的取值范圍。四、高考水平訓(xùn)練題四、高考水平訓(xùn)練題1已知集合，且 A=B，則_，_。 2，則_。3已知集合，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是_。4若實(shí)數(shù)為常數(shù)，且_。5集合，若，則_。6集合，則中的最小元素是_。7集合，且 A=B，則_。8已知集合，且，則的取值范圍是_。9設(shè)集合，問(wèn)：是否存在，使得，并證明你的結(jié)論。10集合 A 和 B 各含有 12 個(gè)元素，含有 4 個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下列條件的集合 C 的個(gè)數(shù)：1）且 C 中含有 3 個(gè)元素；2）。11判斷以下命題是否正確：設(shè) A，B 是平面上兩個(gè)點(diǎn)集，若對(duì)任何，都有，則必有，證明你的結(jié)論。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練

13、題1已知集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_。2集合的子集 B 滿足：對(duì)任意的，則集合 B 中元素個(gè)數(shù)的最大值是_。3已知集合，其中，且，若 P=Q，則實(shí)數(shù)_。4已知集合，若是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則_。5集合，集合，則集合 M及 N 的關(guān)系是_。6設(shè)集合，集合 A 滿足：，且當(dāng)時(shí)，則 A 中元素最多有_個(gè)。7非空集合，則使成立的所有的集合是_。8已知集合 A，B，aC（不必相異）的并集,則滿足條件的有序三元組（A，B，C）個(gè)數(shù)是_。9已知集合，問(wèn)：當(dāng)取何值時(shí)，為恰有 2 個(gè)元素的集合？說(shuō)明理由，若改為 3 個(gè)元素集合，結(jié)論如何？10求集合 B 和 C，使得，并且 C 的元素乘積等于 B 的

14、元素和。11S 是 Q 的子集且滿足：若，則恰有一個(gè)成立，并且若，則，試確定集合 S。12集合 S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的若干個(gè)五元子集滿足：S 中的任何兩個(gè)元素至多出現(xiàn)在兩個(gè)不同的五元子集中，問(wèn)：至多有多少個(gè)五元子集？六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1是三個(gè)非空整數(shù)集，已知對(duì)于 1，2，3 的任意一個(gè)排列，如果，則。求證：中必有兩個(gè)相等。2求證：集合1，2，1989可以劃分為 117 個(gè)互不相交的子集，使得（1）每個(gè)恰有 17 個(gè)元素；（2）每個(gè)中各元素之和相同。3某人寫(xiě)了封信，同時(shí)寫(xiě)了個(gè)信封，然后將信任意裝入信封，問(wèn)：每封信都裝錯(cuò)的情況有多少種？4設(shè)是 20

15、個(gè)兩兩不同的整數(shù)，且整合中有 201 個(gè)不同的元素，求集合中不同元素個(gè)數(shù)的最小可能值。5設(shè) S 是由個(gè)人組成的集合。求證：其中必定有兩個(gè)人，他們的公共朋友的個(gè)數(shù)為偶數(shù)。6對(duì)于整數(shù)，求出最小的整數(shù)，使得對(duì)于任何正整數(shù)，集合的任一個(gè)元子集中，均有至少 3 個(gè)兩兩互質(zhì)的元素。7設(shè)集合 S=1，2，50，求最小自然數(shù)，使 S 的任意一個(gè)元子集中都存在兩個(gè)不同的數(shù) a 和 b，滿足。8集合，試作出 X 的三元子集族&，滿足：（1）X 的任意一個(gè)二元子集至少被族&中的一個(gè)三元子集包含；（2）。9設(shè)集合，求最小的正整數(shù)，使得對(duì) A 的任意一個(gè) 14-分劃，一定存在某個(gè)集合，在中有兩個(gè)元素 a

16、 和 b 滿足。高中數(shù)學(xué)精神講義（二）高中數(shù)學(xué)精神講義（二）二次函數(shù)及命題二次函數(shù)及命題一、基礎(chǔ)知識(shí)一、基礎(chǔ)知識(shí)1二次函數(shù)：當(dāng)0 時(shí)，y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 稱為關(guān)于 x 的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為直線 x=-，另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中 x0=-，下同。2二次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng) a0 時(shí)，f(x)的圖象開(kāi)口向上，在區(qū)間（-，x0上隨自變量 x 增大函數(shù)值減?。ê?jiǎn)稱遞減），在x0, -）上隨自變量增大函數(shù)值增大（簡(jiǎn)稱遞增）。當(dāng) a0 時(shí)，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0和不等式 ax2+bx+c0及 ax2+bx+c0 時(shí)，方程

17、有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè) x1,x2(x1x2)，不等式和不等式的解集分別是x|xx2和x|x1xx2，二次函數(shù) f(x)圖象及 x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，f(x)還可寫(xiě)成 f(x)=a(x-x1)(x-x2).2）當(dāng)=0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根 x1=x2=x0=,不等式和不等式的解集分別是x|x和空集，f(x)的圖象及 x 軸有唯一公共點(diǎn)。3）當(dāng)0 時(shí)，方程無(wú)解，不等式和不等式的解集分別是 R 和.f(x)圖象及 x 軸無(wú)公共點(diǎn)。當(dāng) a0，當(dāng) x=x0時(shí)，f(x)取最小值 f(x0)=,若 a0)，當(dāng) x0m, n時(shí)，f(x)在m, n上的最小值為 f(x0); 當(dāng) x0n 時(shí)，f(x)在m,

18、n上的最小值為 f(n)（以上結(jié)論由二次函數(shù)圖象即可得出）。定義 1 能判斷真假的語(yǔ)句叫命題，如“35”是命題，“蘿卜好大”不是命題。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡(jiǎn)單命題，由簡(jiǎn)單命題及邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題由復(fù)合命題。注 1 “p 或 q”復(fù)合命題只有當(dāng) p，q 同為假命題時(shí)為假，否則為真命題；“p 且 q”復(fù)合命題只有當(dāng) p，q 同時(shí)為真命題時(shí)為真，否則為假命題；p 及“非 p”即“p”恰好一真一假。定義 2 原命題：若 p 則 q（p 為條件，q 為結(jié)論）；逆命題：若 q 則 p；否命題：若非 p 則 q；逆否命題：若非q 則非 p。注 2 原命題及其逆否命題同真假。一個(gè)命

19、題的逆命題和否命題同真假。注 3 反證法的理論依據(jù)是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題。定義 3 如果命題“若 p 則 q”為真，則記為 pq 否則記作 pq.在命題“若 p 則 q”中，如果已知 pq,則 p是 q 的充分條件；如果 qp，則稱 p 是 q 的必要條件；如果 pq 但 q 不p，則稱 p 是 q 的充分非必要條件；如果 p 不q 但 pq，則 p 稱為 q 的必要非充分條件；若 pq 且 qp，則 p 是 q 的充要條件。二、方法及例題二、方法及例題1待定系數(shù)法。例 1 設(shè)方程 x2-x+1=0 的兩根是 ，求滿足 f()=,f()=,f(1)=1 的二次函數(shù) f(x

20、).【解】 設(shè) f(x)=ax2+bx+c(a0),則由已知 f()=,f()= 相減并整理得（-）（+）a+b+1=0，因?yàn)榉匠?x2-x+1=0 中0，所以 ，所以(+)a+b+1=0.又 +=1,所以 a+b+1=0.又因?yàn)?f(1)=a+b+c=1，所以 c-1=1，所以 c=2.又 b=-(a+1)，所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2.再由 f()= 得 a2-(a+1)+2=,所以 a2-a+2=+=1，所以 a2-a+1=0.即 a(2-+1)+1-a=0,即 1-a=0，所以 a=1,所以 f(x)=x2-2x+2.2方程的思想。例 2 已知 f(x)=ax2-c 滿足-

21、4f(1)-1, -1f(2)5，求 f(3)的取值范圍。【解】 因?yàn)?4f(1)=a-c-1,所以 1-f(1)=c-a4.又-1f(2)=4a-c5, f(3)=f(2)-f(1),所以(-1)+f(3)5+4,所以-1f(3)20.3利用二次函數(shù)的性質(zhì)。例 3 已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a0)，若方程 f(x)=x 無(wú)實(shí)根，求證：方程 f(f(x)=x 也無(wú)實(shí)根。【證明】若 a0，因?yàn)?f(x)=x 無(wú)實(shí)根，所以二次函數(shù) g(x)=f(x)-x 圖象及 x 軸無(wú)公共點(diǎn)且開(kāi)口向上，所以對(duì)任意的xR,f(x)-x0 即 f(x)x，從而 f(f(x)f(x)。

22、所以 f(f(x)x，所以方程 f(f(x)=x 無(wú)實(shí)根。注：請(qǐng)讀者思考例 3 的逆命題是否正確。4利用二次函數(shù)表達(dá)式解題。例 4 設(shè)二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程 f(x)=x 的兩根 x1, x2滿足 0 x1x2,（）當(dāng) x(0, x1)時(shí)，求證：xf(x)x1；（）設(shè)函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于 x=x0對(duì)稱，求證：x0【證明】因?yàn)?x1, x2是方程 f(x)-x=0 的兩根，所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.（）當(dāng) x(0, x1)時(shí)，x-x10, x-x20，所以 f(x)x.其次 f(x)-x1=(x-

23、x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+0，所以 f(x)x1.綜上，xf(x)1，求證：方程的正根比 1 小，負(fù)根比-1 大?！咀C明】 方程化為 2a2x2+2ax+1-a2=0.構(gòu)造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,f(1)=(a+1)20, f(-1)=(a-1)20, f(0)=1-a20，所以 f(x)在區(qū)間（-1,0）和（0，1）上各有一根。即方程的正根比 1 小，負(fù)根比-1 大。6定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。例 6 當(dāng) x 取何值時(shí)，函數(shù) y=取最小值？求出這個(gè)最小值?！窘狻縴=1-,令 u,則 0u1。y=5u2-u+1=5,且當(dāng)即 x=3 時(shí)，ymin=.

24、例 7 設(shè)變量 x 滿足 x2+bx-x(b-1)，并且 x2+bx 的最小值是，求 b 的值?！窘狻?由 x2+bx-x(b-(b+1)，即 b-2 時(shí)，x2+bx 在0，-(b+1)上是減函數(shù)，所以 x2+bx 的最小值為 b+1,b+1=-,b=-.綜上，b=-.7.一元二次不等式問(wèn)題的解法。例 8 已知不等式組 的整數(shù)解恰好有兩個(gè)，求 a 的取值范圍?！窘狻?因?yàn)榉匠?x2-x+a-a2=0 的兩根為 x1=a, x2=1-a,若 a0，則 x1x2.的解集為 ax1-2a.因?yàn)?1-2a1-a，所以 a0,所以不等式組無(wú)解。若 a0，）當(dāng) 0a時(shí)，x1x2,的解集為 ax1-a.因?yàn)?/p>

25、 0ax1-a時(shí)，a1-a，由得 x1-2a，所以不等式組的解集為 1-ax1 且 a-(1-a)3，所以 1a2，并且當(dāng) 1a2 時(shí)，不等式組恰有兩個(gè)整數(shù)解 0，1。綜上，a 的取值范圍是 10，=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20 恒成立，所以(B-A-C)2-4AC0，即 A2+B2+C22(AB+BC+CA)同理有 B0，C0，所以必要性成立。再證充分性，若 A0，B0，C0 且 A2+B2+C22(AB+BC+CA)，1）若 A=0，則由 B2+C22BC 得(B-C)20，所以 B=C，所以=0，所以成立，成立。2）若 A0，則由知0，所以成立，所以成立。綜上，充分

26、性得證。9常用結(jié)論。定理 1 若 a, bR, |a|-|b|a+b|a|+|b|.【證明】 因?yàn)?|a|a|a|,-|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|,所以|a+b|a|+|b|（注：若 m0，則-mxm 等價(jià)于|x|m）.又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|,即|a|-|b|a+b|.綜上定理 1 得證。定理 2 若 a,bR, 則 a2+b22ab；若 x,yR+,則 x+y(證略)注 定理 2 可以推廣到 n 個(gè)正數(shù)的情況，在不等式證明一章中詳細(xì)論證。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1下列四個(gè)命題中屬于真命題的是_，“若 x+y=0，則 x、y 互為相反數(shù)”的逆命題；“兩

27、個(gè)全等三角形的面積相等”的否命題；“若 q1，則 x2+x+q=0 有實(shí)根”的逆否命題；“不等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等”的逆否命題。2由上列各組命題構(gòu)成“p 或 q”，“p 且 q”，“非 p”形式的復(fù)合命題中，p 或 q 為真，p 且 q 為假，非 p為真的是_.p；3 是偶數(shù)，q：4 是奇數(shù)；p:3+2=6,q:p:a(a,b),q:aa,b; p: QR, q: N=Z.3. 當(dāng)|x-2|a 時(shí)，不等式|x2-4|0 的解是 1x2，則 a, b 的值是_.5. x1 且 x2 是 x-1的_條件，而-2m0 且 0n1 是關(guān)于 x 的方程 x2+mx+n=0 有兩個(gè)小于1 的正根的_條件

28、.6.命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的逆命題是_.7.若 S=x|mx2+5x+2=0的子集至多有 2 個(gè)，則 m 的取值范圍是_.8. R 為全集，A=x|3-x4, B=, 則(CRA)B=_.9. 設(shè) a, b 是整數(shù)，集合 A=(x,y)|(x-a)2+3b6y，點(diǎn)（2，1）A，但點(diǎn)（1，0）A，（3，2）A 則 a,b 的值是_.10設(shè)集合 A=x|x|0，則集合x(chóng)|xA 且 xAB=_.11. 求使不等式 ax2+4x-1-2x2-a 對(duì)任意實(shí)數(shù) x 恒成立的 a 的取值范圍。12對(duì)任意 x0,1,有成立，求 k 的取值范圍。四、高考水平訓(xùn)練題四、高考水平訓(xùn)練題1若不等

29、式|x-a|0 當(dāng)|a|1 時(shí)恒成立的 x 的取值范圍是_.3若不等式-x2+kx-410, B=x|x-5|0 和 a2x2+b2x+c20 解集分別為 M 和 N，那么“”是“M=N”的_條件。6若下列三個(gè)方程 x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0 中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_.7已知 p, q 都是 r 的必要條件，s 是 r 的充分條件，q 是 s 的充分條件，則 r 是 q 的_條件。8已知 p: |1-|2, q: x2-2x+1-m20(m0)，若非 p 是非 q 的必要不充分條件，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是_.

30、9已知 a0，f(x)=ax2+bx+c，對(duì)任意 xR 有 f(x+2)=f(2-x)，若 f(1-2x2)0 且|x|1 時(shí)，g(x)最大值為 2，求 f(x).11.設(shè)實(shí)數(shù) a,b,c,m 滿足條件：=0，且 a0,m0，求證：方程 ax2+bx+c=0 有一根 x0滿足 0 x01.五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1不等式|x|3-2x2-4|x|+30，當(dāng)函數(shù)的最小值取最大值時(shí)，a+b2+c3=_.4. 已知 f(x)=|1-2x|, x0,1，方程 f(f(f)(x)=x 有_個(gè)實(shí)根。5若關(guān)于 x 的方程 4x2-4x+m=0 在-1，1上至少有一個(gè)實(shí)根，則 m 取值范圍

31、是_.6若 f(x)=x4+px3+qx2+x 對(duì)一切 xR 都有 f(x)x 且 f(1)=1，則 p+q2=_.7. 對(duì)一切 xR，f(x)=ax2+bx+c(a、=、）9若 abc100，試問(wèn)滿足|f(x)|50 的整數(shù) x 最多有幾個(gè)？2設(shè)函數(shù) f(x)=ax2+8x+3(a1)，使得存在 tR，只要 x1, m就有 f(x+t)x.7.求證：方程 3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。8設(shè) a,b,A,BR+, aA, bB，若 n 個(gè)正數(shù) a1, a2,an位于 a 及 A 之間，n 個(gè)正數(shù) b1, b2,bn位于 b 及 B 之間，求證：9設(shè) a,

32、b,c 為實(shí)數(shù)，g(x)=ax2+bx+c, |x|1，求使下列條件同時(shí)滿足的 a, b, c 的值：（）=381;（）g(x)max=444;（）g(x)min=364.高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義（三）高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義（三）函數(shù)函數(shù)一、基礎(chǔ)知識(shí)一、基礎(chǔ)知識(shí)定義 1 映射，對(duì)于任意兩個(gè)集合 A，B，依對(duì)應(yīng)法則 f，若對(duì) A 中的任意一個(gè)元素 x，在 B 中都有唯一一個(gè)元素及之對(duì)應(yīng)，則稱 f: AB 為一個(gè)映射。定義 2 單射，若 f: AB 是一個(gè)映射且對(duì)任意 x, yA, xy, 都有 f(x)f(y)則稱之為單射。定義 3 滿射，若 f: AB 是映射且對(duì)任意 yB，都有一個(gè) xA 使得 f(x)=

33、y，則稱 f: AB 是 A 到 B 上的滿射。定義 4 一一映射，若 f: AB 既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即從 B 到 A 由相反的對(duì)應(yīng)法則 f-1構(gòu)成的映射，記作 f-1: AB。定義 5 函數(shù)，映射 f: AB 中，若 A，B 都是非空數(shù)集，則這個(gè)映射為函數(shù)。A 稱為它的定義域，若 xA, yB，且 f(x)=y（即 x 對(duì)應(yīng) B 中的 y），則 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。集合f(x)|xA叫函數(shù)的值域。通常函數(shù)由解析式給出，此時(shí)函數(shù)定義域就是使解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍，如函數(shù) y=3-1 的定義域?yàn)閤|x0,xR. 定義 6 反函數(shù)

34、，若函數(shù) f: AB（通常記作 y=f(x)）是一一映射，則它的逆映射 f-1: AB 叫原函數(shù)的反函數(shù)，通常寫(xiě)作 y=f-1(x). 這里求反函數(shù)的過(guò)程是：在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f-1(y)，然后將 x, y 互換得 y=f-1(x)，最后指出反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。例如：函數(shù) y=的反函數(shù)是 y=1-(x0).定理 1 互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱。定理 2 在定義域上為增（減）函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)必為增（減）函數(shù)。定義 7 函數(shù)的性質(zhì)。（1）單調(diào)性：設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間 I 上滿足對(duì)任意的 x1, x2I 并且 x1 x2，總有 f(x1)

35、f(x2)，則稱 f(x)在區(qū)間 I 上是增（減）函數(shù)，區(qū)間 I 稱為單調(diào)增（減）區(qū)間。（2）奇偶性：設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域?yàn)?D，且 D 是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的數(shù)集，若對(duì)于任意的 xD，都有 f(-x)=-f(x)，則稱 f(x)是奇函數(shù)；若對(duì)任意的 xD，都有 f(-x)=f(x)，則稱 f(x)是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱。（3）周期性：對(duì)于函數(shù) f(x)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù) T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)每一個(gè)數(shù)時(shí)，f(x+T)=f(x)總成立，則稱 f(x)為周期函數(shù)，T 稱為這個(gè)函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù) T0，則這個(gè)正數(shù)叫做函數(shù) f

36、(x)的最小正周期。定義 8 如果實(shí)數(shù) ab，則數(shù)集x|axb, xR叫做開(kāi)區(qū)間，記作（a,b），集合x(chóng)|axb,xR記作閉區(qū)間a,b，集合x(chóng)|axb記作半開(kāi)半閉區(qū)間（a,b，集合x(chóng)|axa記作開(kāi)區(qū)間（a, +），集合x(chóng)|xa記作半開(kāi)半閉區(qū)間（-,a.定義 9 函數(shù)的圖象，點(diǎn)集(x,y)|y=f(x), xD稱為函數(shù) y=f(x)的圖象，其中 D 為 f(x)的定義域。通過(guò)畫(huà)圖不難得出函數(shù) y=f(x)的圖象及其他函數(shù)圖象之間的關(guān)系(a,b0)；（1）向右平移 a 個(gè)單位得到 y=f(x-a)的圖象；（2）向左平移 a 個(gè)單位得到 y=f(x+a)的圖象；（3）向下平移 b 個(gè)單位得到 y=f

37、(x)-b 的圖象；（4）及函數(shù) y=f(-x)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱；（5）及函數(shù) y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；（6）及函數(shù) y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱；（7）及函數(shù) y=-f(x)的圖象關(guān)于 x 軸對(duì)稱。定理 3 復(fù)合函數(shù) y=fg(x)的單調(diào)性，記住四個(gè)字：“同增異減”。例如 y=, u=2-x 在（-,2）上是減函數(shù)，y=在（0，+）上是減函數(shù)，所以 y=在（-,2）上是增函數(shù)。注：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴(yán)格論證，求導(dǎo)之后是顯然的。二、方法及例題二、方法及例題1數(shù)形結(jié)合法。例 1 求方程|x-1|=的正根的個(gè)數(shù).【解】分別畫(huà)出 y=

38、|x-1|和 y=的圖象，由圖象可知兩者有唯一交點(diǎn)，所以方程有一個(gè)正根。 例 2 求函數(shù) f(x)=的最大值。【解】 f(x)=，記點(diǎn) P(x, x?2)，A（3，2），B（0，1），則 f(x)表示動(dòng)點(diǎn) P 到點(diǎn) A 和 B 距離的差。因?yàn)閨PA|-|PA|AB|=,當(dāng)且僅當(dāng) P 為 AB 延長(zhǎng)線及拋物線 y=x2的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立。所以 f(x)max=2.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。例 3 設(shè) x, yR，且滿足，求 x+y.【解】 設(shè) f(t)=t3+1997t，先證 f(t)在（-，+）上遞增。事實(shí)上，若 a0，所以 f(t)遞增。由題設(shè) f(x-1)=-1=f(1-y)，所以 x-1=1-y，所

39、以 x+y=2.例 4 奇函數(shù) f(x)在定義域（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，又 f(1-a)+f(1-a2)0，求 a 的取值范圍。【解】 因?yàn)?f(x) 是奇函數(shù)，所以 f(1-a2)=-f(a2-1)，由題設(shè) f(1-a)f(a2-1)。又 f(x)在定義域（-1，1）上遞減，所以-11-aa2-11，解得 0a1。例 5 設(shè) f(x)是定義在（-，+）上以 2 為周期的函數(shù)，對(duì) kZ, 用 Ik表示區(qū)間(2k-1, 2k+1，已知當(dāng) xI0時(shí)，f(x)=x2，求 f(x)在 Ik上的解析式?！窘狻?設(shè) xIk，則 2k-10，則由得 n0，設(shè) f(t)=t(+1),則 f(t)在（0，+）上

40、是增函數(shù)。又 f(m)=f(-n)，所以 m=-n，所以 3x-1+2x-3=0，所以 x=)若 m0。同理有 m+n=0,x=,但及 m0 矛盾。綜上，方程有唯一實(shí)數(shù)解 x=3.配方法。例 7 求函數(shù) y=x+的值域?！窘狻?y=x+=2x+1+2+1-1=(+1)-1-1=-.當(dāng) x=-時(shí)，y 取最小值-，所以函數(shù)值域是-，+）。4換元法。例 8 求函數(shù) y=(+2)(+1),x0,1的值域?！窘狻苛?=u，因?yàn)?x0,1，所以 2u2=2+24,所以u(píng)2,所以2，12，所以 y=,u2+2，8。所以該函數(shù)值域?yàn)?+，8。5判別式法。例 9 求函數(shù) y=的值域?！窘狻坑珊瘮?shù)解析式得(y-1

41、)x2+3(y+1)x+4y-4=0. 當(dāng) y1 時(shí)，式是關(guān)于 x 的方程有實(shí)根。所以=9(y+1)2-16(y-1)20，解得y1.又當(dāng) y=1 時(shí)，存在 x=0 使解析式成立，所以函數(shù)值域?yàn)椋?。6關(guān)于反函數(shù)。例 10 若函數(shù) y=f(x)定義域、值域均為 R，且存在反函數(shù)。若 f(x)在(-,+ )上遞增，求證：y=f-1(x)在(-,+ )上也是增函數(shù)?！咀C明】設(shè) x1x2, 且 y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，則 x1=f(y1), x2=f(y2)，若 y1y2，則因?yàn)?f(x)在(-,+ )上遞增，所以x1x2及假設(shè)矛盾，所以 y1y2。即 y=f-1(x)在(-,

42、+ )遞增。例 11 設(shè)函數(shù) f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).【解】 首先 f(x)定義域?yàn)椋?，-）-，+）；其次，設(shè) x1, x2是定義域內(nèi)變量，且 x1x20,所以 f(x)在（-，-）上遞增，同理 f(x)在-，+）上遞增。在方程 f(x)=f-1(x)中，記 f(x)=f-1(x)=y，則 y0，又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x，所以 x0,所以 x,y-，+）.若 xy，設(shè) xy，則 f(x)=yy 也可得出矛盾。所以 x=y.即 f(x)=x，化簡(jiǎn)得 3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,因?yàn)?x0，所以 3x4+

43、5x3+5x2+5x+10，所以 x=1.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1已知 X=-1, 0, 1, Y=-2, -1, 0, 1, 2，映射 f：XY 滿足：對(duì)任意的 xX，它在 Y 中的象 f(x)使得 x+f(x)為偶數(shù)，這樣的映射有_個(gè)。2給定 A=1，2，3，B=-1，0，1和映射 f：XY，若 f 為單射，則 f 有_個(gè)；若 f 為滿射，則 f 有_個(gè)；滿足 ff(x) =f(x)的映射有_個(gè)。3若直線 y=k(x-2)及函數(shù) y=x2+2x 圖象相交于點(diǎn)（-1，-1），則圖象及直線一共有_個(gè)交點(diǎn)。4函數(shù) y=f(x)的值域?yàn)椋瑒t函數(shù) g(x)=f(x)+的值域?yàn)開(kāi)。5已知 f(x

44、)=，則函數(shù) g(x)=ff(x)的值域?yàn)開(kāi)。6已知 f(x)=|x+a|，當(dāng) x3 時(shí) f(x)為增函數(shù)，則 a 的取值范圍是_。7設(shè) y=f(x)在定義域（，2）內(nèi)是增函數(shù)，則 y=f(x2-1)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)。8若函數(shù) y=(x)存在反函數(shù) y=-1(x)，則 y=-1(x)的圖象及 y=-(-x)的圖象關(guān)于直線_對(duì)稱。9函數(shù) f(x)滿足=1-，則 f()=_。10. 函數(shù) y=, x(1, +)的反函數(shù)是_。11求下列函數(shù)的值域：（1）y=; (2)y=; (3)y=x+2; (4) y=12. 已知定義在 R 上，對(duì)任意 xR, f(x)=f(x+2)，且 f(x)是偶函數(shù)，又

45、當(dāng) x2,3時(shí)，f(x)=x，則當(dāng) x-2,0時(shí)，求 f(x)的解析式。四、高考水平訓(xùn)練題四、高考水平訓(xùn)練題1已知 a, f(x)定義域是（0,1，則 g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定義域?yàn)開(kāi)。2設(shè) 0a1 時(shí)，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1 恒為正值。則 f(x)定義域?yàn)開(kāi)。3映射 f: a, b, c, d1，2，3滿足 10f(a)f(b)f(c)f(d)0，函數(shù) f(x)定義域?yàn)?R，且 f(x+a)=，求證：f(x)為周期函數(shù)。11設(shè)關(guān)于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的兩根為 ，（），已知函數(shù) f(x)=,（1）求 f()、f()；（2）求證：f(x

46、)在，上是增函數(shù)；（3）對(duì)任意正數(shù) x1, x2，求證：0，a1,F(x)是奇函數(shù)，則 G(x)=F(x)是_（奇偶性）.3若=x，則下列等式中正確的有_.F(-2-x)=-2-F(x)；F(-x)= ；F(x-1)=F(x)；F(F(x)=-x.4.設(shè)函數(shù) f：RR 滿足 f(0)=1，且對(duì)任意 x,yR，都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，則 f(x)=_.5已知 f(x)是定義在 R 上的函數(shù)，f(1)=1，且對(duì)任意 xR 都有 f(x+5)f(x)+5, f(x+1) f(x)+1。若 g(x)=f(x)+1-x，則 g(2002)= _.6. 函數(shù) f(x)=的

47、單調(diào)遞增區(qū)間是_.7. 函數(shù) f(x)=的奇偶性是：_奇函數(shù)，_偶函數(shù)（填是，非）。8. 函數(shù) y=x+的值域?yàn)開(kāi).9設(shè) f(x)=,對(duì)任意的 aR，記 V(a)=maxf(x)-ax|x1, 3-minf(x)-ax|x1, 3，試求 V(a)的最小值。10解方程組：（在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)）11設(shè) kN+, f: N+N+滿足：（1）f(x)嚴(yán)格遞增；（2）對(duì)任意 nN+, 有 ff(n)=kn，求證：對(duì)任意 nN+, 都有nf(n)六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1求證：恰有一個(gè)定義在所有非零實(shí)數(shù)上的函數(shù) f，滿足：（1）對(duì)任意 x0, f(x)=xf；（2）對(duì)所有的x-y 且 xy0

48、，有 f(x)+f(y)=1+f(x+y).2.設(shè) f(x)對(duì)一切 x0 有定義，且滿足：（）f(x)在（0，+）是增函數(shù)；()任意 x0, f(x)f=1，試求 f(1).3. f:0,1R 滿足：（1）任意 x0, 1, f(x)0；（2）f(1)=1；（3）當(dāng) x, y, x+y0, 1時(shí)，f(x)+f(y)f(x+y)，試求最小常數(shù) c，對(duì)滿足（1），（2），（3）的函數(shù) f(x)都有 f(x)cx.4. 試求 f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x0, y0)的最小值。5對(duì)給定的正數(shù) p,q(0, 1)，有 p+q1p2+q2，試求 f

49、(x)=(1-x)+在1-q,p上的最大值。6已知 f: (0,1)R 且 f(x)=.當(dāng) x時(shí)，試求 f(x)的最大值。7函數(shù) f(x)定義在整數(shù)集上，且滿足 f(n)=，求 f(100)的值。8函數(shù) y=f(x)定義在整個(gè)實(shí)軸上，它的圖象在圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角后不變。（1）求證：方程 f(x)=x 恰有一個(gè)解；（2）試給出一個(gè)具有上述性質(zhì)的函數(shù)。9設(shè) Q+是正有理數(shù)的集合，試構(gòu)造一個(gè)函數(shù) f: Q+Q+，滿足這樣的條件：f(xf(y)=x, yQ+.高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義（四）高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義（四）幾個(gè)初等函數(shù)的性質(zhì)幾個(gè)初等函數(shù)的性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)一、基礎(chǔ)知識(shí)1指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如 y=ax(a0

50、, a1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)?R，值域?yàn)椋?，+），當(dāng)0a1 時(shí)，y=ax為增函數(shù)，它的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（0，1）。2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：。3對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如 y=logax(a0, a1)的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)椋?，+），值域?yàn)?R，圖象過(guò)定點(diǎn)（1，0）。當(dāng) 0a1 時(shí)，y=logax 為增函數(shù)。4對(duì)數(shù)的性質(zhì)（M0, N0）；1）ax=Mx=logaM(a0, a1)；2）loga(MN)= loga M+ logaN；3）loga（）= loga M- logaN；4）loga Mn=nloga M；，5）loga=loga M；6）aloga M=M; 7) logab=(

51、a,b,c0, a, c1).5. 函數(shù) y=x+（a0）的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為和。（請(qǐng)讀者自己用定義證明）6連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：若 ab, f(x)在a, b上連續(xù)，且 f(a)f(b)0.【證明】設(shè) f(x)=(b+c)x+bc+1 (x(-1, 1)，則 f(x)是關(guān)于 x 的一次函數(shù)。所以要證原不等式成立，只需證 f(-1)0 且 f(1)0（因?yàn)?1a0，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，所以 f(a)0，即 ab+bc+ca+10.例 2 （柯西不等式）若 a1, a2,an是不全為 0 的實(shí)數(shù)，b1, b2,bnR，則（）（）()2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在R，

52、使 ai=, i=1, 2, , n 時(shí)成立?！咀C明】 令 f(x)= （）x2-2()x+=,因?yàn)?，且對(duì)任意 xR, f(x)0，所以=4()-4（）()0.展開(kāi)得（）()()2。等號(hào)成立等價(jià)于 f(x)=0 有實(shí)根，即存在，使 ai=, i=1, 2, , n。例 3 設(shè) x, yR+, x+y=c, c 為常數(shù)且 c(0, 2，求 u=的最小值?！窘狻縰=xy+xy+2=xy+2.令 xy=t，則 0t=xy,設(shè) f(t)=t+,0t因?yàn)?0c2，所以 00，所以=例 5 對(duì)于正整數(shù) a, b, c(abc)和實(shí)數(shù) x, y, z, w，若 ax=by=cz=70w，且，求證：a+b=

53、c.【證明】 由 ax=by=cz=70w取常用對(duì)數(shù)得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由題設(shè)，所以 lga+lgb+lgc=lg70，所以 lgabc=lg70.所以 abc=70=257.若 a=1，則因?yàn)?xlga=wlg70，所以 w=0 及題設(shè)矛盾，所以 a1.又 abc，且 a, b, c 為 70 的正約數(shù)，所以只有 a=2, b=5, c=7.所以 a+b=c.例 6 已知 x1, ac1, a1, c1. 且 logax+logcx=2logbx，求證 c2=(

54、ac)logab.【證明】 由題設(shè) logax+logcx=2logbx，化為以 a 為底的對(duì)數(shù)，得，因?yàn)?ac0, ac1，所以 logab=logacc2，所以 c2=(ac)logab.注：指數(shù)及對(duì)數(shù)式互化，取對(duì)數(shù)，換元，換底公式往往是解題的橋梁。3指數(shù)及對(duì)數(shù)方程的解法。解此類方程的主要思想是通過(guò)指對(duì)數(shù)的運(yùn)算和換元等進(jìn)行化簡(jiǎn)求解。值得注意的是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用和未知數(shù)范圍的討論。例 7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.【解】 方程可化為=1。設(shè) f(x)= , 則 f(x)在(-,+)上是減函數(shù)，因?yàn)?f(3)=1，所以方程只有一個(gè)解 x=3.例 8 解方程組：（其中 x, yR

55、+）.【解】 兩邊取對(duì)數(shù)，則原方程組可化為 把代入得(x+y)2lgx=36lgx，所以(x+y)2-36lgx=0.由 lgx=0 得 x=1，由(x+y)2-36=0(x, yR+)得 x+y=6，代入得 lgx=2lgy，即 x=y2，所以 y2+y-6=0.又 y0，所以 y=2, x=4.所以方程組的解為 .例 9 已知 a0, a1，試求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范圍。【解】由對(duì)數(shù)性質(zhì)知，原方程的解 x 應(yīng)滿足.若、同時(shí)成立，則必成立，故只需解. 由可得 2kx=a(1+k2)， 當(dāng) k=0 時(shí)，無(wú)解；當(dāng) k0 時(shí)，的解是 x=，代入得

56、k.若 k1，所以 k0，則 k21，所以 0k1.綜上，當(dāng) k(-,-1) (0, 1)時(shí)，原方程有解。 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1命題 p: “(log23)x-(log53)x(log23)-y-(log53)-y”是命題 q:“x+y0”的_條件。2如果 x1是方程 x+lgx=27 的根，x2是方程 x+10 x=27 的根，則 x1+x2=_.3已知 f(x)是定義在 R 上的增函數(shù)，點(diǎn) A（-1，1），B（1，3）在它的圖象上，y=f-1(x)是它的反函數(shù)，則不等式|f-1(log2x)|1 的解集為_(kāi)。4若 log2a0，則 a 取值范圍是_。5命題 p: 函數(shù) y=log

57、2在2，+）上是增函數(shù)；命題 q: 函數(shù) y=log2(ax2-4x+1)的值域?yàn)?R，則 p 是 q 的_條件。6若 0b0 且 a1，比較大小：|loga(1-b)|_|loga(1+b).7已知 f(x)=2+log3x, x1, 3，則函數(shù) y=f(x)2+f(x2)的值域?yàn)開(kāi)。8若 x=，則及 x 最接近的整數(shù)是_。9函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_。10函數(shù) f(x)=的值域?yàn)開(kāi)。11設(shè) f(x)=lg1+2x+3 x +(n-1) x +n xa，其中 n 為給定正整數(shù), n2, aR.若 f(x)在 x(-,1時(shí)有意義，求a 的取值范圍。12當(dāng) a 為何值時(shí)，方程=2 有一解，二解，無(wú)解

58、？四、高考水平訓(xùn)練題四、高考水平訓(xùn)練題1函數(shù) f(x)=+lg(x2-1)的定義域是_.2已知不等式 x2-logmx0 在 x時(shí)恒成立，則 m 的取值范圍是_.3若 xx|log2x=2-x，則 x2, x, 1 從大到小排列是_.4. 若 f(x)=ln，則使 f(a)+f(b)=_. 5. 命題 p: 函數(shù) y=log2在2，+）上是增函數(shù)；命題 q：函數(shù) y=log2(ax2-4x+1)的值域?yàn)?R，則 p 是 q 的_條件.6若 0b0 且 a1，比較大小：|loga(1-b)| _|loga(1+b)|.7已知 f(x)=2+log3x, x1, 3，則函數(shù) y=f(x)2+f(x

59、2)的值域?yàn)開(kāi).8若 x=，則及 x 最接近的整數(shù)是_.9函數(shù) y=的單調(diào)遞增區(qū)間是_.10函數(shù) f(x)=的值域?yàn)開(kāi).11設(shè) f(x)=lg1+2x+3 x +(n-1) x +n xa，其中 n 為給定正整數(shù)，n2,aR。若 f(x) 在 x(-,1時(shí)有意義，求 a 的取值范圍。12當(dāng) a 為何值時(shí)，方程=2 有一解，二解，無(wú)解？四、高考水平訓(xùn)練題1函數(shù) f(x)=+lg(x2-1)的定義域是_.2已知不等式 x2-logmx10, y10, xy=1000，則(lgx)(lgy)的取值范圍是_.7若方程 lg(kx)=2lg(x+1)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是_.8函數(shù) f

60、(x)=的定義域?yàn)?R，若關(guān)于 x 的方程 f?2(x)+bf(x)+c=0 有 7 個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則 b, c 應(yīng)滿足的充要條件是_.（1）b0；（2）b0 且 c0；（3）b0 且 c=0；（4）b0 且 c=0。9已知 f(x)=x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，則 F(x)是_函數(shù)（填奇偶性）.10已知 f(x)=lg，若=1，=2，其中|a|1, |b|1，則 f(a)+f(b)=_.11設(shè) aR，試討論關(guān)于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)。12設(shè) f(x)=|lgx|，實(shí)數(shù) a, b 滿足 0ab, f(a)=f(b)=2f，求證：（1