高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)課件

1、高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件 高階導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件一、高階導(dǎo)數(shù)的定義問題問題: :變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度.),(tfs 設(shè)設(shè))()(tftv 則瞬時(shí)速度為則瞬時(shí)速度為的的變變化化率率對(duì)對(duì)時(shí)時(shí)間間是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta定義定義.)() )(,)()(lim) )(,)()(0處處的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱存存在在即即處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)如如果果函函數(shù)數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 瞬時(shí)速度為路程對(duì)時(shí)間的

2、變化率高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記記作作階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為的的函函數(shù)數(shù)一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù).)(;)(,稱稱為為一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為零零階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)相相應(yīng)應(yīng)地地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),.,),(44)4()4(dxydyx

3、f( )yf x( )yfx( )( )yfxfx高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件二、 高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則例例).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 直接法直接法: :由由高階導(dǎo)數(shù)的定義高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)逐步求高階導(dǎo)數(shù).211( )uu 222211 (1)()1(1)xxx 2 222 22 422(1)( 2 ) 2(1) 2()(1)(1)xxxxxxx 422 22 42642()(1)(1)

4、xxxxx222 22 42(22)(31 )()(1)(1)xxxxx高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件例 設(shè)),1ln(2xy , yy,sin xeyx求例 設(shè))0(y例設(shè)),(ln)(2xfxfy求求y高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件例例.),0,()()(nyaxRaaxy求設(shè)解解1)(axy)(1 axy2)(1(ax3)(2)(1(ax)(1(2 axy) 1()(1() 1()(naxnynn則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 求求n階導(dǎo)數(shù)時(shí)階導(dǎo)數(shù)時(shí),求出求出1-3或或4階后階后,不要急于合并不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)

5、律性,寫出寫出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法)注意注意: :三、幾個(gè)初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件例例.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)22sin( x)22sin( xcosyx)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得(4)sinyxsinyx )2cos( xy)22cos( xycossin()2( )(sin)?(nkxk思考：為常數(shù)）( )(sin)sin()2nnkxkkxn 高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件(4)43 2(1)yx 32 1(1)yx 例例.),1ln()(

6、nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xy 112)1(1xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn211()(1)1(1)xxx2231 (1) (1)2(1)xxx 3)1(! 2xy 33422(1) (1)2 3(1)xxx 4)4()1(! 3xy ).?()(ln()(為常數(shù)kxkn:思考) 1()()!1() 1(1nxknnn高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件二、高階偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算二、高階偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，)(xz)(yzx )(xzy ),()(2

7、2yxfyzyzyyy則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù) . 按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx數(shù):高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為3322)(xzxzx,),()()(00連續(xù)都在點(diǎn)和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則定理定理.本定理對(duì) n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.(證明略) 例如例如, 對(duì)三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzy

8、xfzyxfyxzxzyzyx),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)連續(xù)時(shí), 有高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件yxe22例例. 求函數(shù)yxe22yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyz32 zxy2 zyxyxe2yxe22yxe2yxe22的二階偏導(dǎo)數(shù)及 說明說明:函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) , 而初等注意注意: :,22xyzyxz但這一情形并不總成立.高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件例例. 證明函數(shù)222,1z

9、yxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證：證：xu22xu利用對(duì)稱性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件思考思考: 設(shè)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),),(yxfu 證明下列表達(dá)式在極坐標(biāo)系下的形式:22222)(1)()()( uuyuxu 2222yuxu22 u2221 u u1高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件 參數(shù)方程與隱函數(shù)方程微分法參數(shù)方程與隱函數(shù)方程微分法一、參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)一、參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)二、隱函數(shù)確定的函數(shù)求

10、導(dǎo)二、隱函數(shù)確定的函數(shù)求導(dǎo)高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件一、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程)()(tytx可確定一個(gè) y 與 x 之間的函數(shù))(, )(tt可導(dǎo), 且,0 )( )(22tt則0)( t時(shí), 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t時(shí), 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此時(shí)看成 x 是 y 的函數(shù) )關(guān)系,高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件若上述參數(shù)方程中)(, )(tt二階可導(dǎo),22ddxy)dd(ddxyx)dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)( t則由它確定的函數(shù))(xfy

11、 可求二階導(dǎo)數(shù) .利用新的參數(shù)方程,可得)()()(ttt 例例1 :,1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:求.dd22xy高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件例例. 設(shè))(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 解解:)()(tftfty)(, )(tyytxx為兩可導(dǎo)函數(shù)yx ,之間有聯(lián)系tytxdd,dd之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件31xy二、隱函數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)二、隱函數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)若由方程0),(yxF可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由)(xfy 表示的函數(shù) ,

12、 稱為顯函數(shù)顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)03275xxyy可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù)隱函數(shù) .則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法: 0),(yxF0),(ddyxFx兩邊對(duì) x 求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù) 的方程)y高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件例例. 求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù).0ddxxy解解: 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo))32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 時(shí) y = 0 , 故210ddxxy0確定的隱函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件例例. 求橢圓191622y

13、x在點(diǎn))3,2(23處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切線方程為323y43)2( x即03843 yx高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件例例)4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny對(duì) x 求導(dǎo)21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx兩邊取對(duì)數(shù)2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x解解:,求導(dǎo)函數(shù)?高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件 下面利用偏導(dǎo)數(shù)來(lái)考慮隱函數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)問題.定理定理1.1. 設(shè)函數(shù)),(00yxP),(yxF;0),(00yxF則方程00),(xyx

14、F在點(diǎn)單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連續(xù)yxFFxydd(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略. 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足0),(00yxFy滿足條件導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件例例. 驗(yàn)證方程01sinyxeyx在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù), )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令, 1sin),(yxeyyxFx,0)0 , 0(F, yeFxx連續(xù) ,由 定理1 可知,1)0 , 0(yF0, )(xfy 導(dǎo)的隱函數(shù) 則xyFy cos在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且求0ddxx

15、y0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx100yyx3高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件0 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyycos兩邊對(duì) x 求導(dǎo)1兩邊再對(duì) x 求導(dǎo)yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此時(shí)1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex導(dǎo)數(shù)的另一求法導(dǎo)數(shù)的另一求法 利用隱函數(shù)求導(dǎo)高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件定理定理2 . 若函數(shù) ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程0),(zyxF在點(diǎn)),(00yx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(000yxfz 定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略.滿足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)PPT課件例例. 設(shè),04222zzyx解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)0422xzxzzxzxz2 2