174 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（第1課時）-教案

1、17.4 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（第1課時）-教案 六安皋城中學(xué) 張克玉一、教學(xué)背景（一）教材分析前面學(xué)生已學(xué)習(xí)一元二次方程的解法，根的判別式的有關(guān)內(nèi)容，通過求根公式的學(xué)習(xí)，學(xué)生對根與系數(shù)關(guān)系有了初步的感悟，即一元二次方程的根都可以由其系數(shù)來表示。本節(jié)課是在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究兩根和，兩根積與系數(shù)的關(guān)系。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，有助于豐富學(xué)生對一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的認(rèn)識，并為今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)（拋物線與軸交點(diǎn)問題）有關(guān)內(nèi)容作必要的鋪墊，但本節(jié)內(nèi)容在初中階段屬于選修內(nèi)容，因此，對相關(guān)內(nèi)容不作深入探究，也不作過高要求。（二）學(xué)情分析本節(jié)課是八年級下冊內(nèi)容，八年級學(xué)生已具備了一定的從事數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗

2、，形成了一定的探究意識，具備了初步的觀察，歸納，猜想能力。因此，他們對根與系數(shù)關(guān)系的產(chǎn)生并不感到十分困難。但八年級學(xué)生對事物的認(rèn)識還較片面，而一元二次方程根與系數(shù)是建立在方程有根的這個前提，易被學(xué)生忽略，還需要教師在教學(xué)給予必要的提醒。二、教學(xué)目標(biāo)1. 了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，并能初步運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解決簡單的問題。2. 經(jīng)歷一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的探究過程，進(jìn)步體會通過觀察、歸納、猜想、驗證證明是探究新問題的基本方法。3. 通過證明猜想的正確性，形成嚴(yán)謹(jǐn)求實的態(tài)度。三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的探究與運(yùn)用難點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的探究四、教學(xué)方法分析及學(xué)

3、法指導(dǎo)有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者，引導(dǎo)者與合作者。同時，教師應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)。本節(jié)課的教學(xué)將采用以引導(dǎo)為主的方法歸納發(fā)現(xiàn)法。即在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生通過觀察、歸納、猜想得出結(jié)論，并進(jìn)一步給予證明。同時本節(jié)課將遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，即先得到的根與系數(shù)關(guān)系，再通過修正，進(jìn)一步得到的根與系數(shù)關(guān)系。學(xué)生對本節(jié)課結(jié)論的掌握與理解并不困難，但在具體運(yùn)用時，因常涉及到代數(shù)式的恒等變形，因而對基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生有時會感到困難，尤其容易忽視這一前提條件。但限于本節(jié)課的教學(xué)要求，在教學(xué)過程中要注意回避并控制難度，避免加重學(xué)生負(fù)擔(dān)。五、教學(xué)

4、過程（一）復(fù)習(xí)回顧，引出課題1. 回顧一元二次方程求根公式2. 引導(dǎo)學(xué)生觀察并指出一元二次方程的根都可以由系數(shù)通過運(yùn)算得到的，并追問：一元二次方程的根與系數(shù)還有怎樣的運(yùn)算關(guān)系？從而引出課題。（二）合作交流，探究新知【活動一】 觀察下列方程及其括號內(nèi)的兩根：（1） （2） （3） （4） 由此猜想：若方程的兩根為、，則、與系數(shù)有怎樣的運(yùn)算關(guān)系？學(xué)生觀察后回答，教師視情況略作引導(dǎo)：運(yùn)算關(guān)系可以先從簡單的加、減、乘、除開始。所給方程二次項系數(shù)均為1，方程的根均為整數(shù)，其中（1），（2），（3）的根均為正整數(shù)，便于學(xué)生觀察，這樣設(shè)計符合八年級學(xué)生的認(rèn)知水平。同時，此處沒有明確告訴學(xué)生尋找，與系數(shù)的關(guān)系

5、，目的通過讓學(xué)生去觀察，發(fā)現(xiàn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、猜想的能力?！净顒佣?觀察下列方程及其兩根：（1） （2） （3） （4） 活動一中的結(jié)論是否仍然成立？如果不成立，能否通過適當(dāng)修正，從而對活動一中的結(jié)論進(jìn)行推廣？即若一元二次方程的兩根為、，則、與系數(shù)有怎樣的運(yùn)算關(guān)系？本活動中所給方程二次項系數(shù)不再為1，根也不再是整數(shù)，但仍為有理數(shù)，且（1）、（2）、（3）中的方程的根均為正有理數(shù)。有了活動一的鋪墊，學(xué)生獨(dú)立解決并不顯得十分困難，以此把問題從特殊引向一般。從特殊到一般的思想也符合對事物認(rèn)識的一般規(guī)律。【活動三】環(huán)節(jié)1. 已知方程的兩根為，驗證活動二中的結(jié)論是否仍然成立？通過活動一、二

6、進(jìn)行觀察，歸納，猜想初步得出結(jié)論。通過本活動驗證活動二中的結(jié)論的普遍性。環(huán)節(jié)2. 請對以上的猜想進(jìn)行證明。證明過程由學(xué)生獨(dú)立完成，教師檢查，對有困難的學(xué)生給予引導(dǎo)。通過對猜想結(jié)論的證明，幫助學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度。（三）課堂練習(xí)，鞏固新知說出下列方程的兩根和，兩根積：（1） （2） （3） （4）由學(xué)生稍作思考后回答，其中方程（3），（4）部分學(xué)生容易出錯，教師作必要的提醒。（四）合作交流，運(yùn)用新知例1. 已知關(guān)于的方程的一個根為4，求它的另一根及的值。先讓學(xué)生在草稿紙上做，教師注意尋找不同的解法。并讓不同解法的學(xué)生上黑板板演后分析講解，并指出兩種方法的合理性，提醒學(xué)生注意方法的簡便性。（五）課堂小結(jié)