基本不等式的應(yīng)用(適合高二必修五)

1、請瀏覽后下載，資料供參考，期待您的好評與關(guān)注!基本不等式的應(yīng)用.基本不等式2 u 21 .(1)若 a,b R,則 a2 b22ab (2)若 a,b R ,則 ab a一b_ (當(dāng)且僅當(dāng) a b 時取“二”)2a b2 .(1)若 a,b R ,則 a_b %；ab (2) 若 a,b R,則 a b 2ab (當(dāng)且僅當(dāng) a b 時取“=”)22(3)若a,b R*,則ab U (當(dāng)且僅當(dāng)a b時取“二”)21 一 13.若x 0,則x 2 (當(dāng)且僅當(dāng)x 1時取“=”)；若x 0,則x 2 (當(dāng)且僅當(dāng)xxx若x 0,則x 1 2即x 1 2或x 1 -2 (當(dāng)且僅當(dāng)a b時取“=”) xxx

2、4.若 ab2 (當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“二”)若ab 0,則a b 2即a b b a b aa b2或a b -2 (當(dāng)且僅當(dāng)a b時取"=”)b a5.若 a,bR,則(S)222.2a一b_ (當(dāng)且僅當(dāng)a b時取"二”)2注：(1)當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的 積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應(yīng)用.應(yīng)用一：求最值例1 :求下列函數(shù)的值域(1) y=3x 2+$ y=x+1nxx解

3、：(1) y = 3x 2+2x2 >2Aj3x 2 21x2 =V6值域為« , +8)(2)當(dāng) x>0 時,一，1當(dāng) x<0 時，v= x+x=2;，值域為(一00, 2 U 2 , +8)解題技巧：技巧一：湊項例1 :已知x 5 ,求函數(shù)y 4x 21 的最大值。44x 5解：因4x 5 0,所以首先要“調(diào)整”符號，又(4x 2)1不是常數(shù)，所以對4x 2要進(jìn)行拆、湊項, 4x 5"511x 一，5 4x 0， y 4x 2 5 4x 32 3 1144x 55 4x一，1當(dāng)且僅當(dāng)5 4x即x 1時，上式等號成立，故當(dāng) x 1時，ymax 1。5 4

4、x評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1.當(dāng)0C克U 4時，求y x(8 2x)的最大值。解析：由口匕工(4知，&-2Q 0 ,利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x) 8為定值，故只需將y x(8 2x)湊上一個系數(shù)即可。y三工0一2力三：21.部一2初£；干上一2亍三2當(dāng)2或=8-2工，即x= 2時取等號 當(dāng)x=2時，y x(8 2x)的最大值為8。評注：本題無法直接運用基本不等式求解,但湊系數(shù)后可得到和為定值,從而可利用基本不等式求最大值。3變式：設(shè)0 x 求函

5、數(shù)y 4x(3 2x)的最大值。2有3斛：1 0 x -3 2x 0，y 4x(3 2x) 2 2x(3 2x)22x32x92 -22當(dāng)且僅當(dāng)2x 3 2x,即x0,3時等號成立。2技巧三：分離x2例3.求y 7x 10 r(x1)的值域。解析一：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有(x+1)的項，再將其分離。/ +7x+10 0+"+ -h 1) + 4V - -彳+1當(dāng)工-1，即口時,2,(x 1) 5, x 19 (當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”號)。f (x) x 的單調(diào)性。x例：求函數(shù)yx2 5x-的值域。x2技巧四：換元解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換

6、元，令t=x+1,化簡原式在分離求最值。(t 1)2 7(t 1)+10 t2 5t 4 , 4 uy = t - 5ttt當(dāng)天、T ,即tH13 0時，y 2,t 4 5 9(當(dāng)1=2即乂= 1時取號)。評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最A(yù)值。即化為y mg(x) B( A 0, B 0) , g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運用基本不等式來求最值。g(x)技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)解：令 &_4 t(t 2),則 y 勺 5&_4 t 1(t 2)x24x2 4 t. 1.

7、1 .因t 0,t - 1,但t -解得t 1不在區(qū)間2,，故等號不成立，考慮單調(diào)性。tt一、，1 一 5因為y t -在區(qū)間1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故 y 。t2 5所以，所求函數(shù)的值域為5,。2練習(xí).求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x的值.X2 3x 1 一一 11(1) y ,(x 0) (2)y 2x ,x 3 (3) y 2sin x ,x (0,)xx 3sin x2.已知0 x 1,求函數(shù)y Jx(1 x)的最大值.；3. 0 x -,求函數(shù)y ，x(2 3x)的最大值. 3條件求最值1.若實數(shù)滿足a b 2,則3a 3b的最小值是分析：“和”到“積

8、”是一個縮小的過程，而且 3a 3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解：3a 和3b 都是正數(shù)，3a 3、2d3a 3b 2j3ab 6當(dāng)3a 3b時等號成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即當(dāng)a b 1時，3a 3b的最小值是6.11變式：若log4 x log 4 y 2 ,求一 一的最小值.并求x,y的值 x y技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。19.一一1 9錯解：；x 0, y 0 ,且1 - 1 , x y錯因：解法中兩次連用基本不等式，在x y 2'xy等號成立條件是x2：已知x 0, y 0 ,且一一1,求x

9、 y的最小值。 x y一一19-條件是一 一即y 9x，取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用基本不等式處理問題時，列出 x y等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解:x 0, y 0, 1, x y x y 10 6 10 16x yxyxyy 9x1 9當(dāng)且僅當(dāng) 時，上式等號成立，又 一 一1,可得x 4, y 12時，x y min 16 。xyx y變式：(1)若x,y R且2x y 1,求1的最小值 x y(2)已知a,b,x,y R且旦b 1,求x y的最小值x y技巧七、已知x, y為正實數(shù)，且x 2 + y2- =1,求xjl + y 2的最

10、大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式a 2+b 2ab<一2一同時還應(yīng)化簡于不產(chǎn)中y2前面的系數(shù)為xi + y2 = x1 + y 22 22+y2-分別看成兩個因式:卜面將X,2y_21x +2 +22技巧八：已知a, b為正實數(shù)，2b+ab+a=30,求函數(shù)分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑， 性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的； 件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值, 的途徑進(jìn)行。1 ，一 ，八y=-的最小值.ab一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題二是直接用基本 不等式，對本題來說， 考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式,

11、再用單調(diào)因已知條4302b302b2 b2+30b法- a= 卜 1 - ,ab= , , d- , b =7.Zb+1'b+ 1b+ 1由 a>0得，0vbv15人2t 2+ 34t 311616/16令 t= b+1, 1<t< 16, ab =1 =- 2 (t+y ) + 34-t + >2,J t - =81ab< 18y> 而 當(dāng)且僅當(dāng)t=4,即b=3, a= 6時，等號成立。法二：由已知得：30ab=a +2b. a +2bA2d2 ab. 30 abn2M2 ab令 u= "Tab-則 u2+2小 u 30W0, 5小 wu

12、W32. yab- <32 , abW18, .7>18點評：本題考查不等式 a一b Jab (a,b R )的應(yīng)用、不等式的解法及運算能力；如何由已知不等2式ab a 2b 30(a,b R )出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到a b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式ab Vab (a,b R ),這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，進(jìn)而解得 ab的范圍.2變式：1.已知a>0, b>0, ab (a + b)=1,求a+b的最小值。2.若直角三角形周長為 1,求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知x, y為正實數(shù)，3x+ 2y=10,求函數(shù) W=啊 +而的最值.解法一

13、：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，互乎 w*，本題很簡單啊 2y &巾 7 (遍)2+ (V2y)2 =啦13x+ 2y =275解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和 為定值”條件靠攏。W>0, W2=3x+ 2y+2強(qiáng) 煙 =10 + 2小 必 w 10+(修)2 (煙)2 = 10+(3x+2y)= 20 w< V20 =2乖變式：求函數(shù)y J,2x15-2x(1 x 5)的最大值。22解析：注意到2x 1與5 2x的和為定值。y例：已知x 0, y 0且一- x y (、2x 1 、5 2x)2 4 2.

14、,(2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8又y 0,所以0 y 2>/2當(dāng)且僅當(dāng)2x 1 = 5 2x,即x 9時取等號。 故ymax 2我。2評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件?？傊覀兝没静坏仁角笞钪禃r，一定要注意“一正二定三相等"，同時還要注意一些變形技巧，積 極創(chuàng)造條件利用基本不等式。應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式1,已知a,b, c為兩兩不相等的實數(shù)，求證： a2 b2 c2 ab bc ca1)正數(shù) a, b, c 滿足 a+b+c=1,求證：(1 a)(1 b)(1 c)> 8abc111例

15、6：已知 a、b、c R ,且 a b c 1。求證：一 1 一 1 一 18abc分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個“2”連乘，又1 1b_c 2 bc ,可由此變形入手。a a a a解：；a、b、c R , a11 a b c 2. bc 1 2 2. ac 12, ab-1 。同理一1 , - 1 a a a ab b c c18。當(dāng)且僅當(dāng)a b c 1時取等號。3上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得1 1 1 1 1 12、bc j2 , ac. . aba b c a b c應(yīng)用三：基本不等式與恒成立問題1 ,求使不等式x ym恒成立的實數(shù) m

16、的取值范圍。kx9x 9y.10y 9x . 1. 1kykkx ky19解：令 x y k, x 0, y 0, - - 1 ,x y,10_ 3._12 o k16, m ,16k k應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：1 a b.例：右 a b 1,PWgalgb,Q (lga lg b), R lg()，則 P,Q, R的大小關(guān)系是. 2 2分析：a b 1 lg a 0,lg b 0Q - ( lg aR lg(Tlgb) . lga lgblg . ab 1lg abQ R>Q>P?；静坏仁骄毩?xí)題(1)1、若實數(shù)x, y滿足X2y24 ,求xy的最大值92、若x>0,求f (x) 4x 的最小值；X4C ,、1 , 一，一3、若x 0,求y x 的最大值x.94、若x<0,求f (x) 4x 一的最大值 x一9 一，5、求f(x) 4x (x>5)的取小值.x 56、若x, y R , x+y=5 ,求xy的最值7、若 x, y R , 2x+y=5 ,求 xy 的最值2)8、已知直角三角形的面積為 4平方厘米，求該三角形周長的最小值基本不等式練習(xí)題11、求y x ( x 3)的取小值.x 32、求y x(5 x) (0 x 5)的最大值. 1、，3、求y x(1