張忠樸輕松學(xué)統(tǒng)計(jì)

1、輕松學(xué)統(tǒng)計(jì)（ 1 ）作者：張忠樸1. 刻版印象現(xiàn)代人其實(shí)離不開統(tǒng)計(jì)，但是現(xiàn)代人卻又普遍有統(tǒng)計(jì)很難學(xué)的刻版印象，所以在學(xué)校上統(tǒng)計(jì)課時(shí)，學(xué)生翹課或上課打瞌睡就成了思空見慣的現(xiàn)象，而相對(duì)的老師也就只好搬出活當(dāng)、死當(dāng)來以儆效尤，這種怨 憎會(huì)的場景真的是學(xué)統(tǒng)計(jì)的宿命嗎？曾經(jīng)也被統(tǒng)計(jì)公式搞的七暈八素， 曾經(jīng)也在統(tǒng)計(jì)課堂中無聊入眠， 但 是沒想到自己居然會(huì)成為教統(tǒng)計(jì)的老師，因此我一直希望自己的學(xué)生不 要重入自己當(dāng)年的惡夢(mèng)，我立志要讓學(xué)生輕松學(xué)統(tǒng)計(jì)。但是如果他們已有統(tǒng)計(jì)難學(xué)的刻版印象，那該如何先讓他們放輕松 呢？第一招當(dāng)然是要打破心結(jié)，因此統(tǒng)計(jì)的第一節(jié)課需要先發(fā)制人，先 問學(xué)生一個(gè)問題： 統(tǒng)計(jì)難學(xué)嗎？學(xué)生幾乎

2、都異口同聲的哀叫難！ 我沉默以對(duì)，讓他們遲疑 30 秒之后再問：有沒有聽過常態(tài)分配？ 學(xué)生們幾乎都會(huì)略為安心地說有！ 我微笑以對(duì)，在他們安心 30 秒之后再問：請(qǐng)問是先有常態(tài)分配，所以人長的不高不矮，還是先有身高的事實(shí)再有常態(tài)分配？同學(xué)一陣交頭接耳之后，幾乎全數(shù)舉手贊成是先有身高的事實(shí)，再有常態(tài)分配。既然這是大家的共識(shí)，當(dāng)然要乘勝突破他們的心防，和顏悅色的告 訴大家：既然統(tǒng)計(jì)學(xué)是事實(shí)在先，理論在后，那么我們何苦要自己嚇 自已，認(rèn)為統(tǒng)計(jì)很難呢？當(dāng)大家默默點(diǎn)頭之后，就可以繼續(xù)向他們挑戰(zhàn)：既然統(tǒng)計(jì)是前人 將事實(shí)歸納出的結(jié)論，那么讓我們也一起重新走過這段尋幽訪勝的趣味 古道好不好？歡呼聲中，我們開始了

3、尋幽訪勝之旅。2. 尋幽訪勝尋幽訪勝的第一個(gè)問題是： 統(tǒng)計(jì)必備的原料是什么？ 幾乎立刻會(huì) 有人想到統(tǒng)計(jì)的原料是數(shù)據(jù) ，這當(dāng)然是正確的答案， 在興奮之余再向 他們挑戰(zhàn)，請(qǐng)問是不是有數(shù)據(jù)就是統(tǒng)計(jì)？老師，那可不見得！ 那你認(rèn)為除了數(shù)據(jù)，還需要加上什么才可能讓統(tǒng)計(jì)更完整呢？一陣沉思之后，有人提出要將數(shù)據(jù)拿來計(jì)算Good ！但是要算出什么東西呢？譬如要算出平均身高對(duì)！ 平均身高是最重要的統(tǒng)計(jì)量之一， 一般用表示， 是代表集中趨 勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量這就上路了，這群學(xué)生已漸漸會(huì)尋幽訪勝了，除了計(jì)算平均值，這些數(shù)據(jù)還可以算出那些名堂？ 還可以算出差距請(qǐng)問你說的差距是什么意思？ 就是指最高身高減最低身高嘛！OK!你所謂

4、的差距就是統(tǒng)計(jì)學(xué)上所說的全距，一般用 R來表示，R是代表離中趨勢(shì)的一種統(tǒng)計(jì)量這群學(xué)生現(xiàn)在已能慢慢體會(huì)到推理的自信與學(xué)習(xí)的樂趣了，這時(shí)不妨給他們一點(diǎn)更 Tough 的問題：那么請(qǐng)問是不是有了這些計(jì)算（R等）就算是統(tǒng)計(jì)呢？學(xué)生由興奮陷入沈思，沉思之后有些學(xué)生開始輕輕的搖頭，那你們是不是認(rèn)為原始數(shù)據(jù)加上計(jì)算并不完全等于統(tǒng)計(jì)呢？他們?nèi)玑屩刎?fù)地拼命點(diǎn)頭，但是為了幫他們更趨于嚴(yán)謹(jǐn)而成熟，這 時(shí)候不但不能丟救生圈給他們，反而要用鐵石心腸來逼問一一那么統(tǒng) 計(jì)倒底是什么碗糕？3. 柳暗花明雖然他們還不能立即回答這個(gè)難題，但是他們至少已明白統(tǒng)計(jì)中少不了數(shù)據(jù)與計(jì)算，而那仍然不足的部分倒底是什么呢？換言之，計(jì)算若 不

5、是統(tǒng)計(jì)的終點(diǎn)，那么統(tǒng)計(jì)最終的目的倒底是什么呢？慢慢地有學(xué)生會(huì) 說：統(tǒng)計(jì)的目的是要讓我們得到有意義的情報(bào)！對(duì)！但是什么才是有意義的情報(bào)呢？有位同學(xué)在經(jīng)過連番追問后，若有所悟，他突然反守為攻，請(qǐng)問老師能不能舉幾個(gè)有關(guān)情報(bào)的例子， 這樣我們就可以回答什么 是有意義的情報(bào)了。真是孺子可教，既然問的合情合理，那就先舉一個(gè)例子讓他們揣摩例1:請(qǐng)問“拉力強(qiáng)度很好”算不算是有意義的情報(bào)？老師，不算！為什么不算？老師，因?yàn)椤袄?qiáng)度很好”太籠統(tǒng)了， 它根本沒有任何數(shù)據(jù)可作 判斷的參考。既然初生之犢不畏唬，那就只有加一點(diǎn)料，再來試試他們。例 2:好，那么我們加上數(shù)據(jù)“拉力強(qiáng)度平均為 5kg/cm 2”，請(qǐng) 問這算

6、不算有意義的情報(bào)？老師，這樣的情報(bào)雖然有意義，但是仍不理想。為什么？因?yàn)橹挥刑岬狡骄凳?5kg/cm 2，但是我們并不知道這是 0 與 10 的平均，還是 4.99 與 5.01 的平均，所以很難單憑平均值來判斷此 一情報(bào)是否有意義。這些學(xué)生真是成材，他們的思緒已愈來愈嚴(yán)謹(jǐn)了，居然已能從推理 中體會(huì)到集中趨勢(shì)并無法完全代表統(tǒng)計(jì)量的事實(shí)，不僨不啟古有明訓(xùn)， 所以只有再為他們指點(diǎn)迷津。例 3:你們的考慮沒錯(cuò)，既然如此，那么我們就再加上范圍“大多 數(shù)產(chǎn)品的拉力強(qiáng)度在 5kg ± 0.6kg 之內(nèi)”，這樣你們滿意了嗎？不滿意！學(xué)生齊哄，為什么？因?yàn)榇蠖鄶?shù)太不明確了！得天下英才而教之的喜樂這

7、時(shí)一起涌現(xiàn)，這群學(xué)生真的太可愛了，那我們把大多數(shù)更明確化一點(diǎn)好不好？好！例 4 ：如果修改成“99.73%的產(chǎn)品拉力強(qiáng)度在kg 士 0.6kg/cm 2之內(nèi)”，你們滿意嗎？一些參與度較高的同學(xué)馬上表示滿意， 但仍有一部分沒有表示意見， 為了確認(rèn)全班的認(rèn)知程度，所以再一次改采主動(dòng)，請(qǐng)全班同學(xué)從例 1 到 例 4 中，要挑出一個(gè)他認(rèn)為最有意義的情報(bào)，經(jīng)過兩分鐘的表決，結(jié)果 全班同學(xué)一致認(rèn)為例 4 才是相對(duì)而言最有意義的情報(bào)。4. 水落石出 經(jīng)過這一連串的討論，需要幫學(xué)生將思緒重新整理一下，于是在黑板 上先畫了下面這張圖：然后向?qū)W生解釋，這是一般生產(chǎn)系統(tǒng)簡單的示意圖， I 代表 Input 也就是指

8、原料， P 代表 Production 也就是指加工， O 代表 Output 也 就是成品，接著我請(qǐng)大家想一下如果統(tǒng)計(jì)也是一個(gè)系統(tǒng)，那么就統(tǒng)計(jì)而言上圖中的 I 、P、O 分別代表什么呢？有一位同學(xué)立刻自告奮勇的沖上黑板， 在上圖的每一個(gè)框框下分別填上數(shù)據(jù) 算 有意義的情報(bào)等一下！ 當(dāng)他要沖回座位時(shí)我大叫一聲， 一面把另一枝粉筆交給 他，一面向他說：謝謝您剛才的答案， 這的確是很恰當(dāng)?shù)拇鸢福?但是可否請(qǐng)您再將您 的答案作一點(diǎn)整合， 能否試試看將“數(shù)據(jù)”、 “計(jì)算”及“有意義的 情報(bào)”整理成一個(gè)關(guān)系式？這位同學(xué)考慮了一下，重新在黑板上寫了一個(gè)關(guān)系式他一面寫、我一面替他高興，當(dāng)他寫完后，我請(qǐng)他向全

9、班同學(xué)解釋 一下，他充滿自信地說：這個(gè)公式的意思是說，數(shù)據(jù)經(jīng)過計(jì)算后若能產(chǎn)生出有意義的情報(bào)，那 就是統(tǒng)計(jì)。不待我的邀請(qǐng)，全班同學(xué)已對(duì)他的解釋報(bào)以熱烈的掌聲，一面欣賞 地看著他走回座位，一面向全班同學(xué)說你們看，只要大家肯不斷地發(fā) 揮創(chuàng)意、努力思考，我們就可以自己體會(huì)出統(tǒng)計(jì)的真諦，所以我們?yōu)槭?么要怕統(tǒng)計(jì)呢？但是，下課之前最后我要請(qǐng)各位從大家例 4 中，歸納出有意義的情報(bào) 應(yīng)包括那些構(gòu)成要素？老師， 5kg 代表集中趨勢(shì)甲同學(xué)說那± 0.6kg 應(yīng)該是代表離中趨勢(shì)乙同學(xué)接著說但是，剩下的 99.73% 呢？我反問老師，那是指含蓋在 5± 0.6kg 這個(gè)范圍之內(nèi)的機(jī)率完全正確，所以希望各位同學(xué)能將剛才討論的例子一般化，其實(shí)就統(tǒng)計(jì)學(xué)而言，任何有意義的情報(bào)都有三個(gè)構(gòu)成要素，分別是：1. 集中趨勢(shì)（通常以作代表）2. 離中趨勢(shì)（通常以 作代表）3. 被含蓋在特定范圍內(nèi)的機(jī)率為了加深同學(xué)的印象，所以下課之前才請(qǐng)他們翻開課本上的常態(tài)分配 圖然后請(qǐng)問他們，如果成年男子的身高平均值（）是 167cm ，標(biāo)準(zhǔn)差（）是 8cm ， 那么請(qǐng)問大約有多少成年男子的身高在 159 至 175cm 之間？立刻有學(xué)生回答： 68.26% 為什么？因?yàn)?159cm 等于 167-8 ，1