球棒系統(tǒng)的建模及反饋控制

1、球棒系統(tǒng)的建模及反饋控制題 目:球棒系統(tǒng)的建模及反饋控制姓 名:學(xué) 院:班 級:學(xué) 號:指導(dǎo)教師: 年 月 日 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)教務(wù)處制球棒系統(tǒng)的建模及反饋控制設(shè)計(jì) 由剛性球和連桿臂構(gòu)成的球棒系統(tǒng)，如下圖所示。連桿在驅(qū)動力矩 作用下繞軸心點(diǎn)做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。連桿的轉(zhuǎn)角和剛性球在連桿上的位置分別用,表示, 設(shè)剛性球的半徑為R。當(dāng)小球轉(zhuǎn)動時(shí), 球的移動和棒的轉(zhuǎn)動構(gòu)成復(fù)合運(yùn)動。 球棒系統(tǒng)是一個(gè)典型的多變量的非線性系統(tǒng)。該系統(tǒng)通過操作驅(qū)動力矩的控制使剛性球穩(wěn)定在連桿的中心位置。利用拉格朗日方程建立球棒系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型, 并用狀態(tài)反饋的方法設(shè)計(jì)球棒系統(tǒng)的控制器, 通過給出具體的數(shù)據(jù)并進(jìn)行計(jì)算, 再利用這些數(shù)據(jù)進(jìn)行模

2、擬仿真。仿真表明利用狀態(tài)反饋法設(shè)計(jì)的控制器, 可以實(shí)現(xiàn)球棒系統(tǒng)的穩(wěn)定控制, 即剛性球隨動力臂一起轉(zhuǎn)動時(shí)不發(fā)生滾動。剛性球與機(jī)械臂的動態(tài)方程由下式描述：。選取剛性球的位移和其速度，以及機(jī)械臂的轉(zhuǎn)角 及其角速度作為狀態(tài)變量，令，可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：設(shè)球棒系統(tǒng)各參數(shù)如下：., 實(shí)習(xí)內(nèi)容：1.將系統(tǒng)在平衡點(diǎn)x =0處線性化,求線性系統(tǒng)模型；先求平衡點(diǎn)；令，解得： 由題可知平衡點(diǎn)為處，故即。將球棒系統(tǒng)各參數(shù)帶入得：由于A矩陣特征值為-7.657,7.657i，-7.657i，7.657，可知該開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2利用狀態(tài)反饋，將線性系統(tǒng)極點(diǎn)配置于求出狀態(tài)反饋控制增益，并畫出小球初始狀態(tài)為橫桿角度

3、為和初始狀態(tài),橫桿角度為時(shí)的仿真圖像。1、判斷可控性：系統(tǒng)完全能控，能通過狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)。Matlab編程：>> a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;>> Uc=b,a*b,a2*b,a3*b;>> rank(Uc)ans = 42、狀態(tài)反饋控制增益：K =-0.4940 -0.0043 0.3600 0.1200 Matlab 編程：>> a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0

4、,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;d=0;>> p=-1+2j,-1-2j,-2+j,-2-j;>> K=acker(a,b,p)Warning: Pole locations are more than 10% in error.K = -0.4940 -0.0043 0.3600 0.12003、添加反饋后的A矩陣：>> a-b*Kans = 0 1.0000 0 0 0 0 -140.1400 0 0 0 0 1.0000 0.1784 0.2141 -18.0000 -6.0000狀態(tài)方程為：4、小球初始狀

5、態(tài)為橫桿角度為仿真圖像：球初始狀態(tài)為橫桿角度為圖像通過matlab編程繪圖（X1，X2，X3，X4）>> A=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;0.1784,0.2141,-18,-6;>> B=0;0;0;49.995;>> C=1,0,0,0;0,0,1,0;>> D=0;>> x0=0.3;0;pi/6;0;sys=ss(A,B,C,D)>> y,t,x=initial(sys,x0);>> plot(t,x)5、小球初始狀態(tài)為初始狀態(tài),橫桿角度為時(shí)的仿真圖像：初始狀態(tài),橫桿角度

6、為時(shí)圖像通過matlab編程繪圖（X1，X2，X3，X4）>> A=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;0.1784,0.2141,-18,-6;B=0;0;0;49.995;C=1,0,0,0;0,0,1,0;D=0;x0=-0.3;0;-pi/6;0;sys=ss(A,B,C,D);>> y,t,x=initial(sys,x0);>> plot(t,x)6、simulink仿真：球初始狀態(tài)為橫桿角度為的仿真圖像：初始狀態(tài),橫桿角度為時(shí)的仿真圖像：3設(shè)計(jì)具有合適極點(diǎn)的全維觀測器，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，給出狀態(tài)反饋增益和觀測器增益，并畫出小

7、球初始狀態(tài)為，橫桿角度為和初始狀態(tài)，橫桿角度為時(shí)的仿真圖像，以及觀測器輸出與系統(tǒng)狀態(tài)差值圖像。1、狀態(tài)反饋重新配置：由第二問圖像知，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量都比較大，運(yùn)行matlab時(shí)，系統(tǒng)還提示：Warning: Pole locations are more than 10% in error.這主要由于極點(diǎn)配置不合理導(dǎo)致的。下面我們采用主導(dǎo)極點(diǎn)的方法對系統(tǒng)的性能進(jìn)行改進(jìn)，令系統(tǒng)性能指標(biāo)： 超調(diào)量為5%，調(diào)整時(shí)間為0.5s。根據(jù)公式，等到，根據(jù)典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可知：s12=。系統(tǒng)為四階，其他的兩個(gè)極點(diǎn)可選為實(shí)部大于5倍S1,2的任意數(shù)，此處選擇6倍極點(diǎn)s34。2、狀態(tài)反饋增益：k =

8、-93.2933 -12.8900 130.1832 2.2402Matlab編程：>> a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;>> p=-8-8.39*j,-8+8.39*j,-48+8.39*j,-48-8.39*j;>> k=acker(a,b,p)k = -93.2933 -12.8900 130.1832 2.2402>> a-b*kans = 1.0e+003 * 0 0.0010 0 0 0 0 -0.1401 0

9、 0 0 0 0.0010 2.2770 0.3632 -4.0448 -0.11203、觀測器增益：>> Uo=c;c*a;c*a2;c*a3;>> rank(Uo)ans = 4系統(tǒng)完全能觀，可設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器。根據(jù) Rei A-EC = (35 )Rei A-BK，選擇極點(diǎn) S12=-248.39j，S34=-1448.39j求G，A-Gc：Matlab編程：>> a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;p=-24-8.39*j,-24+

10、8.39*j,-144-8.39*j,-144+8.39*j;>> c=c'a=a'G=place(a,c,p);>> G'ans = 1.0e+003 * 0.1749 0.0090 4.0707 -0.0659 0.0461 0.1611 7.7485 3.4456>> a=a'-(G')*(c')a = 1.0e+003 * -0.1749 0.0010 -0.0090 0 -4.0707 0 -0.0742 0 -0.0461 0 -0.1611 0.0010 -7.7730 0 -3.4456 04、

11、小球初始狀態(tài)為，橫桿角度為時(shí)的圖象：Matlab編程：>> a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;d=0;p=-8-8.39*j,-8+8.39*j,-40+8.39*j,-40-8.39*j;>> k=acker(a,b,p);a1=a-b*k;u=0;G=ss(a1,b,c,d);x0=0.3,0,pi/6,0;y,t,x=initial(G,x0);plot(t,x) 5、小球初始狀態(tài)為初始狀態(tài)，橫桿角度為時(shí)的圖像：>> a=0,1,

12、0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;d=0;p=-8-8.39*j,-8+8.39*j,-40+8.39*j,-40-8.39*j;k=acker(a,b,p);a1=a-b*k;u=0;G=ss(a1,b,c,d);x0=-0.3,0,-pi/6,0;>> y,t,x=initial(G,x0);plot(t,x)simulink仿真：小球初始狀態(tài)為，橫桿角度為時(shí)的仿真圖：小球初始狀態(tài)為初始狀態(tài)，橫桿角度為時(shí)的仿真圖像：6、小球初始狀態(tài)為橫桿角度為圖像（t-e）：Matl

13、ab編程：>> a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;>> b=0;0;0;49.995;>> c=1,0,0,0;0,0,1,0;>> d=0;>> p=-8-8.39*j,-8+8.39*j,-48+8.39*j,-48-8.39*j;>> k=acker(a,b,p);>> a1=a-b*k;>> u=0;>> G=ss(a1,b,c,d);x0=0.3,0,pi/6,0;y,t,x=initial(G,x0);plot(t,x

14、)7、小球初始狀態(tài)為橫桿角度為圖像（t-e）：Matlab編程：>> a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;>> b=0;0;0;49.995;>> c=1,0,0,0;0,0,1,0;>> d=0;>> p=-8-8.39*j,-8+8.39*j,-48+8.39*j,-48-8.39*j;>> k=acker(a,b,p);>> a1=a-b*k;>> u=0;>> G=ss(a1,b,c,d);x0=-0.3,0,-pi/6,0

15、;y,t,x=initial(G,x0);plot(t,x)8、simulink仿真小球初始狀態(tài)為橫桿角度為仿真圖像（t-e）：小球初始狀態(tài)為橫桿角度為仿真圖像（t-e）：4、分析和結(jié)論：當(dāng)系統(tǒng)可控時(shí)，我們可以通過狀態(tài)反饋對極點(diǎn)進(jìn)行任意配置，而合適的極點(diǎn)選取對系統(tǒng)的性能有著很大的影響。第二問中我們對題目給定的極點(diǎn)進(jìn)行狀態(tài)反饋參數(shù)配置，畫出仿真圖后發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)性能很不理想，經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)這其實(shí)是系統(tǒng)的極點(diǎn)選取不理想導(dǎo)致的，這就需要我們在第三問中對極點(diǎn)進(jìn)行重新配置。我們選取了主導(dǎo)極點(diǎn)的方法對系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)，一開始對能否用主導(dǎo)極點(diǎn)的方法我們還是有疑問的，因?yàn)樵诘谝粏栔形覀冇?jì)算得到這是一個(gè)零輸入系統(tǒng)，而在自控原理中超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間的公式都是在二階系統(tǒng)有階躍響應(yīng)輸入情況下計(jì)算的到的。最后，我們發(fā)現(xiàn)狀態(tài)反饋回來的值其實(shí)就