一堂初中數(shù)學DJP教學模式課堂實錄平方差公式

1、一堂DJP教學模式課堂實錄平方差公式（1）DJP教學的全稱是“導學講評式教學” 。由于“導學講評式教學”的核心概念是“導學”、“講解”與“評價”。因此，我們?nèi)　皩А?、“講”、“評”漢語拼音的第一個大寫字母，簡稱“導學講評式教學”為“DJP教學”。DJP教學是指學生在學案的引導和幫助下，在獨立閱讀教材、自主建構(gòu)知識意義的基礎上，通過與組內(nèi)同伴進行交流、面向全班講解以及師生對其講解進行評析的過程，獲得對知識的深入理解、數(shù)學思想方法的體驗與感悟、數(shù)學活動經(jīng)驗的積累，最終達到學會學習、學會交流、學會思考、學會評價的教與學活動。現(xiàn)將特級教師老師以平方差公式為例的一堂課實錄如下：王老師的第一節(jié)課向我們展示

2、的是導學課。導學的方式有很多，王老師這堂課主要采用的是“學案導學”。學案導學就是利用學案引導學生自主學習。什么叫學案？簡言之，學案就是引導和幫助學生自主學習的方案。學案，是教師在教學理論與學習理論的指導下，在認真解讀教材與分析學情的基礎上，根據(jù)課程標準的要求和學生的認知水平與知識經(jīng)驗，以學生的學為出發(fā)點，把學習的內(nèi)容、目標、要求和學習方法等要素有機地融入到學習過程之中而編寫的一個引導和幫助學生自主學習的方案在上這一節(jié)課時，王老師先給每位同學發(fā)了一張本節(jié)課要用的學案，然后講解導學要求：1、給合學案認真讀書。即對照學案的提示和要求來看書，是帶著學案的問題去看書，而非像故事會，只需瀏覽，且邊看還要邊

3、動手，要求計算的地方動手計算，關鍵語句動手畫線，關鍵詞動手標點，有疑問的地方用問號標注，有感想的地方寫明注解。2、和學生一起識學習目標： 會推導平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，并能正確地運用公式進行簡單的運算；經(jīng)歷探索平方差公式的過程，進一步發(fā)展數(shù)感和觀察、歸納與概括能力；經(jīng)歷探索平方差公式的過程，認識“特殊”與“一般”的關系，了解“特殊到一般”的認識規(guī)律和數(shù)學發(fā)現(xiàn)的方法； 在數(shù)學學習的過程中，體驗與領悟數(shù)學發(fā)現(xiàn)的成功感，感受數(shù)學發(fā)現(xiàn)學習的樂趣。 3、自學要求：首先每位同學獨立思考，認真完成，做完以后對于不懂的問題小組內(nèi)交流。評：雖然學生有了學案引導他們自學，但自學的方法和能力學生不一定

4、就完全具備，王老師在學生自學以前，教給了學生讀書的方法，并向?qū)W生提出了一些自學的要求，使學生知道如何學習，如何使用學案，而不是在課堂無事可做，盲目的自學。這也充分體現(xiàn)了教師在導學課中的“導”的作用。 向?qū)W生講解完導學要求以后，同學們就按照王老師提出的導學要求，結(jié)合教材，認真地完成起了學案的內(nèi)容。而王老師就一一檢查學生完成的情況，對于個別學生存在的問題及時的一一作答，排除學生完成學案過程中存在的問題，對于學生普遍性存在的問題，王老師就讓學先停下來，然后給學生一些提示后，再讓學生去做。大約二十分鐘以后，大多數(shù)學生的學案已經(jīng)做完，王老師就讓同學們以小組為單位，在小組長的帶領下，展開對答案、小組討論、

5、組內(nèi)講解等一系列的小組式處主學習活動。與些同時，王老師繼續(xù)深入各組，參與到各組的討論學習中去，繼續(xù)幫助同學們解決一些疑難問題，并告知同學們講解的方法和技巧，與此同時，還將下一節(jié)講評課各組要講的內(nèi)容分配到各個小組，讓他們討論完后，就將自己組內(nèi)要講的內(nèi)容，提前板書到小黑板上，為下節(jié)講評課作好充分的準備。由于同學人人都做了學案，因此，同學們討論得非常激烈，人人都有話可說，有事可做。離下課大約還有五分鐘的時候，各個小組就按照王老師的要求，將王老師分配的講解任務板書在了小黑板上。就這樣，一堂導學課在王老師的引導下有秩序、有組織、有內(nèi)容、有節(jié)奏中進行中，課堂氛圍活躍、自主學習體現(xiàn)得非常明顯。也為下一節(jié)課的

6、講評課作好了鋪墊、搭好了臺階。評：利用學案引導學生學習，給了學生充分自由思考的時間和空間讓學生先自己主動去試一試。學生在嘗試中難免會遇到困難、產(chǎn)生困惑，這是一件好事，這會讓學生在好奇心與認知驅(qū)力的驅(qū)動下就會主動地去尋找解決問題的方式和方法，如認真研讀教材、查閱學習資料、與同伴討論等，而導學課又給學生提供了時間和空間平臺。當仍然不能解決時就會急切期盼和尋求教師的點撥和講解。這樣，學習變成了學生自身的一種需要，使他們產(chǎn)生了“我要學”的愿望。在這種動機支配下，學生依靠自己的力量解決了問題又使他們產(chǎn)生了成功的喜悅，從而進一步能激發(fā)他們學習的積極性和主動性，使學習在一個良性循環(huán)的過程中前行。第二節(jié)課，王

7、老師向我們展示的是講評課，即講解、評價課。講解是指學生在利用學案自學教材后對小組同伴和全班同學表達自己對所學內(nèi)容的理解和知識的個人意義，與同伴進行交流。當然，導學課上，同學們已經(jīng)完成了組內(nèi)的講解，這一節(jié)課主要是面對全班同學的講解。評價就是學生和教師對師生講解的內(nèi)容進行評價分析，以肯定成績、糾正錯誤、比較鑒別，建構(gòu)意義。通過評析使學生消除疑難，糾正錯誤，生成知識的內(nèi)部表征，促進知識的內(nèi)化，從而達到“以評促化”的目的。王老師這堂將講與評貫穿于整個課堂，現(xiàn)將這堂課實錄如下。由于有了第一節(jié)課導學課的充分準備，王老師一上課就請各組開始講起解。首先請的是第一組，講解的內(nèi)容是“平方差公式是如何推導的？推導的

8、依據(jù)是什么？”師：我們先請第一組的同學為我們講解平方差公式是如何推導的？推導的依據(jù)是什么？同時要注意，同學們講解的情況將會在黑板上給你們評分。一組板書：例如 （a+b）(a-b) 依據(jù)是：多項式乘以多式的運算法則解：原式=a(a-b)+b(a-b) =a2-ab+ab-b2 =a2-b2生1：平方差公式是利用多項式×多項式的法則得出的。例如（a+b）(a-b)利用多項式乘以多式的運算法則，通過以上運算，就可以得到（a+b）(a-b) =a2-b2。師：你怎么一下子就想到了用多項式（a+b）去乘以多項式(a-b)的？生1：看了看自己的學和書本，對于王老師這樣一個突如其來的問題不能完全回

9、答，就望了望本組的同學?？磥磉@第一個同學是在用眼神向本組的同學求助，但遺憾的是，沒有同學為他慷慨解囊。師：你們第一組的其他同學有沒有補充的？大約過了幾秒鐘，仍然沒有同學主動來講解，看來，王老師另時加的這個問題對學生來說是難了點，沒有同學能回答。這個時候，就只有老師來回答這個問題了。師：同學們，雖然剛才第一組對我另時附加的問題不能作答，但對于我他們本應完成的任務他們的回答是否正確？生眾：完全正確。師：同學們說，如果基本滿分是10分，你們說他們能不能得滿分？生眾：有的說不能，有的說能。為了鼓勵同學們積極發(fā)言，雖然第一組的回答并不完美，但王老師還是在黑板上的評分欄上給第一組打了10分。然后再回答自己

10、的提問。師：其實我們按照書上四個特殊的多×多的例子，可以猜想出a+b）(a-b)=a2-b2，猜想是一種數(shù)學思想方法；而第一組的同學們通過多×多的運算法則也得到了（a+b）(a-b)=a2-b2。第一組其實完成得相當不錯。然后板書（a+b）(a-b)=a2-b2。評：講評課上，主要是由學生來講解，教師跟據(jù)學生的講解進行追問，將問題進一步發(fā)散，引導學生進一步思考。當然，發(fā)散出的問題學生并沒有經(jīng)過大量的思考和小組合作討論，因此，并不一定能夠準確地回答，這時，老師就應該及時準確給學生進行講解，讓學生對知識能夠進一步升華，這也體現(xiàn)出了講評課上教師的講。而評價在這里主要體現(xiàn)的是教師的

11、點評，而教師的評價要注意對學生討論交流過程中提出的具有獨創(chuàng)性的問題給予表揚鼓勵；對學生中不同的見解和意見進行評析判斷；而對比較幼稚的問題不應譏笑、挖苦，而應采用延遲評價，讓學生在與他人的交流中自我反省，自我糾正，以保護學生參與的積極性。因此，王老師在對第一組的評價時，多以激勵為主。第二組的問題是“平方差公式的結(jié)構(gòu)具有什么樣的特征？”二組板書：公式特點：兩數(shù)學和與這兩數(shù)差的乘積等于這兩數(shù)的平方差。 （a+b）(a-b)=a2-b2師：第二組的問題是公式的結(jié)構(gòu)特征？公式為什么叫這個名字？生2：公式的結(jié)構(gòu)特征兩數(shù)學和與這兩數(shù)差的乘積等于這兩數(shù)的平方差，因為從公（a+b）(a-b)=a2-b2我們可以

12、看出a+b是兩個數(shù)學的各，a-b是這兩個數(shù)的差，a2-b2是這兩個數(shù)的平方差。邊講邊用粉筆勾畫分式中的字母a、b。師：公式特點是，這個公式左邊是什么形式，右邊是什么形式？生2：左邊是兩個字母相加乘以兩個字母相減，右邊是這兩個字母的平方相減。生3：左邊是兩個字母相加乘以這兩個相同字母相減。師：左邊括號里看著一個整體是什么形式？生2：二項式。左邊是兩個二項式相乘，右邊是相同字母的平方減去相反字母的平方。師：還有沒有補充，回答了也可以計入加分。生4（二組同學）：右邊是利用多項式的法則計算出來的。師：其它組的同學也可以補充，補充得好的，也可以給你們加分。舉手的同學很多，王老師隨意得請了一名同學。生5（

13、八組的同學）：公式的特點是它們滿足的條件是有一組必須互為相反數(shù)，b與-b互為相反數(shù)；還有一組是相同的數(shù)，a與a是一組相同的數(shù)。師：回答得相當不錯。（3x+3y）(3x-2y)是否能寫成（3x）2-(3y)2或?qū)懗桑?x）2-(2y)2生眾：不能，因為+3y與-2y不是相反數(shù)，不滿足平方差公式。師：公式的特點是否還有補充？生6（三組）：兩數(shù)和與兩數(shù)學差的積，等于兩數(shù)的平方差。師：（x+y）(a+b)也是兩數(shù)學和與兩數(shù)差的積，是否也滿足平方差公式呢？生7（5組）：不滿足，公式特征應該是兩數(shù)和乘以這兩個數(shù)的差等于這兩個數(shù)的平方差。師：邊板書邊問，這名話中的關鍵詞是什么？生眾：“這”。師：對，“這”是

14、這名話的關鍵詞，數(shù)學中往往一個字理解不同，就會有不同的結(jié)論。并再一次強調(diào)公式的特點：兩個二項式中，有一組必須相等，有一組必須互為相反數(shù)，最后等于相同項的平方減去相反項的平方。師：（a+b-c）(a+b+c)括號里并不是二項式，這個題又能不能用平方差公式計算？生8（7組）：能，可以把（a+b）看成一個整體，相當于公式中的a,而c相當于公式中的b，就等于（a+b）2-c2。師：八組、五組和七組的同學補充了二組同學的問題，我們給這幾個組各加1分，三組補充了，但不夠完整，加0.5分，二組的同學回答得不夠完整，我們給二組8分。評：在講解過程中，有些組的回答有可能與老師想要的答案相距甚遠，但王老師這次并沒

15、有直接給予答案，而是盡力的引導學生向正確方向去思考，最后，實在不能在組完成的情況下，由其它組的力量幫助解決了問題，這也充分體現(xiàn)出了王老師充分相信學生、充分尊重學生。而其它組回答得好也可以加分，充分體現(xiàn)出了學生之間的互評、以評來促學。三組的問題是幾道平方差公式的簡單運算。三組板書：1、（4+5x）(4-5x) 2、（x-3y）(x+3y) 3、(-a+b)(-a-b)解：原式=42-（5x）2 解：原式=x2-(3y)2 解：原式=（-a）2-b2 =16-25x2 =x2-9y2 = a2-b24、(x-2)(x+2) 5、（1+3a）(1-3a) 6、(x+5y)(x-5y)解：原式=x2-

16、22 解：原式=12-(3a)2 解：原式= x 2-(5y)2 =x2-4 =1-9a2 =x2-25y2生9（三組）：第一題是利用兩個數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差就等于這兩個數(shù)的平方差，這里4是相同項（用橫線標注），5x和-5x是相反項（用波浪線標注），因此，運用平方差公式就得到結(jié)果。師：講得不錯，第二題我們在三組另請一名同學來講解，后面的題都由三組的同學輪流來講。生10（三組）：第二題還是要用平方差公式特點，先在左邊相同項是x和相反項是-3y和3y(也是邊講邊勾畫)，再利用公式就可以算出最后的結(jié)果x2-9y2。師：其實此題也是直接套公式，兩項對兩項，下一題。生11（三組）：第三題也是要用平方差

17、公式特點，找相同項和相反項師：誰是公式中的a,誰是公式中的b？生11：-a是式中的a,b是公式中的b，利用公式（a+b）(a-b)=a2-b2就可以得出原式等于（-a）2-b2= a2-b2師：不錯，下一位！生12（三組）：通過觀察可得原式滿足平方差公式，x是公式中的a，2是公式中的b，利用公式就可以算出結(jié)果等于x2-4。 師：沒有問題，下一位！生13：我們看這里，可以找出x相當于公式中的a,即相同項，2是公式中的b，即相反項，利用公式就可以得出(x-2)(x+2)= x2-4。生眾：熱烈撐聲。師：還有兩道題，下一題！生14：通過觀察，1相當于公式中的a,3a相當于公式中的b，通過公式計算得到

18、最后結(jié)果是1-9a2生15：通過觀察，x相當于公式中的a,5y相當于公式中的b，通過公式計算得到最后結(jié)果是x2-25y2課堂上再一次咯起了熱烈的撐聲。師：同學們相當不錯，現(xiàn)在請同學們告訴我，運用平方差公式解題的步驟是什么？生10：閱讀題，先找出題中的相同項和相反項，然后確定題中的工a和b，再用公式進行計算！師：還有沒有其它的說法？生12：第一步是先審題，找出題中的a和b，第二步根據(jù)公式的特點寫出運算的過程，第三步是算出結(jié)果。師：根據(jù)生12的回答總結(jié)并板書了步驟：一審，二寫，三算。師：三組的同學回答得很完整，全部是由本組的力量完成的任務，我們給他們加10分。評：第三組的同學能夠運用前面總結(jié)和方法

19、來解題，并能清楚地講解出來，體現(xiàn)出了以講促學，以講促思！第四組的問題是“（2）從例1和例2中你發(fā)現(xiàn)公式中公式中字母、的含義是什么？” “(3)利用公式進行運算時要注意些什么？關鍵是什么？”四組板書：從例1和例2中你發(fā)現(xiàn)公式中公式中字母、的含義是什么？答：a、b可以表示常數(shù)、單項式和多項式。例如：（5+x）(5-x) (-m+n)(-m-n) 【-m-(n+c)】【-m+(+c)】(3)利用公式進行運算時要注意些什么？關鍵是什么？答：應觀察算式中是否含有兩數(shù)差、兩數(shù)和（相同項，相反項）。關鍵是運算的結(jié)果要把相同項寫在前面，相反項寫在后面。如：（a+b）(a-b)=a2-b2。生16：a、b可以表

20、示常數(shù)、單項式和多項式。我們舉了三個例題，第一個題中的5是常數(shù)，第二個題中的-m和n是單項式，第三個題中的-(n+c)和(n+c)是多項式，而這三個題都滿足平方差公式，因此，a、b可以表示常數(shù)、單項式和多項式。生從：熱烈撐聲。生16（繼續(xù)）：要注意事項是，在做題時要觀察題中是否含有兩數(shù)差、兩數(shù)和，也就是相同項，相反項，就是看它是否滿足平方差公式。而運算的結(jié)果要把相同項寫在前面，相反項寫在后面。其依據(jù)是平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2。生眾：再次為生16熱烈撐聲。師：這為同學說得很好！但是關鍵的問題還有沒有補充的。生17（三組）：關鍵的是分式中的a,b不能等于0。生眾：如果等于0，公式

21、就沒有意義了。師：板書（0+0）（0-0）= 02-02有沒有意義？生眾：沒有。師：但它的形式有沒有錯？生眾：沒有錯，但是它沒有實際意義。師：那關鍵的東西到底是什么呢？還有沒有同學補充？生18（五組）：通過老師你寫的結(jié)論證實，a,b還是可以為0.師：這道是第四組說得可以了，只是語言還不夠準確，其實關鍵是看它符不符合公式的特點，有沒有相同項和相反項。關鍵是找工，a,b，同學們不要把工，a,b搞混淆了。師：我們給四組也加10分。第五組的問題是“運用平方差公式的解題的步驟是什么？”五組板書：解題步驟：1、看題是否符合公式； 2、如果符合就利用公式寫下來； 3、解答； 4、利用普通方法檢驗。生19：我

22、們這一組的問題中解題的步驟，第一步是看是否符合公式，舉個例子（a+b）(a+b)這個式子就不符合公式，就不能運用平方差公式計算，如果符合公式的例如（a+b）(a-b)就符合公式，就能用公式來計算。第二步是按照公式的特點來寫下來，就得a2-b2,第三步是解答，如果a,b是常數(shù)的，例如a=2,b=3,代入公式就得最后結(jié)果是-5.做完以后，如果怕錯的話，我們還可以加一步，利用多項式乘以多項式的法則加以運算檢驗。生眾：雷鳴般的撐聲。師：講得太好了，長大后當老師一定沒有問題！師：根據(jù)學生寫的結(jié)果，在每一步中圈出了關鍵字（看、寫、解、驗），然后在黑板上板書了解題的步驟為：一看、二寫、三算、四驗。還特別表揚

23、了學生有檢驗的習慣和意識。師：五組十分，由于這位同學表現(xiàn)得非常突出，在征得同學們的意見后，再給了1分。評：在這個問題的設計上，我們老師也只考慮到了三步，即前三步，而我們的學生卻增加了一步檢驗，這使 我們老師不得不相信學生的學習能力是無限，他們有時散發(fā)出的認知能力有可能還超過我們老師，而通過講解，給學生就提供了一個展現(xiàn)自我的無限平臺。六組的是一道化簡求值題。板書如下：（x+）(x-)(x2+) 其中x=-3解:原式=（x2-）(x2+) =x4- 當x=-3時 原式=（-3）4- =81- =80生20：通過觀察，這是三個多項式的乘法運算，而前面兩個多項式滿足平方差公式的特征，運用平方差公式就得

24、到x2-，就盛下兩個多項式相乘，而這兩多項也滿足平方差公式，再用平方差公式就可以得到x4-，運算出來后，再把x=-3代入運算的結(jié)果，就算出這個代數(shù)式的值為80。師生：這個題要稍難一點了，這個題一次用公式?jīng)]有用完，公式是連著用的，是公式的“連”用。師：這個題板書很漂亮，我們也應該給他們這組滿分。七組是一道填空是。板書如下：(1)、（ 3x 2y ）（3x+2y）=(9x2-4y2) (2)、( 0.2a2 )( 0.2a2 - )=0.04a4- (3)、( 7s + 8t )( 7s 8t )49s2-64t2生21：第一個題從后面的9x2,第二個括號里是3x,需要再乘以一個3x才能得到9x2

25、,而4y2是2y×2y才能得到，因此第一個括號里分別填3x和2y才能構(gòu)成平方差公式，得到右邊的結(jié)果。生22：第二個題我們可以根據(jù)第四組剛才講的，左邊必須要有一組相同量，而另一組為相反量，再從題中可以看出，1/2和-1/2是一組相同量，還需要有一組相同量，而右邊的0.04a4等于0.2a2×0.2a2，所以左邊的兩個空都要填0.2a2。師：她抓住了公式的特點，一組相反項，另一組是相同項，0.04a4是（0.2a2）2 ，所以都填0.2a2。生23：根據(jù)公式的特點，公式必須有相同項和相反項。從右邊49s2 是7s×7s,它放在前面，應該是相同項，就應該寫在前面，而64

26、t2 是8t×8t,它放在后面，是相反項，應該寫在后面，就得到這個結(jié)論。師：這個題還有沒有其它的答案？生24：有，可以把7s寫成-7s，因為-7s×（-7s）也等于49s2 。師：還可不可以把8t看成是-8t.生眾：可以。師：這是一個開放性的題，這個題一共有幾組答案？生眾：四組。師：七組回答也很不錯，也給10分。評：其實這幾個題有一定的難度，它們是公式的逆用，七組的同學通過組內(nèi)的力量，結(jié)合前面知識和公式的特點，能全部做對這幾個題，還是能體現(xiàn)出了學生自主學習的能力和水平。八組的幾道計算題：八組板書：（1） （2） 解：原式=（-1+x）(-1-x) 解：原式=（2y+3）(2

27、y-3) =(-1)2-x2 =(2y)2-32 =1-x2 =4y2-9（3） （4） 解：原式=-a2b2-abc+abc+c2 解：原式=（a2）2-32 =-a2b2+c2 =a4-9生25：第一題我們找出了相同數(shù)是-1，相反的數(shù)是x和-x,然后將相同的數(shù)寫在前面，相反的數(shù)寫在后面，就得到標準的平方差代式，最后再利用平方差公式計算就得出結(jié)果等于1-x2，而（2）題和（4）題也是利用同樣的方法做出來的；而第三題就犯了常識性的錯誤，這個題本來還是可以利用平方差公式很簡單的來計算，但他還采用了多×多的運算法則來計算就沒有必要了。師：這種做法是沒有參加今天的學習是吧！生眾：對！師：沒

28、用公式，沒用先進的武器，現(xiàn)在是什么時代了，還用老土的方法！生眾：哈哈！師：雖然他們這組的做法不完全正確，但他們能及時的糾正自己的錯誤，很不錯，他們也能得滿分。評：學生在導學過程中，做的題可能并不能按照求來做，或者做的根本就是錯誤的，但是，沒有關系，必竟還沒有正事學習，但是，經(jīng)過講評課的學習后，學生能慢慢地意識或認識到自己錯誤的原因，并加以改之，說明講評課對學生的學習是有效的。師（小結(jié)）：這節(jié)課我們學習了平方差公式，平方差公式關鍵的是兩項乘兩項，特點是一組相同，而另一組相反，結(jié)果是相同項的平方減去相反項的平方。另外，公式的應用（邊說邊板書），我們要能“正用”、“逆用”、“連用”，當然我們還要能“變用”，“變用”我們將在下一節(jié)課學習。只要這幾種用法我們能夠掌握，我