電磁場與電磁波Chap3 礦大

1、第三章 恒定電場3.1 基本方程一 恒定電場的有關定義1 恒定電流與恒定電場、恒定磁場1）恒定電流：不隨時間變化的電流2）恒定電場：促使電荷定向運動以形成恒定電流的場3）恒定磁場：恒定電流產(chǎn)生的磁場2 電流密度1）與電流強度關系（1）電流：單位時間內穿過某一截面的電荷，稱為這個面上的電流，用表示。 電流方向：規(guī)定為正電荷的運動方向。 電流大小：也稱電流強度，即 。（2）電流密度：垂直穿過某一單位面積上的電流，稱為電流密度，用表示。 電流密度方向：正電荷運動方向。 電流密度大?。骸＃?）電流密度與電流強度的關系： 空間某點的電流密度同該點電荷密度的關系： 在電場強度E的作用下，體積元內的電荷在

2、時間內以速度v全部穿過。設電荷密度為， 單位體積內電荷個數(shù)為N，一個電荷的帶電量為q。圖3.1.1 電流密度與電場強度圖示 則穿過的電流大小為：故電流密度為：（多種載流子）電流密度與電流強度的關系：穿過任意表面S的電流等于電流密度矢量穿過這個表面的通量，即 。2）體、面電流密度（1）體電流密度：體電流：電荷在某一體積內定向運動所形成的電流。體電流密度：在垂直電荷運動的方向取一個面元S，如圖所示。如果通過此面元的電流為I，則定義體 電流密度為的值為：，其方向為正電荷運動方向。體電流密度與電荷密度的關系：圖3.1.2 體電流密度圖示 （2）面電流密度：面電流：電荷在一個厚度可以忽略的薄層內定向運動

3、所形成的電流。 面電流密度：在表面上垂直于電荷運動方向取一線元，如圖所示。如果穿過此線元的電流為，則定義面電流密度的值為：，方向為正電荷運動方向。圖3.1.3 面電流密度圖示面電流密度與電荷密度的關系為：二 基本方程1 電流連續(xù)性方程： 對上式左邊應用散度定理得：。2 恒定電場的基本方程1）電流恒定：電流不隨時間改變，即。代入電流連續(xù)性方程，得：，相應微分形式： 。結論：恒定電場中，從任意閉合面?zhèn)鞒龅碾娏骱銥榱恪?）電場保守：由于在恒定電流的狀態(tài)下電荷分布并不隨時間改變，因此恒定電場也是保守場，電場強度沿任一閉合路徑的線積分恒為零，即：。相應的微分形式：。結論：恒定電場是保守場。因此，恒定電場

4、可以用電位梯度表示為： 3 電場強度仍滿足拉普拉斯方程： ，代入中，結論：均勻導電媒質中的電位滿足拉普拉斯方程，即： 3.2 導電媒質中的傳導電流一 導體回路中的電場1 電源電位的產(chǎn)生：維持持續(xù)電流必須在導體上連接電源。在電源內有一種驅使電荷從負極向正極運動的力，使兩極間產(chǎn)生電位差。1）電源內的電場：有兩部分組成。圖3.2.1 導體回路電場圖示（1）電源內非電荷產(chǎn)生的場：電源內部對電荷的作用力可以看作電源內部存在一個等效電場，方向是從電源負極指向正極。（2）電源內電荷產(chǎn)生的場：由電極上的電荷產(chǎn)生的場，方向是從電源正極指向電源負極。2）電源外的電場：由電極上的電荷產(chǎn)生的場，方向是從電源正極指向電

5、源負極。3）電荷q沿導體所構成的閉合路徑運動一周所作的功： 4) 電源電動勢的產(chǎn)生：令，稱為電動勢。結論：電源內存在非保守場，所以積分回路穿過電源時，總電場的線積分不等于零，而等于。2 電源外部的壓降：令，稱為電源端電壓。結論：電源外只存在保守場，所以積分回路不經(jīng)過電源時，總有。二 有關電路定律1 歐姆定律 1）場的形式：空間某點電流密度： 由動量定理可推出： 歐姆定律微分形式。 其中，稱為金屬電導率。歐姆定律積分形式。2）路的形式：前面已證明 ，得到 ，得到 由，得到 ，一段導線的歐姆定律。因此，電阻電導2 焦耳定律1）點電荷q在電場的作用下移動距離。電場力所做功為：，功率為：2）單位體積中

6、： 焦耳定律微分形式3）體積V中： 焦耳定律積分形式3 基爾霍夫電流定律由，在電路某一結點的閉合圓內可以得出即基爾霍夫電流定律。4基爾霍夫電壓定律由，在某一閉合電路內可以得出，即基爾霍夫電壓定律。討論思考：場與路的關系 微觀點與宏觀面體 一般與特殊三 拉普拉斯方程由3.1節(jié)可知，代入中，設導體均勻，即是常數(shù)。有：，即。又已知，代入上式得：，即： 結論：導體中的電位和靜電場無電荷空間的電位一樣，是滿足拉普拉斯方程的。E1q1q2J2J1四 邊界條件1 J：2 E：圖3.2.2 邊界條件圖示3 U：（，）4 ：（，）說明：，得出，得出1）2）注意：D 在恒定電場介介界面的兩側的邊界條件的變化例1（

7、第2版P96頁例3.2）一個有兩層介質、的平行板電容器，兩層介質都具有電導率，分別為、。在外加電壓U時，求通過電容器的電流和兩層介質分界面上的自由電荷密度。電容器的結構如圖所示。分析： U=Ed； E=J/，D=e；s1e1e2s2d1d2 ，解：（方法一）圖3.2.3 例題圖示 ， ，（方法二）上底， 下底 ， ， 由 ， 得到： 由， 得到：，又例2：（浙大，P495頁）如圖所示，內導體半徑為a、外導體半徑為c的同軸線內填充兩種漏電媒質，其介電常數(shù)分別為1 、2，電導率分別為1、2，分界面為r=b的圓柱面。若在內外導體間加電壓V，求內外導體的電場強度E，電流密度J及r=b界面上的自由電荷。

8、圖3.2.4 例題圖示解：設加電壓后內導體單位長度的帶電量為；由于加電壓后有沿著徑向的漏電流，故在的界面上有自由電荷分布，鑒于系統(tǒng)結構的對稱性，是均勻分布的。根據(jù)高斯定理，內外導體電場的形式解為：，當時，應用邊界條件，因為本題中，電流只有法向分量，故有，或將的、代入上式得到： 或 內外導體間電壓為：所以：代入電場強度的形式解中，并注意到，得到：，根據(jù)，兩種導電媒質中電流密度的數(shù)學表達式可統(tǒng)一為：柱面上自由面電荷為：五 小結1.球形：2.圓柱：3.平行板：習題p101，3.6，p77，3.273.3 恒定電場與靜電場的類比一 以平行板系統(tǒng)為例的類比1 參量及其表達式圖3.3.1 平行板圖示恒定電

9、場靜電場基本方程位函數(shù)方程邊界條件恒定電場靜電場物理量2 有關對應量由表可知，兩種場的各個物理量之間有以下一一對應關系： ；。1）泊松方程、靜電比擬法。（1）* 有關于泊松方程的進一步說明？ 由表可知，兩個場的電位都是拉普拉斯方程的解（見3.1節(jié)），所以如果兩個場用電位表示的邊界條件相同時，則兩個場的解必定是相同的。（2）靜電比擬法因此，對于某一恒定電場的邊值問題，如果對應的靜電場邊值問題是已經(jīng)有解的，則恒定電場的解便可以利用上面的對偶關系直接寫出，無需重新求解，這個方法也稱為靜電比擬法。2） 理論說明：C與G的對應性在靜電場中，兩導體間充滿介電常數(shù)為的均勻電介質時的電容為：在恒定電場中，兩個

10、電極間充滿電導率為的均勻導電媒質時的電導為：比較兩式可以看出，如果在靜電場中兩導體的電容為已知，則用同樣的兩個導體作電極時，填充均勻導電媒質的電導就可直接從電容的表達式中將換成而得到。3 靜電比擬法舉例：利用靜電場有關結論求解恒定電場問題1）舉例。例：（第2版p95頁例3.1）設同軸線填充的介質的，即具有微小的漏電，同軸線外加電壓U，求漏電介質中單位長度的電導。其內外半徑分別為a及b。解：（方法一：直接求）把導體表面看坐是等位面，這樣拉普拉斯方程為：積分兩次，得到的解為：代入邊界條件： 得： 單位長度同軸線的漏電流為單位長度的漏電導為（方法二：對偶性）由靜電場中的電容公式：利用對偶性，將換為，可直接寫出恒定電場的電導公式：小結：對比兩種方法，顯然方法二更為簡單。二 電阻計算（P