2022年初中數(shù)學(xué)各種公式

1、第 1 頁(yè) 共 9 頁(yè)1 數(shù)學(xué)各種公式及性質(zhì)1 乘法與因式分解(ab)(ab)a2b2；(a b)2a2 2abb2；(ab)(a2abb2)a3b3；(ab)(a2abb2)a3b3；a2b2(ab)22ab；(ab)2(ab)24ab。2 冪的運(yùn)算性質(zhì)am anam+n；am anam-n；(am)namn；(ab)nanbn；(ab)nnnab；a-n1na，特別： ( )-n( )n；a01(a0) 。3 二次根式()2a(a0) ；丨a丨；(a0，b0) 。4 三角不等式|a|-|b| |a b| |a|+|b|（定理）；加強(qiáng)條件： |a|- |b| |a b| |a|+|b|也成立

2、，這個(gè)不等式也可稱為向量的三角不等式（其中a，b 分別為向量 a和向量 b）|a+b| |a|+|b|；|a-b| |a|+|b|；|a| b-bab ；|a-b| |a|-|b|； -|a| a|a|；5 某些數(shù)列前 n 項(xiàng)之和1+2+3+4+5+6+7+8+9+n=n(n+1)/2；1+3+5+7+9+11+13+15+(2n-1)=n2；2+4+6+8+10+12+14+(2n)=n(n+1)； 12+22+32+42+52+62+72+82+n2=n(n+1)(2n+1)/6；13+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/4； 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*

3、 7+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3；6 一元二次方程對(duì)于方程： ax2bxc0：求根公式 是x242bbaca，其中 b24ac叫做根的判別式。當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根注意：當(dāng)0 時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -第 2 頁(yè) 共 9 頁(yè)2 若方程有

4、兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1和x2，則二次三項(xiàng)式ax2bxc可分解為 a(xx1)(xx2)。以a和b為根的一元二次方程是 x2(ab)xab0。7 一次函數(shù)一次函數(shù)ykxb(k 0)的圖象是一條直線(b是直線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，稱為截距)。當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大而增大(直線從左向右上升)；當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大而減小 (直線從左向右下降 )；特別地：當(dāng)b0時(shí)，ykx(k0)又叫做正比例函數(shù)(y與x成正比例)，圖象必過(guò)原點(diǎn)。8 反比例函數(shù)反比例函數(shù) y (k 0) 的圖象叫做雙曲線。當(dāng)k0時(shí)，雙曲線在一、三象限 (在每一象限內(nèi)，從左向右降)；當(dāng)k0時(shí)，雙曲線在二、四象限 (在每一象限內(nèi)，從左向右上升)。9

5、二次函數(shù)（1）.定義： 一般地，如果cbacbxaxy,(2是常數(shù)，)0a，那么 y 叫做x的二次函數(shù)。（2）.拋物線的三要素： 開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)。a的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)0a時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)0a時(shí)，開(kāi)口向下；a 相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同。平行于 y 軸（或重合）的直線記作hx.特別地， y 軸記作直線0 x。（3）.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)2axy當(dāng)0a時(shí)開(kāi)口向上當(dāng)0a時(shí)開(kāi)口向下0 x（ y 軸）（0,0）kaxy20 x（ y 軸）(0, k) 2hxayhx(h,0) khxay2hx(h ,k ) cbxaxy2abx2(

6、abacab4422，) （4）.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -第 3 頁(yè) 共 9 頁(yè)3 公式法：abacabxacbxaxy442222，頂點(diǎn)是），（abacab4422，對(duì)稱軸是直線abx2。配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為khxay2的形式，得到頂點(diǎn)為(h, k )，對(duì)稱軸是直線hx。運(yùn)用拋

7、物線的對(duì)稱性： 由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。若已知拋物線上兩點(diǎn)12(, ) (,)、xyxy（及 y 值相同） ，則對(duì)稱軸方程可以表示為：122xxx（5）.拋物線cbxaxy2中，cba,的作用a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與2axy中的a完全一樣。 b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線cbxaxy2的對(duì)稱軸是直線。abx2，故： 0b時(shí)，對(duì)稱軸為 y軸； 0ab（即a、b 同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y 軸左側(cè)； 0ab（即a、 b 異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y 軸右側(cè)。c的大小決定拋物線cbxaxy2與 y 軸交點(diǎn)的位置。當(dāng)0 x時(shí)，cy，拋物線cbxaxy2與

8、 y 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（ 0，c） ：0c，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn) ; 0c,與 y 軸交于正半軸； 0c,與 y 軸交于負(fù)半軸 . 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在y 軸右側(cè)，則0ab。（ 6） .用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式一般式：cbxaxy2.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、 y 的值，通常選擇一般式 . 頂點(diǎn)式：khxay2.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式。交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)1x、2x，通常選用交點(diǎn)式：21xxxxay。（7）.直線與拋物線的交點(diǎn) y 軸與拋物線cbxaxy2得交點(diǎn)為 (0, c)。拋物線與x軸的交點(diǎn)。二次函數(shù)cbxaxy2的圖像與

9、x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)1x、2x，是對(duì)應(yīng)一元二次方程02cbxax的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 .拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：a有兩個(gè)交點(diǎn)(0)拋物線與x軸相交；b 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）(0)拋物線與x軸相切；c 沒(méi)有交點(diǎn)(0)拋物線與x軸相離。平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -第 4

10、 頁(yè) 共 9 頁(yè)4 同一樣可能有 0 個(gè)交點(diǎn)、 1 個(gè)交點(diǎn)、 2 個(gè)交點(diǎn) .當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為 k ，則橫坐標(biāo)是kcbxax2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。一次函數(shù)0knkxy的圖像 l 與二次函數(shù)02acbxaxy的圖像 g 的交點(diǎn)，由方程組cbxaxynkxy2的解的數(shù)目來(lái)確定：a 方程組有兩組不同的解時(shí)l 與g 有兩個(gè)交點(diǎn)；b 方程組只有一組解時(shí)l 與 g 只有一個(gè)交點(diǎn)；c 方程組無(wú)解時(shí)l 與 g 沒(méi)有交點(diǎn)。 拋 物 線 與x軸 兩 交 點(diǎn) 之 間 的 距 離 ： 若 拋 物 線cbxaxy2與x軸 兩 交 點(diǎn) 為0021，xbxa，則12abxx10統(tǒng)計(jì)初步（1）概念：

11、所要考察的對(duì)象的全體叫做總體，其中每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體從總體中抽取的一部份個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù) (有時(shí)不止一個(gè) )，叫做這組數(shù)據(jù)的 眾數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，把處在最中間的一個(gè)數(shù) (或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù) )叫做這組數(shù)據(jù)的 中位數(shù)（2）公式： 設(shè)有 n 個(gè)數(shù) x1，x2，xn，那么：平均數(shù)為：12.nxxxxn+=；極差：用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來(lái)反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，即：極差=最大值 -最小值；方差：數(shù)據(jù)1x、2x , nx的方差為2s，則2s=()()()222121.nxxxxxxn輊

12、-+-+-犏臌標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根。數(shù)據(jù)1x、2x , nx的標(biāo)準(zhǔn)差s，則s=()()()222121.nxxxxxxn輊-+-+-犏臌精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -第 5 頁(yè) 共 9 頁(yè)5 一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定。11頻率與概率（1）頻率頻率=總數(shù)頻數(shù)，各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù)，各小組的頻率之和等于1，頻

13、率分布直方圖中各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為各組頻率。（2）概率如果用 p 表示一個(gè)事件 a 發(fā)生的概率，則 0p （a）1 ；p（必然事件） =1；p（不可能事件） =0；在具體情境中了解概率的意義，運(yùn)用列舉法（包括列表、畫(huà)樹(shù)狀圖）計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率。大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可視為事件發(fā)生概率的估計(jì)值；12 銳角三角形設(shè)a是abc的任一銳角，則 a的正弦： sina，a的余弦： cosa，a的正切： tana并且 sin2acos2a1。0sina1，0cos a1，tana0a越大，a的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。余角公式 ：sin(90o a)cosa，cos(90o a)sina。特殊角的

14、三角函數(shù)值： sin30o cos60o ，sin45o cos45o ，sin60o cos30o ，tan30o ，tan45o 1，tan60o 。斜坡的坡度：i鉛垂高度水平寬度 設(shè)坡角為 ，則itan 。13 正（余）弦定理（1）正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc=2r；注：其中r 表示三角形的外接圓半徑。正弦定理的變形公式： (1) a=2rsina, b=2rsinb, c=2rsinc；(2) sina : sinb : sinc = a : b : c（2）余弦定理b2=a2+c2-2accosb；a2=b2+c2-2bccosa；c2=a2+b2-2abcosc

15、 ；注：c所對(duì)的邊為 c，b所對(duì)的邊為 b，a所對(duì)的邊為 a 14 三角函數(shù)公式（1） 兩角和公式sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa h l 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -第 6 頁(yè) 共 9 頁(yè)6 cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b

16、)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb) tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb) ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga) ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga) （2） 倍角公式tan2a=2tana/(1-tan2a) ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a （3） 半角公式sin(a/2)=(1-cosa)/2) sin(a/2)=- (1 -cosa)/2) cos

17、(a/2)= (1+cosa)/2) cos(a/2)=-(1+cosa)/2) tan(a/2)=(1-cosa)/(1+cosa) tan(a/2)=- (1 -cosa)/(1+cosa) ctg(a/2)=(1+cosa)/(1-cosa) ctg(a/2)=-(1+cosa)/(1 -cosa) （4） 和差化積sina+sinb=2sin(a+b)/2)cos(a-b)/2 cosa+cosb=2cos(a+b)/2)sin(a-b)/2) tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb ctga+ctgbsin(a+

18、b)/sinasinb -ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb （5） 積化和差2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b) 2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) 2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b) -2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b) 15 平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)知識(shí)（1）對(duì)稱性： 若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)p（a，b） ，則 p 關(guān)于 x 軸對(duì)稱的點(diǎn)為 p1（a，b） ，p關(guān)于y 軸對(duì)稱的點(diǎn)為 p2（a，b） ，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為p3（a，b） 。（2）坐標(biāo)平移： 若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)p（a，b）向左平移 h 個(gè)單位

19、，坐標(biāo)變?yōu)閜（ah，b） ，向右平移 h 個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)閜（ah，b） ；向上平移 h 個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)閜（a，bh） ，向下平移 h 個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)閜（a，bh）.如：點(diǎn) a（2，1）向上平移 2 個(gè)單位，再向右平移 5 個(gè)單位，則坐標(biāo)變?yōu)閍（7，1） 。16 多邊形內(nèi)角和公式多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于(n2)180o（n3，n是正整數(shù)），外角和等于360o17 平行線段成比例定理（1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - -

20、 - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -第 7 頁(yè) 共 9 頁(yè)7 如圖： abc，直線 l1與 l2分別與直線 a、b、c 相交與點(diǎn) a、b、c 和 d、e、f，則有,abdeabdebcefbcefacdfacdf。（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。如 圖 ： abc中 ， debc ， de與ab 、 ac相 交 與 點(diǎn)d 、 e ， 則 有 ：,adaeadaededbecdbecabacbcabac18 直角三

21、角形中的射影定理直角三角形中的射影定理：如圖： rtabc中，acb90o，cdab 于 d，則有： （1）2cdad bd（2）2acad ab（3）2bcbdab19 圓的有關(guān)性質(zhì)（1）垂徑定理 ：如果一條直線具備以下五個(gè)性質(zhì)中的任意兩個(gè)性質(zhì)：經(jīng)過(guò)圓心； 垂直弦；平分弦；平分弦所對(duì)的劣??；平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，那么這條直線就具有另外三個(gè)性質(zhì)注：具備 ，時(shí)，弦不能是直徑。（2）兩條 平行弦所夾的弧相等。（3）圓心角 的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。（4）一條弧所對(duì)的 圓周角 等于它所對(duì)的 圓心角 的一半。（5）圓周角等于它所對(duì)的 弧的度數(shù) 的一半。（6）同弧或等弧 所對(duì)的圓周角相等。（7）在同圓或等

22、圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。（8）90o的圓周角所對(duì)的弦是 直徑，反之，直徑所對(duì)的圓周角是90o，直徑是最長(zhǎng)的弦。、（9）圓內(nèi)接四邊形 的對(duì)角互補(bǔ)。cabdacabcdefl1bl2abcdeceabd精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -第 8 頁(yè) 共 9 頁(yè)8 20 三角形的內(nèi)心與外心（1）三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)。（2）三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心三角形的外心就是三邊中垂線的交點(diǎn)常見(jiàn)結(jié)論：rtabc 的三條邊分別為：a、 b、 c （c 為斜邊） ， 則它的內(nèi)切圓的半徑2abcr；abc 的周長(zhǎng)為l，面積為 s，其內(nèi)切圓的半徑為r，則12slr21 弦切角定理及其推論（1）弦切角：頂點(diǎn)在圓上，并且一邊和圓相交， 另一邊和圓相切的角叫做弦切角。如圖：pac為弦切角。（2）弦切角定理： 弦切角度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。如果 ac 是o 的弦， pa 是o 的切線