一階常微分方程初等解法求解技巧

1、一階常微分方程初一階常微分方程初等解法求解技巧等解法求解技巧姓名：韓毅姓名：韓毅學(xué)號：學(xué)號：41005231專業(yè)：信息與計算科學(xué)專業(yè)：信息與計算科學(xué)1、變量分離方程、變量分離方程2、可化為變量分離方程的、可化為變量分離方程的類型類型3、線性微分方程與常數(shù)變、線性微分方程與常數(shù)變易法易法4.恰當(dāng)微分方程與積分因子恰當(dāng)微分方程與積分因子5、方程不能解出、方程不能解出6、解的穩(wěn)定性、漸近性穩(wěn)、解的穩(wěn)定性、漸近性穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性定性和不穩(wěn)定性1、變量分離方程、變量分離方程 v v技巧技巧：通常這類可分離變量方程比較直觀，可以通過變量分離，通過對積分的熟悉性可以快速的查找到變量的積分，即可得到相應(yīng)的通解

2、.( ) ( )dyf xydx2、可化為變量分離方程的類型、可化為變量分離方程的類型技巧技巧：通常這類常微分方程比可直接分離的微分方程復(fù)雜一點，不能進行直接分離，但是可以進行適當(dāng)?shù)淖儞Q，這類方程中，往往有一個分式重復(fù)出現(xiàn)，所以可以把它當(dāng)做一個整體，從而很容易就化成變量分離方程，因此可以進行求解.()d yygd xx技巧技巧1：這類微分方程求解最為簡單，實為把方程化為變量可分離方程進行進一步的求解.技巧技巧2：這類方程與上面2的解法相似，只不過這類方程是把一個多項式看成是一個整體，再把它化為變量可分離方程進行求解.技巧技巧3：這類微分方程因為分式分子與分母的系數(shù)均不成比例，故需要對分子與分母

3、進行簡單變換，新設(shè)變量，通過新設(shè)變量，去掉分子與分母的常數(shù)項，化為上述的形式，進一步進行求解.111222a xb ycdydxa xb yc3、線性微分方程與常數(shù)變易法、線性微分方程與常數(shù)變易法v一階線性微分方程 v通解 ( )( )dyP x yQ xdx( )( )( )p x dxp x dxyeQ x edxc4.恰當(dāng)微分方程與積分因子恰當(dāng)微分方程與積分因子v4.1 恰當(dāng)微分方程恰當(dāng)微分方程v4.2、積分因子、積分因子v4.3、積分因子求法的推廣、積分因子求法的推廣5、方程不能解出、方程不能解出v5.1、方程能就、方程能就y（或（或x）解出）解出v5.2、方程不能就、方程不能就y（或

4、（或x）解出）解出y( , )yf x y( ,)yf x y6、解的穩(wěn)定性、漸近性穩(wěn)定性和不穩(wěn)定、解的穩(wěn)定性、漸近性穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性性v 定理定理 1、若有原點的領(lǐng)域和一個正定（負定）函數(shù)，使得通過其方程組的全導(dǎo)數(shù)是半負定（半正定）或恒等于零的，則方程組（6.1）的零解是穩(wěn)定的；若使得是負定（正定）時，方程組（6.1）的零解時漸近穩(wěn)定的.v定理定理 2、設(shè)在原點的領(lǐng)域內(nèi)存在正定函數(shù)，它沿著方程組（6.1）軌線的全導(dǎo)數(shù)是半負定的，如果集合內(nèi)除原點外，不再包含方程組的其他軌線，則方程組（6.1）的零解漸近穩(wěn)定.v定理定理 3 設(shè)在原點的領(lǐng)域內(nèi)有函數(shù)，它沿著方程組（6.1）軌線的全導(dǎo)數(shù)是正定（負定）的，而本身不是半負定（半正定）的，則方程組（6.1）的零解是不穩(wěn)定的.結(jié)語：.常微分方程是數(shù)學(xué)分析和基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個重要組成部分，它的實踐意義也很重大，所以掌握它的解法也很重要，本文系統(tǒng)的討論了一階常微分方程的幾種特殊類型的相應(yīng)解法，在以后解常微分方程的過程中更加得心應(yīng)手，之后還討論了常微分方程解的穩(wěn)定性，了解常微分方程零解的漸進穩(wěn)定性，不穩(wěn)定性，通過這一系列的討論