地震緊急撤離問(wèn)題數(shù)學(xué)建模

1、遼 寧 工 業(yè) 大 學(xué)2012年數(shù)學(xué)建模（論文）題 目： 火災(zāi)緊急撤離問(wèn)題院（系）： 機(jī)械工程及自動(dòng)化專業(yè)班級(jí)：機(jī)械1106班 學(xué)生姓名：王哲、郭爽、吳建彬起止時(shí)間：2012.5.212012.5.27摘 要本文借用流體動(dòng)力學(xué)中的微分關(guān)系，通過(guò)將離散的人員轉(zhuǎn)化為連續(xù)的人流，以人流密度為研究主體，建立了人員撤離的動(dòng)態(tài)微分方程優(yōu)化模型，分析了地震發(fā)生時(shí)人員緊急撤離的問(wèn)題。并根據(jù)我們所在教學(xué)樓的樓層建筑的數(shù)據(jù)分別估算了混亂狀況下與有組織時(shí)人員撤離的時(shí)間，為人員的緊急撤離提供了參考方案。 第一，本文分析了在無(wú)組織的狀態(tài)下，人員撤離的一般情形。一方面，無(wú)組織下人員的運(yùn)動(dòng)具有隨機(jī)性，故此引入人流密度作為基

2、本研究對(duì)象。另一方面，流量的變化率是人流密度對(duì)距離積分后對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，人流量對(duì)時(shí)間的積分即為撤離人員的數(shù)量。由此幾方面關(guān)系，可以列出整個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程的微分方程。經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，單位時(shí)間的人流量與密度和速度成正比關(guān)系，而整體的人流速度與密度之間又是成一次線性關(guān)系，恰好符合流體力學(xué)中的流量、流速與密度之間的關(guān)系。根據(jù)實(shí)際情況對(duì)整求解過(guò)程做了簡(jiǎn)化，以樓道中的平均人流量為研究主體， 最終以數(shù)值解求得全部人員逃離所需時(shí)間大約為420s. 第二，利用得出的人流量隨時(shí)間變化的圖像可知，由于人員無(wú)組織的涌出教室，導(dǎo)致人流密度很大，人群得不到有效的移動(dòng)，從而使流量達(dá)到最大值后又迅速減小。故最好的撤離方式是在達(dá)到流量最大

3、的時(shí)候，保持住一定的人流密度從而來(lái)維持最大的流量。結(jié)合數(shù)據(jù)后可知，在撤離開(kāi)始一分鐘的時(shí)候應(yīng)該有人組織撤離，這樣可以避免由于人員的過(guò)多涌入樓道而導(dǎo)致的擁堵現(xiàn)象。這樣子調(diào)控后最佳的撤離時(shí)間可以降到240秒左右。 第三，除去人為堵塞的因素對(duì)撤離時(shí)間影響較大外，改變樓層的設(shè)計(jì)同樣可以縮短撤離所用時(shí)間。于是，文章討論了實(shí)際樓層中的參數(shù)，如樓層中疏散通道的寬度、教室門的寬度以及疏散口的數(shù)量等，對(duì)緊急撤離時(shí)間的影響。并得出結(jié)論疏散口的增加與疏散通道的加寬對(duì)撤離時(shí)間的縮短有明顯的提高。 最后，由于不同的樓層人員速度不一樣會(huì)導(dǎo)致在樓道中的互相推擠現(xiàn)象， 此舉對(duì)人員在樓道中人員的有效流動(dòng)有較大影響。故我們引入混亂

4、時(shí)間的概念，用來(lái)具體量化由此導(dǎo)致的時(shí)間的浪費(fèi)情況。分析后可知混亂時(shí)間主要決 定于相臨兩層人員的速度差，由于混亂時(shí)間與速度差成正比關(guān)系，而且在速 度差為正值的時(shí)候時(shí)間較大，而為負(fù)值時(shí)時(shí)間較小，故利用指數(shù)函數(shù)來(lái)表示兩者的關(guān)系。由此建立了以總的混亂時(shí)間最小為目標(biāo)的優(yōu)化模型。利用atlab 對(duì)各種指派情形進(jìn)行比較，得出最了優(yōu)解。 關(guān)鍵詞：人流量動(dòng)態(tài)微分方程 最佳撤離 混亂時(shí)間目 錄一、問(wèn)題的提出1二、基本假設(shè)及符號(hào)說(shuō)明22.1 基本假設(shè)22.2 符號(hào)說(shuō)明2三、問(wèn)題分析33.1問(wèn)題一33.2問(wèn)題二33.3問(wèn)題三33.4 問(wèn)題四3四、模型準(zhǔn)備4五、模型建立5六、參考文獻(xiàn)12七、附錄13一、 問(wèn)題的提出近年

5、來(lái)，諸如地震、火災(zāi)等突發(fā)事件時(shí)常發(fā)生。雖然人們?cè)诤芏嗲闆r下還不能準(zhǔn)確預(yù)報(bào)這些突發(fā)事件，但當(dāng)災(zāi)難發(fā)生時(shí)，盡可能在災(zāi)難中減少傷亡人數(shù)是人們應(yīng)對(duì)突發(fā)事件的首選。在突發(fā)事件中，身處災(zāi)難環(huán)境的人員快速撤離災(zāi)難地點(diǎn)可以有效減少傷亡人數(shù)。本著居安思危的態(tài)度，假設(shè)某一天上午，學(xué)生正在我校C教學(xué)樓上課，突然該樓發(fā)生火災(zāi)，請(qǐng)你完成任務(wù):1. 用數(shù)學(xué)建模方法，給出一種使學(xué)生快速撤離C教學(xué)樓的方案；2. 針對(duì)我校C教學(xué)樓，用你的方案給出其第一、二樓學(xué)生快速撤離的具體方案和所用的時(shí)間。二、基本假設(shè)及符號(hào)說(shuō)明2.1 基本假設(shè) 疏散過(guò)程中，人群的流量與疏散通道的寬度、行走速度有關(guān)； 所有人員在突發(fā)事件發(fā)生后同時(shí)疏散，中途不

6、退后；所有人員在疏散過(guò)程中不發(fā)生踩踏事件； 每個(gè)年級(jí)在同一個(gè)樓層；2.2 符號(hào)說(shuō)明 符號(hào) 說(shuō)明 i (x,t) 第x 位置，第t 時(shí)刻，第i 層樓的人員密度； Qi (x,t) 第x 位置，第t 時(shí)刻，第i 層樓的人流量； Lw 走廊寬度； Ls 樓梯寬度； () 人員密度為 時(shí)的擁擠調(diào)控系數(shù)； Vw 撤離人員在走廊的平均速度； VwMax 撤離人員在走廊的最大速度； Vs 撤離人員在樓梯的平均速度； VsMax 撤離人員在樓梯的最大速度； R(t) 第i 層樓進(jìn)入樓梯間的人數(shù)； M 單位時(shí)間內(nèi)從教室進(jìn)入走廊的人員數(shù)； Ni 第i 個(gè)教室的總?cè)藬?shù)；三、問(wèn)題分析3.1問(wèn)題一 根據(jù)人流運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，

7、建立基于流體動(dòng)力學(xué)的微分方程模型。將每一個(gè)樓層分為教室出口處和非教室出口處，由于不同位置流入流出的人流量不同， 故可以動(dòng)態(tài)的分析出不同時(shí)刻不同位置的人流量密度。以任意小區(qū)間段的人流量為考慮對(duì)象，該區(qū)間兩端人流量之差即為該區(qū)間人數(shù)變化率。根據(jù)此關(guān)系建立微分方程，接觸各個(gè)位置的人流量密度函數(shù)。此時(shí)，用出口處的人流量對(duì)時(shí)間積分即為已撤離出的人員數(shù)目。求解積分方程，得到當(dāng)撤離人數(shù)為教學(xué)樓總?cè)藬?shù)時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間，即為人全部撤離出所消耗的時(shí)間。3.2問(wèn)題二 通過(guò)分析問(wèn)題一結(jié)果發(fā)現(xiàn)影響撤離時(shí)間的主要因素為人流量密度，當(dāng)人流量密度過(guò)大時(shí)會(huì)導(dǎo)致人員移動(dòng)區(qū)間變小，使得撤離速度的下降。故當(dāng)撤離人流量最大時(shí)，應(yīng)使撤離人

8、數(shù)與從教室流入走廊的人數(shù)相同，以此保持人流量密度一直保持在最好的水平，使得單位時(shí)間內(nèi)撤離的人數(shù)最多，此為最佳撤離方案。 3.3問(wèn)題三 分析問(wèn)題一所列出的微分方程式，結(jié)合實(shí)際，認(rèn)為走廊、樓道寬度以及樓梯數(shù)量為制約撤離時(shí)間的主要因素，應(yīng)適當(dāng)改進(jìn)。并結(jié)合實(shí)際情況中的其他因素，提出若干可行性建議。 3.4 問(wèn)題四 認(rèn)為每一個(gè)樓層只安排一個(gè)年級(jí)，將撤離時(shí)間定為無(wú)干擾時(shí)的撤離時(shí)間以及相鄰兩層互相制約而產(chǎn)生的混亂時(shí)間之和。無(wú)論樓層如何安排，無(wú)干擾撤離時(shí)間不變。而對(duì)于混亂時(shí)間，其數(shù)值正比于下層撤離速度與該層速度之差。如果下一層的速度比本層大，則混亂時(shí)間很小，如果下一層的撤離速度大于該層，則會(huì)產(chǎn)生很大的混亂時(shí)間

9、?；诖饲闆r，定義混亂時(shí)間是關(guān)于相鄰兩層人員撤離速度差的指數(shù)函數(shù)。通過(guò)編程，對(duì)各種情況進(jìn)行遍歷，可以求出混亂時(shí)間最小時(shí)的樓層安排方案，即為最合理的教室分配方案。四、模型準(zhǔn)備 4.1 基本公式準(zhǔn)備 撤離人員從走廊、樓梯撤離，其情形就像在湍急的江河中奔騰的流水一樣。故我們運(yùn)用流體動(dòng)力學(xué)中的概念去解決該問(wèn)題。根據(jù)流體動(dòng)力學(xué)中速度與密度的定義，得到速度與流體密度關(guān)系公式： 其中： m表示單位平面內(nèi)能夠容納的最多人數(shù)； VwMax表示人在撤離穩(wěn)定時(shí)期能夠行走的最大速度； 此公式表示在人流密度增大初期，人行走速度逐漸降低，當(dāng)人流密度到達(dá)最大值的時(shí)候由于沒(méi)有行走空間，所以人行走速度降為零。 由于在穩(wěn)定的時(shí)候

10、，撤離人員處于穩(wěn)定連續(xù)狀態(tài)。所以根據(jù)流體動(dòng)力學(xué)知識(shí)有如下方程： 表示： 時(shí)刻t，區(qū)間a，b內(nèi)的撤離人員的數(shù)量為單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)a，b 點(diǎn)的流量Qi(a,t),Qi(b,t)之差等于撤離人員數(shù)量的變化率。 4.2 樓梯間中行走長(zhǎng)度的確定 根據(jù)實(shí)際情況，假設(shè)在樓梯間行走的距離為，如圖1：圖 樓梯長(zhǎng)度示意圖五、模型建立 5.1 針對(duì)問(wèn)題一 5.1.1 模型一 將整棟樓看作一個(gè)整體，設(shè)其密度均勻，人員從20 個(gè)教室流入，從樓出口處流出，根據(jù)3.1 節(jié)中基本公式列微分方程求解。將整個(gè)撤離過(guò)程分為穩(wěn)定前階段和穩(wěn)定階段兩個(gè)時(shí)間段。1）穩(wěn)定前階段 設(shè)定穩(wěn)定前狀態(tài)即為距離樓梯間最近的教室的人員到達(dá)下一樓層之前的時(shí)

11、間段。此時(shí)，由于整個(gè)教學(xué)樓均處于暢通的狀態(tài)，所以設(shè)此階段的撤離速度為Vbefor。由此可以確定出到達(dá)穩(wěn)定階段時(shí)，樓梯間以及走廊的初始密度。可以得到穩(wěn)定前階段所消耗的時(shí)間： 2）穩(wěn)定階段根據(jù)3.1 節(jié)中的公式，可以列微分方程： 其中： 表示整個(gè)教學(xué)樓的平均密度； 表示在樓梯間中的平均撤離速度； 表示走廊長(zhǎng)度總和； 表示樓梯間的長(zhǎng)度總和； 該方程未考慮由于走廊擁堵而造成的教室中人員無(wú)法到達(dá)走廊的情況，為 考慮此情況，引入擁擠調(diào)控系數(shù) 表示在教室出口處的密度與能夠從教室出去人數(shù)的調(diào)控函數(shù)，如果出口處 密度為零時(shí),即教室里面的撤離人員均能到達(dá)走廊。如果出口處的密度已為最大值，即教室里面的撤離人員無(wú)法到

12、達(dá)走廊。此時(shí)的微分方程為： 根據(jù)3.1 節(jié)，將速度與密度的關(guān)系代入上式有： 解微分方程可以得到人員撤離密度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，設(shè)經(jīng)過(guò)T時(shí)間，所有人員撤離完畢，有： 反解出時(shí)間T 即為穩(wěn)定時(shí)期撤離完畢所花費(fèi)的時(shí)間。故全部人員撤離消耗的時(shí)間為：由于此模型過(guò)于簡(jiǎn)化，并沒(méi)有考慮到各層樓走廊和樓梯間的擁堵情況，分析問(wèn)題過(guò)于粗略。故我們將每層的走廊和樓梯間分開(kāi)考慮，引入模型二。5.1.2 模型二 將每一個(gè)樓層看作一個(gè)整體，將其密度視為均勻，記為i(t)。此時(shí)依舊從穩(wěn)定前與穩(wěn)定兩個(gè)階段去分析整個(gè)撤離過(guò)程。穩(wěn)定前階段與模型一一致，在此不詳細(xì)論述。對(duì)于穩(wěn)定時(shí)期，對(duì)每個(gè)樓層進(jìn)行分析，根據(jù)模型一的思想，列方程如下： 代

13、入人流量與密度方程，化簡(jiǎn)得到： 如模型一考慮，引入擁擠調(diào)控系數(shù) ()，得到方程如下： 解微分方程可以得到 ，得到第i 個(gè)樓層進(jìn)入樓梯間的人數(shù)： 每一個(gè)樓層均為此，考慮樓梯間的情況。將每一個(gè)樓層視為教室，整個(gè)樓梯間為走廊，列類似微分方程： 解該微分方程，可以得到樓梯間的人流密度 (t)。此時(shí)，得到最終從出口撤離的人員數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系：5.1.3 模型三 對(duì)整個(gè)走廊和樓梯間的整個(gè)長(zhǎng)度分成無(wú)限小段，基于流體動(dòng)力學(xué)知識(shí)，建立更具有一般性的模型，計(jì)算出全部人員撤離完畢需要時(shí)間。依舊將整個(gè)撤離過(guò)程分為穩(wěn)定前、穩(wěn)定兩個(gè)階段進(jìn)行分析。 1）針對(duì)穩(wěn)定前階段 設(shè)定穩(wěn)定前狀態(tài)即為距離樓梯間最近的教師的人員到達(dá)下一樓

14、層之前的時(shí)間段。 此時(shí)，由于整個(gè)教學(xué)樓均處于暢通的狀態(tài)，所以設(shè)此階段的撤離速度為Vbefor。 由此可以確定出到達(dá)穩(wěn)定階段時(shí)，樓梯間以及各層走廊的初始密度。 可以得到穩(wěn)定前階段所消耗的時(shí)間：2）針對(duì)穩(wěn)定階段 對(duì)每一層進(jìn)行考慮，根據(jù)實(shí)際位置分布建立坐標(biāo)系，如圖 圖 任意樓層走廊坐標(biāo)系的建立 確定每一樓層每一個(gè)時(shí)刻不同位置的撤離人員密度。由于在教室的出口處會(huì)有撤離人員流向走廊，所以在每個(gè)教室的出口處，密度變化率大于其他位置，如圖： 圖 教室出口處的密度變化示意圖 i 教室出口處的密度變化率：取平均位置，設(shè)撤離人員流出位置為教室門 處，列微分方程如下：簡(jiǎn)化得：令t0有：原式iv 樓梯間里面各個(gè)位置密

15、度的變化率：針對(duì)于樓梯間內(nèi)部，將其類比為某一樓層的走廊，各個(gè)樓層進(jìn)入樓梯間的 撤離人員數(shù)量相當(dāng)于該樓層各個(gè)教室進(jìn)入走廊的數(shù)量?；诖思僭O(shè)，列出類似微分方程： 最終只需計(jì)算出從出口撤離的人員數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系即可： 此時(shí)，經(jīng)過(guò)時(shí)間T，所有人員撤離完畢，有如下方程： 反解出T 即可。此時(shí)所有人員撤離需要的時(shí)間為： 但是由于模型三方程過(guò)于復(fù)雜，無(wú)法給出解析解，只能利用微分轉(zhuǎn)差分進(jìn)行數(shù)值分析。鑒于前兩個(gè)模型已經(jīng)給出相應(yīng)的撤離時(shí)間，故此模型并沒(méi)有作相應(yīng)的計(jì)算，僅作為一更詳細(xì)的基本方程。5.2 問(wèn)題二 5.2.1 模型建立 題目要求給出撤離時(shí)間最短的時(shí)候的人員撤離方案，由圖可以清楚的看 出，撤離人員的總?cè)藬?shù)

16、即為圖像所圍成的面積。 在總?cè)藬?shù)不變的情況下，要縮短撤離總時(shí)間，只能使得各個(gè)時(shí)刻出口處的 人流量保持最大值，增大圖像面積，如圖8 豎線所示。 根據(jù)上題分析，出口處人流量降低的主要原因是樓道人流量密度過(guò)大，導(dǎo) 致撤離速度降低、人流量變小。 為解決上述問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)在撤離過(guò)程進(jìn)行了50 秒左右時(shí)，保持樓梯間的人 員數(shù)量，使得人流量密度為最恰當(dāng)?shù)臄?shù)值。 由圖8 可知，人流量最大為每秒4.3 人，要保持人流量密度則要從教室進(jìn) 入走廊的人數(shù)等于撤離教學(xué)樓的人數(shù)。5.2.2 模型檢驗(yàn) 根據(jù)參考文獻(xiàn) 中，給出的相應(yīng)的疏散時(shí)間經(jīng)驗(yàn)公式： 其中： Tmart 表示穩(wěn)定前時(shí)間； N 表示總?cè)藬?shù)； Ls 表示逃生口寬度

17、； E 表示有效流動(dòng)系數(shù)； 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取E=1.1 人/秒，根據(jù)我們的基本數(shù)據(jù)，計(jì)算出來(lái)的撤離總時(shí)間為 383.98 秒。與計(jì)算得到的撤離時(shí)間相似，結(jié)果較為符合實(shí)際。 5.3 問(wèn)題三 結(jié)合問(wèn)題一中模型三的方程，考慮樓房設(shè)計(jì)的最合理方案，給出該微分方程： 根據(jù)上述方程，可以明顯看出，要是某時(shí)刻撤離的人員最多能采取如下方法： 1）增大走廊的寬度 以及樓梯間的寬度 ； 2）一般應(yīng)在靠近建筑標(biāo)準(zhǔn)層的兩端設(shè)置樓梯間。樓梯間的布置應(yīng)均勻。且有多方向的出口。 3）高樓層應(yīng)配套增加緊急通道，可以直接從5 樓到達(dá)1 樓； 4）增設(shè)廣播設(shè)備，當(dāng)險(xiǎn)情發(fā)生時(shí)能夠及時(shí)通知，縮短人員的反應(yīng)時(shí)間； 5.4 問(wèn)題四 5.4.1

18、 模型準(zhǔn)備 根據(jù)4.2 節(jié)中的用作模型檢驗(yàn)的撤離時(shí)間經(jīng)驗(yàn)公式，定義撤離時(shí)間如下： 其中： T 為需要的總時(shí)間； Tmart 為達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)之前需要的準(zhǔn)備時(shí)間； N 為整棟樓的總?cè)藬?shù)； Q 平均每秒鐘的撤離的人數(shù)； 5.4.2 考慮擁堵時(shí)候的撤離時(shí)間 如果不考慮擁堵情況，第i 層人員的撤離時(shí)間 滿足上述定義，總時(shí)間即為其求和 。 現(xiàn)在考慮擁堵情況，故在此基礎(chǔ)上加入混亂時(shí)間 表示第i 層的人員和第i+1 層的人員交匯之后因?yàn)閾矶庐a(chǎn)生的附加時(shí)間。時(shí)整個(gè)撤離時(shí)間即為： i 認(rèn)為 與相鄰兩層人員的速度差成正比關(guān)系， Ii 如果Vi>Vi+1，說(shuō)明下層人的速度大于上層，上層人員無(wú)法進(jìn)入下層人員的撤離人流，對(duì)下層影響很小； iii如果 Vi<Vi+1，說(shuō)明下層人的速度小于上層，上層人員混入下層人員的撤離人流，對(duì)下層