電磁場與電磁波第3章

1、第3章 1第3章 2 本章內(nèi)容本章內(nèi)容 3.1 靜電場分析靜電場分析 3.2 導電媒質(zhì)中的恒定電場分析導電媒質(zhì)中的恒定電場分析 3.3 恒定磁場分析恒定磁場分析 3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理 3.5 鏡像法鏡像法 3.6 分離變量法分離變量法 靜態(tài)電磁場：靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括：場量不隨時間變化，包括： 靜電場、恒定電場和恒定磁場靜電場、恒定電場和恒定磁場 時變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場時變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場 靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，

2、且相互獨立 第3章 33.1 靜電場分析靜電場分析 學習內(nèi)容學習內(nèi)容 3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù) 3.1.3 導體系統(tǒng)的電容與部分電容導體系統(tǒng)的電容與部分電容 3.1.4 靜電場的能量靜電場的能量 3.1.5 靜電力靜電力第3章 42. 邊界條件邊界條件微分形式：微分形式：本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：1. 基本方程基本方程積分形式：積分形式：或或若分界面上不存在面電荷，即若分界面上不存在面電荷，即S S0 0，則，則或或3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件0DEdd0SCqDSElDE1212()()0nS

3、neeDDEE12120nnSttDDEE1212()0()0nneeDDEE1212nnttDDEE第3章 5 在靜電平衡的情況下，導體內(nèi)部的電場為在靜電平衡的情況下，導體內(nèi)部的電場為0，則導體表面的，則導體表面的邊界條件為邊界條件為 或或 導體表面的邊界條件導體表面的邊界條件0nSneeDE0nStDE第3章 6由由即即靜電場靜電場可以用一個標量函數(shù)的梯度來表示，用一個標量函數(shù)的梯度來表示，標量函數(shù)標量函數(shù)稱為靜稱為靜電場的標量電位或簡稱電位，單位為電場的標量電位或簡稱電位，單位為V V（伏特）。（伏特）。1. 電位函數(shù)的定義電位函數(shù)的定義3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù)0EE 第3章 72.

4、 電位的表達式電位的表達式對于連續(xù)的體分布電荷，由對于連續(xù)的體分布電荷，由面電荷的電位：面電荷的電位： 故得故得點電荷的電位：點電荷的電位：線電荷的電位：線電荷的電位：31()11( )d()()d4411()()d4VVVrRE rVrVRRrVR Rrr31()RRR 1( )( )d4VrrVCR()1( )d4SSrrSCR( )1( )d4lCrrlCR( )4qrCR第3章 83. 電位差電位差兩端點乘兩端點乘 ，則有，則有將將上式兩邊從點上式兩邊從點P到點到點Q沿任意路徑進行積分，得沿任意路徑進行積分，得關(guān)于電位差的說明關(guān)于電位差的說明 P、Q 兩點間的電位差等于電場力將單位正電

5、荷從兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點移至點移至Q 點點 所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處；所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處； 電位差也稱為電壓，可用電位差也稱為電壓，可用U 表示；表示； 電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。P、Q 兩點間的電位差兩點間的電位差E dlddddEllll dd( )()QQPPElPQ 第3章 9 靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即選參考點選參考點令參考點電位為零令參考點電位為零電位確定值電位確定值( (電位差電

6、位差) )兩點間電位差有定值兩點間電位差有定值 選擇電位參考點的原則選擇電位參考點的原則 應使電位表達式有意義；應使電位表達式有意義； 應使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無應使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無 限遠作電位參考點；限遠作電位參考點； 同一個問題只能有一個參考點。同一個問題只能有一個參考點。4. 電位參考點電位參考點 為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，所以該

7、點的電位也就具有確定值，即定值，所以該點的電位也就具有確定值，即()CC第3章 10在均勻介質(zhì)中，有在均勻介質(zhì)中，有5. 電位的微分方程電位的微分方程在無源區(qū)域，在無源區(qū)域，標量泊松方程標量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程DEE 2 020第3章 116. 靜電位的邊界條件靜電位的邊界條件 設設P1和和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點，其電位分是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為別為 1和和 2。當兩點間距離當兩點間距離l0時時 若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即 導體靜電平衡后內(nèi)部電場為零，導體為導體靜電平衡后內(nèi)部電場為零，導體為等位體，所以表面上電位

8、的邊界條件：等位體，所以表面上電位的邊界條件：12媒質(zhì)媒質(zhì)2媒質(zhì)媒質(zhì)121l2P1P21120limd0PPlE l12由由 和和 D12()nSeDD2121Snn0s2121nnSn 常數(shù)，常數(shù)，第3章 12 例例 3.1.1 求電偶極子的電位求電偶極子的電位. . 解解 利用利用 在球坐標系中在球坐標系中用二項式展開，由于，得用二項式展開，由于，得代入上式，得代入上式，得 表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。+q電偶極子電偶極子zodq),(rP( )4qrCR2101201 211( )()44rrqqrrrrr221222(/ 2)cos(/

9、2)cosrrdrdrrdrdrd12cos ,cos22ddrrrr223000cos( )444rqdrrrrrp ep qdp(1)1axax 第3章 13 由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區(qū)電場強度由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區(qū)電場強度等位線等位線電場線電場線電偶極子的場圖電偶極子的場圖11( )()sinrE reeerrr 30(2cossin )4rqree第3章 14 解解 選定均勻電場空間中的一點選定均勻電場空間中的一點o為坐標原點，而任意點為坐標原點，而任意點P 的的位置矢量為位置矢量為r，則，則若選擇點若選擇點o為電位參考點，即為電位參考點，即 ，

10、則，則 在球坐標系中，取極軸與在球坐標系中，取極軸與 的方向一的方向一致，即致，即 ，則有，則有 在圓柱面坐標系中，取在圓柱面坐標系中，取 與與x軸方向一致，即軸方向一致，即 ，而，而 ，故，故 0E 例例3.1.2 求均勻電場的電位分布。求均勻電場的電位分布。000( )( )ddPPooPoElErE r rrrrrrggg( ) 0o0( )PE r rrg0E0 E00 xe E E00ze E E000( )coszPE re r EE r rrr rgg000( )()cosxzPE re E ee zE rrrrggzree z第3章 15 例例3.1.3 兩塊無限大接地導體平板

11、分別置于兩塊無限大接地導體平板分別置于x = 0和和 x = a 處，處，在兩板之間的在兩板之間的 x = b 處有一面密度為處有一面密度為 的均勻電荷分布，如圖所的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導體平板之間的電位和電場。示。求兩導體平板之間的電位和電場。 解解 在兩塊無限大接地導體平板之間，除在兩塊無限大接地導體平板之間，除 x = b 處有均勻面電處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程斯方程方程的解為方程的解為obaxy兩塊無限大平行板兩塊無限大平行板0S1( )x2( ) x0S212d( )0,(

12、0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD第3章 利用邊界條件，有利用邊界條件，有 處，處，最后得最后得 處，處， 處，處，所以所以由此解得由此解得1(0)02( )0a12( )( ),bb0 x xbxa0110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 0210( )( )Sx bxxxx 010020()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 1221122021000SDC aDC bDC bDCC 0110()( )( )SxabE xxea 0220( )( )SxbExxea 111222( )

13、( )xC xDxC xD第3章 17 電容是導體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導體系統(tǒng)電容是導體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導體系統(tǒng) 儲存電荷儲存電荷能力的物理量。能力的物理量。 孤立導體的電容定義為所帶電量孤立導體的電容定義為所帶電量q與其電位與其電位 的比值，即的比值，即1. 電容電容 孤立導體的電容孤立導體的電容 兩個帶等量異號電荷（兩個帶等量異號電荷（ q）的導體組成的電容器，其電容為的導體組成的電容器，其電容為 電容的大小只與導體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì)電容的大小只與導體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì) 的特性參數(shù)有關(guān)，而與導體的帶電量和電位無關(guān)。的特性參數(shù)有關(guān)，而與導體的帶

14、電量和電位無關(guān)。qC12qqCU 3.1.3 導體系統(tǒng)的電容導體系統(tǒng)的電容第3章 18 (1) 假定兩導體上分別帶電荷假定兩導體上分別帶電荷+q 和和 -q ； (2) 計算兩導體間的電場強度計算兩導體間的電場強度E； 計算雙導體電容的步驟：計算雙導體電容的步驟： (4) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。 (3) 由由 ，求出兩導體間的電位差；，求出兩導體間的電位差；21UE dlqCU或：或： (1) 假定兩導體間電壓假定兩導體間電壓U； (3) 根據(jù)根據(jù) 計算導體表面的電量；計算導體表面的電量； (2) 由由 ，求出電場強度，求出電場強度E；21UE dlsnssQdse

15、Eds (4) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。qCU第3章 19 例例 3.1.4 如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為a，兩導線，兩導線的軸線距離為的軸線距離為D，且，且D a，求傳輸線單位長度的電容。，求傳輸線單位長度的電容。l 解解 設兩導線單位長度帶電量分別為設兩導線單位長度帶電量分別為 和和 。由于。由于 ，故可近似地認為電荷分別均勻分布在兩故可近似地認為電荷分別均勻分布在兩導線的表面上。應用高斯定理和疊加原導線的表面上。應用高斯定理和疊加原理，可得到兩導線之間的平面上任一點理，可得到兩導線之間的平面上任一點P 的電場強度為的電

16、場強度為兩導線間的電位差兩導線間的電位差故單位長度的電容為故單位長度的電容為llDa011( )()2lxE xexDx210011d()dln2D allaDaUElxxDxa001F/mln()ln()lCUDaaD a02lE （無限長直導線）（無限長直導線）第3章 20 例例3.1.5 同軸線內(nèi)導體半徑為同軸線內(nèi)導體半徑為a，外導體半徑為為，外導體半徑為為b，內(nèi)外導體，內(nèi)外導體間填充的介電常數(shù)為間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。求同軸線單位長度的電容。內(nèi)外導體間的電位差內(nèi)外導體間的電位差ll 解解 設同軸線的內(nèi)、外導體單位長度帶電量分別為設同軸線的內(nèi)、

17、外導體單位長度帶電量分別為 和和 ，應用高斯定理可得到內(nèi)外導體間任一點的電場強度為應用高斯定理可得到內(nèi)外導體間任一點的電場強度為故得同軸線單位長度的電容為故得同軸線單位長度的電容為同軸線同軸線( )2lEe1( )dd2bblaaUEeln( / )2lb a12F/mln( / )lCUb all第3章 21 解：解：設內(nèi)導體的電荷為設內(nèi)導體的電荷為q q，則由高斯定理可求得內(nèi)外導體間，則由高斯定理可求得內(nèi)外導體間的電場的電場同心導體間的電壓同心導體間的電壓球形電容器的電容球形電容器的電容當當 時，時， 例例3.1.6 同心球形電容器的內(nèi)導體半徑為同心球形電容器的內(nèi)導體半徑為a、外導體半徑為

18、、外導體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為其間填充介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。求此球形電容器的電容。孤立導體球的電容孤立導體球的電容44rr22qqDe,Eerr0011d()44baqqbaUE rabab04abqCUbab 04Ca第3章 22 如果充電過程進行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過如果充電過程進行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所作的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能程中外加電源所作的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所作的總功。量就等于外加電源在此電場建立過程中所作的總功。靜電場能量來源于建

19、立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有 能量。能量。 任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個最終任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個最終電荷分布的建立電荷分布的建立(或充電或充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而作功。電荷之間的相互作用力而作功。3.1.4 靜電場的能量靜電場的能量 第3章 231. 靜電場的能量靜電場的能量 設系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為設系統(tǒng)從零開

20、始充電，最終帶電量為 q 、電位為、電位為 。 充電過程中某一時刻的電荷量為充電過程中某一時刻的電荷量為q、電位為、電位為 。 (01) 當當增加為增加為(+ d)時，外電源做功為時，外電源做功為: (q d)。 對對從從0 到到 1 積分，即得到外電源所做的總功為積分，即得到外電源所做的總功為 根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為 q 的帶電體具有的電的帶電體具有的電場能量場能量We ，即，即 對于電荷體密度為對于電荷體密度為的體分布電荷，體積元的體分布電荷，體積元dV中的電荷中的電荷dV具具有的電場能量為有的電場能量為101d2qq 12eWq1dd2eWV

21、第3章 24故體分布電荷的電場能量為故體分布電荷的電場能量為對于面分布電荷，對于面分布電荷，電場能量為電場能量為對于多導體組成的帶電系統(tǒng)，則有對于多導體組成的帶電系統(tǒng)，則有 第第i個導體所帶的電荷個導體所帶的電荷 第第i個導體的電位個導體的電位式中：式中：1d2eVWV1d2eSSWS 111dd222iiiieSiiSiiSSiiiWSSq iqi第3章 252. 電場能量密度電場能量密度 從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。電場能量密度：電場能量密度：電場的總能量：電場的總能量：積分區(qū)域為電場積分區(qū)域為電場所在的整個空

22、間所在的整個空間對于線性、各向同性介質(zhì)，則有對于線性、各向同性介質(zhì)，則有12ewD E1d2eVWD E V2111222ewD EE EE 2111ddd222eVVVWD E VE E VEV 第3章 26 例例3.1.7 半徑為半徑為a 的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的電的電荷，試求靜電場能量。荷，試求靜電場能量。 解：解： 方法一方法一，利用利用 計算計算 根據(jù)高斯定理求得電場強度根據(jù)高斯定理求得電場強度 故故1d2eVWD E V10()3rrEera3220()3raEerar12220102111ddd222eVVVWD E VEVEV222

23、622250224000014(4d4d )29915aararrrrar第3章 27 方法二方法二：利用利用 計算計算 先求出電位分布先求出電位分布 故故1d2eVWV3112200220dddd33()()23aarararaErErrrrrara2222251000114d()4d22 2315aeVrWVarra第3章 28作業(yè)：作業(yè)：3.13.1、3.83.8第3章 293.2 導電媒質(zhì)中的恒定電場分析導電媒質(zhì)中的恒定電場分析 恒定電場與靜電場重要區(qū)別：恒定電場與靜電場重要區(qū)別： （1 1）恒定電場可以存在導體內(nèi)部。）恒定電場可以存在導體內(nèi)部。 （2 2）恒定電場中有電場能量的損耗）

24、恒定電場中有電場能量的損耗, ,要維持導體中的恒定電要維持導體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗的電場能量。流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗的電場能量。 恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。 由由 可知，導體中若存在恒定電流，則必有維持該電流可知，導體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運動，但導體中的電的電場，雖然導體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運動，但導體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為恒定

25、電場。的電場稱為恒定電場。JE 第3章 303.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件恒定電場的基本方程和邊界條件1. 1. 基本方程基本方程 恒定電場的基本方程為恒定電場的基本方程為微分形式：微分形式：積分形式：積分形式： 線性各向同性導電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系線性各向同性導電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系 恒定電場的電位函數(shù)恒定電場的電位函數(shù)由由若媒質(zhì)是均勻的，則若媒質(zhì)是均勻的，則 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷沒有體分布電荷 恒定電場的基本場矢量是電流密度恒定電場的基本場矢量是電流密度 和電場強度和電場強度( )E r( )J r 00JE 00SCJ dSE dl JE ()0EE J0E0E E0

26、J()0 20第3章 312. 恒定電場的邊界條件恒定電場的邊界條件媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 121212E1Ene 場矢量的邊界條件場矢量的邊界條件即即即即場矢量的折射關(guān)系場矢量的折射關(guān)系12()0neJJ12()0neEE12nnJJ12ttEE111111222222/tantan/tnntnnEEJEEJ第3章 32 恒定電場同時存在于導體內(nèi)部和外部，在導體表面上的電場恒定電場同時存在于導體內(nèi)部和外部，在導體表面上的電場 既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導體表面，因既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導體表面，因 而導體表面不是等位面；而導體表面不是等位面；ab11、 說明

27、：說明：第3章 33第3章 343.2.2 恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬 如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數(shù)學問題。只需求出一種場的解，就兩種場分布必然是同一個數(shù)學問題。只需求出一種場的解，就可以用對應的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場可以用對應的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。的方法稱為比擬法。第3章 35恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場

28、的比擬基本方程基本方程靜電場（靜電場（ 區(qū)域）區(qū)域） 本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)位函數(shù)邊界條件邊界條件恒定電場（電源外）恒定電場（電源外）對應物理量對應物理量靜電場靜電場恒定電場恒定電場EEDJqICG0d0,d0SCDSEl0,0DEDE2,0E 1212 ttnnEEDD121212, nnd0,d0SCJSEl 0,0JE JE2,0E 1212 ttnnEEJJ121212, nn第3章 36 工程上常在電容器兩極板之間，同軸電纜的芯線與外殼之間，工程上常在電容器兩極板之間，同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導率遠遠小于金填充不導電的材料作電絕緣。這些絕緣

29、材料的電導率遠遠小于金屬材料的電導率，但畢竟不為零，因而當在電極間加上電壓屬材料的電導率，但畢竟不為零，因而當在電極間加上電壓U 時，時，必定會有微小的漏電流必定會有微小的漏電流 J 存在。存在。 漏電流與電壓之比為漏電導，即漏電流與電壓之比為漏電導，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即3.2.3 漏電導漏電導IGU1URGI第3章 37 計算電導的方法一計算電導的方法一： 計算電導的方法二計算電導的方法二： 計算電導的方法三計算電導的方法三：靜電比擬法：靜電比擬法：(1) 假定兩電極間的電流為假定兩電極間的電流為I；(2) 計算兩電極間的電流密度計算兩電極間的電流密度 矢量矢量J；

30、(3) 由由J = E 得到得到 E ;(4) 由由 ，求出兩導，求出兩導 體間的電位差；體間的電位差；(5) 求比值求比值 ，即得出，即得出 所求電導。所求電導。21UE dl/GI U (1) 假定兩電極間的電位差為假定兩電極間的電位差為U； (2) 計算兩電極間的電位分布計算兩電極間的電位分布 ； (3) 由由 得到得到E; (4) 由由 J = E 得到得到J; (5) 由由 ，求出兩導體間，求出兩導體間 電流；電流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求電導。求電導。E SIJ dS/GI UGC第3章 38 例例3.2.1 求同軸電纜的絕緣電阻。設內(nèi)外的半徑分別為求同軸電

31、纜的絕緣電阻。設內(nèi)外的半徑分別為a、b，長度為長度為l ，其間媒質(zhì)的電導率為，其間媒質(zhì)的電導率為、介電常數(shù)為、介電常數(shù)為。解解：1) 直接用恒定電場的計算方法直接用恒定電場的計算方法電導電導絕緣電阻絕緣電阻則則設由內(nèi)導體流向外導體的電流為設由內(nèi)導體流向外導體的電流為I。I2IJl2JIEl ddln22baIIbUlla El2ln( / )IlGUb a11ln2bRGla第3章 392) 用靜電比擬法求解用靜電比擬法求解根據(jù)例根據(jù)例3.1.27（P97）得到同軸線單位）得到同軸線單位 長度的電容為長度的電容為12F/mln( / )lCUb a因此，同軸線單位長度的漏電導為因此，同軸線單位

32、長度的漏電導為12S/mln( / )Gb a則絕緣電阻為則絕緣電阻為11ln /2bRmGla第3章 403.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件恒定磁場的基本方程和邊界條件3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標量磁位恒定磁場的矢量磁位和標量磁位3.3.3 電感電感3.3.4 恒定磁場的能量恒定磁場的能量3.3.5 磁場力磁場力 3.3 恒定磁場分析恒定磁場分析第3章 41微分形式微分形式: :1. 基本方程基本方程2. 邊界條件邊界條件本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：或或若分界面上不存在面電流，即若分界面上不存在面電流，即J JS S0 0，則，則積分形式積分形式: :或或3.3.1 恒定磁場的基本方程和

33、邊界條件恒定磁場的基本方程和邊界條件0HJBddd0CSSH lJ SB SBH1212()()0nSneHHJeBB1212()0()0nneHHeBB12120ttSnnHHJBB121200ttnnHHBB第3章 42 矢量磁位的定義矢量磁位的定義 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個標與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個標量量 的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即由由BA 即恒定磁場可以用一個矢量函數(shù)的旋度來表示。即恒定磁場可以用一個矢量函數(shù)的旋度來表示。 磁矢位的任意性是因為只規(guī)定了它的旋度，沒

34、有規(guī)定其散度磁矢位的任意性是因為只規(guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的造成的。為了得到確定的A，可以對，可以對A的散度加以限制，在恒定磁的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。1. 恒定磁場的矢量磁位恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位矢量磁位或稱磁矢位,單位是單位是Tm(特斯拉特斯拉米米) 3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標量磁位恒定磁場的矢量磁位和標量磁位0BAA ()AAA 0A第3章 43 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在無源區(qū)：在無源區(qū)：JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程 磁矢位的表達式

35、磁矢位的表達式BA HJAJ2()AAJ 0A0J ( )( )d4VJ rA rVR( )( )d4SSJrA rSRd( )4CIlA rR面電流面電流體電流體電流線電流線電流第3章 磁矢位的邊界條件磁矢位的邊界條件 利用磁矢位計算磁通量：利用磁矢位計算磁通量：12AA121211()nSeAAJdddSSCBSASAlddCSAlBS12ttAA0Ad0SAS12nnAA12()nSeHHJ/HA 第3章 45 例例 3.3.1 求小圓環(huán)電流回路的遠區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回求小圓環(huán)電流回路的遠區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回路的半徑為路的半徑為a，回路中的電流為，回路中的電流為I 。 解解

36、如圖所示，由于具有軸對稱性，如圖所示，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁場均矢量磁位和磁場均與與 無關(guān)，計算無關(guān)，計算xz平面平面上的矢量磁位與磁場上的矢量磁位與磁場將不失一般性。將不失一般性。小圓環(huán)電流小圓環(huán)電流aIxzyrRdlIP(sincos )rxzre rr ee(cossin)rxzre aa eedd(sincos) dxyle aeea 222221 2( sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar第3章 46對于遠區(qū)，有對于遠區(qū)，有r a ，所以，所以于是得到于是得到21 21 2112121 ( )sincos1sincosaaarrrrrrr1

37、(1sincos)arr2001( )(1sincos)(sincos)d4xyIaaA reerrrrrr202sin4yI aer r由于在由于在 =0面上面上 ，所以上式可寫成，所以上式可寫成yeerr20022( )sinsin44I aISA reerr rrrr第3章 47式中式中S =a2是小圓環(huán)的面積。是小圓環(huán)的面積?；蚧?11(sin)()sinrBAeAerArrr rrrr03(2cossin )4rISeerrr 載流小圓環(huán)可看作為磁偶極子，載流小圓環(huán)可看作為磁偶極子， 為磁偶極子的磁矩為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則（或磁偶極矩），則mpISrr02( )sin4m

38、pA rerrrr03( )4mA rprrrrrr03( )(2cossin )4mrpB reerrrrr第3章 482. 恒定磁場的標量磁位恒定磁場的標量磁位 一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導電流（電流（J0）的空間）的空間 中，則有中，則有即在無傳導電流即在無傳導電流（J0）的空間中，可以引入一個的空間中，可以引入一個標量位函數(shù)來標量位函數(shù)來描述磁場。描述磁場。 標量磁位的引入標量磁位的引入標量磁位或磁標位標量磁位或磁標位 磁標位的微分方程磁標位的微分方程(均勻線性各向同性介質(zhì)均勻線性各向同性介質(zhì))0H0,BBH(

39、)()0mBuHu mH 20m第3章 49 標量磁位的邊界條件標量磁位的邊界條件和和12mm1212mmnn第3章 50靜電位靜電位 磁標位磁標位 磁標位與靜電位的比較磁標位與靜電位的比較靜電位靜電位 磁標位磁標位 m 0,0HB0,EDE 20mH 20m121212,nn 121212,mmmmnnEDHB第3章 51作業(yè)：作業(yè)：3.123.12、3.173.17第3章 521. 磁通與磁鏈磁通與磁鏈 3.3.3 電感電感 單匝線圈形成的回路的磁鏈定單匝線圈形成的回路的磁鏈定 義為穿過該回路的磁通量義為穿過該回路的磁通量 多匝線圈形成的導線回路的磁多匝線圈形成的導線回路的磁 鏈定義為所有

40、線圈的磁通總和鏈定義為所有線圈的磁通總和 CI 細回路細回路 粗導線構(gòu)成的回路，磁鏈分為粗導線構(gòu)成的回路，磁鏈分為 兩部分：一部分是粗導線包圍兩部分：一部分是粗導線包圍 的、磁力線不穿過導體的外磁通量的、磁力線不穿過導體的外磁通量 o ；另一部分是磁力線穿過；另一部分是磁力線穿過 導體、只有粗導線的一部分包圍的內(nèi)磁通量導體、只有粗導線的一部分包圍的內(nèi)磁通量 i。 iCI o粗回路粗回路ii第3章 53 設回路設回路C中的電流為中的電流為I，所產(chǎn)生的磁場與回路，所產(chǎn)生的磁場與回路 C 交鏈的磁鏈為交鏈的磁鏈為 ，則磁鏈，則磁鏈 與回路與回路 C 中的電流中的電流 I 有正比關(guān)系，其比值有正比關(guān)系

41、，其比值稱為回路稱為回路 C 的自感系數(shù)，簡稱自感。的自感系數(shù)，簡稱自感。 外自感外自感2. 自感自感 內(nèi)自感；內(nèi)自感；粗導體回路的自感：粗導體回路的自感：L = Li + Lo 自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，與電自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)。流無關(guān)。 自感的特點：自感的特點：LIiiLI00LI第3章 54 對兩個彼此鄰近的閉合回路對兩個彼此鄰近的閉合回路C1和回路和回路C2 ，當回路，當回路C1中通過電中通過電流流 I1時，不僅與回路時，不僅與回路C1交鏈的磁交鏈的磁鏈與鏈與I1成正比，而且與回路成正比，而且與回路C2交交鏈的磁鏈鏈的磁鏈 2

42、1也與也與I1成正比，其比成正比，其比例系數(shù)例系數(shù)稱為回路稱為回路C1 對回路對回路C2 的互感系數(shù)，簡稱互感。的互感系數(shù)，簡稱互感。 3. 互感互感同理，回路同理，回路 C2 對回路對回路 C1 的互感為的互感為C1C2I1I2Ro1dl2dl21211MI12122MI第3章 55 互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍 磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。 滿足互易關(guān)系，即滿足互易關(guān)系，即M12= M21 互感的特點：互感的特點：第3章 564. 4. 紐曼公式紐曼公式 如圖所示的兩個如圖所示的兩個回路

43、回路C1和回路和回路C2 ，回路回路C1中的電流中的電流 I1在回路在回路C2上的任一點上的任一點產(chǎn)生的矢量磁位產(chǎn)生的矢量磁位回路回路C1中的電流中的電流 I1產(chǎn)生的磁場與回路產(chǎn)生的磁場與回路C2交鏈的磁鏈為交鏈的磁鏈為C1C2I1I2Ro1dl2dl故得故得同理同理紐曼公式紐曼公式10 1112d( )4CIlA rR2210 121211ddd4CCCIllAlR 1201212dd4CCllMR 2102121dd4CCllMR 120122112dd4CCllMMMR 第3章 573.3.4 恒定磁場的能量恒定磁場的能量1. 磁場能量磁場能量 電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用而運動

44、，表明恒定電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用而運動，表明恒定 磁場具有能量。磁場具有能量。 磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。當電流從磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。當電流從 零開始增加時，回路中的感應電動勢要阻止電流的增加，因零開始增加時，回路中的感應電動勢要阻止電流的增加，因 而必須有外加電壓克服回路中的感應電動勢。而必須有外加電壓克服回路中的感應電動勢。 假定建立并維持恒定電流時，沒有熱損耗假定建立并維持恒定電流時，沒有熱損耗, 在恒定電流建立過在恒定電流建立過 程中，電流的變化足夠緩慢，沒有輻射損耗。程中，電流的變化足夠緩慢，沒有輻射損耗。在恒定磁場建立過在恒定

45、磁場建立過程中，電源克服感應電動勢作功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁程中，電源克服感應電動勢作功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁場能量。場能量。第3章 58 設回路從零開始充電，最終的電流為設回路從零開始充電，最終的電流為 I 、交鏈的磁鏈為、交鏈的磁鏈為 。 在在時刻時刻t 的電流為的電流為i =I、磁鏈為、磁鏈為 = 。 (01) 根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流為為 I 的載流回路具有的的載流回路具有的磁場能量磁場能量Wm，即，即對對從從0 到到 1 積分，即得到外電源所做的總功為積分，即得到外電源所做的總功為外加電壓應為外加電壓應為當當增加為增加為(+ d)時

46、，時，所做的功所做的功根據(jù)法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢根據(jù)法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢:ddit ddiut dddddddWu qi tiIt 101dd2WWII 21111ddV2222mCVWIIAlLIJ A第3章 592. 磁場能量密度磁場能量密度 從場的觀點來看，磁場能量分布于磁場所在的整個空間。從場的觀點來看，磁場能量分布于磁場所在的整個空間。磁場能量密度：磁場能量密度：磁場的總能量：磁場的總能量：積分區(qū)域為場所積分區(qū)域為場所在的整個空間在的整個空間對于線性、各向同性介質(zhì)，則有對于線性、各向同性介質(zhì)，則有12mwB H1d2mVWB H V2111222mw

47、B HH HH2111ddd222mVVVWB H VH H VHV第3章 60 例例3.3.7 同軸電纜的同軸電纜的內(nèi)導體半徑為內(nèi)導體半徑為a，外導體的內(nèi)、外半徑分外導體的內(nèi)、外半徑分別為別為 b和和c，如圖所示。導體中通有電流，如圖所示。導體中通有電流 I ，試求同軸電纜中單位，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。長度儲存的磁場能量與自感。 解解：由安培環(huán)路定律，得：由安培環(huán)路定律，得2222202220IeaaIeabHIcebccbc第3章 61三個區(qū)域三個區(qū)域單位長度單位長度內(nèi)的磁場能量分別為內(nèi)的磁場能量分別為2200120() 2d J/m2216amIIWa 22002(

48、) 2dln /224bmaIIbWJ ma 222203222422022222() () 2d223ln /4()4()cmbIcWcbIcccbJ mcbbcb 第3章 62同軸線單位長度內(nèi)總的磁場能量為同軸線單位長度內(nèi)總的磁場能量為單位長度的總自感單位長度的總自感內(nèi)導體的內(nèi)自感內(nèi)導體的內(nèi)自感內(nèi)外導體間的外自感內(nèi)外導體間的外自感外導體的內(nèi)自感外導體的內(nèi)自感123222422000222223lnln /1644()4()mmmmWWWWIIIbcccbJ macbbcb42200022222223lnln822()4()mWbcccbLIacbbcb第3章 633.4 靜態(tài)場的邊值問題及

49、解的惟一性定理靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理3.4.1 3.4.1 邊值問題的類型邊值問題的類型已知場域邊界面上的位函數(shù)值，即已知場域邊界面上的位函數(shù)值，即邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函 數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程第一類邊值問題（或狄里赫利問題）第一類邊值問題（或狄里赫利問題）已知場域邊界面上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即已知場域邊界面上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即 已知場域一部分邊界面上的已知場域一部分邊界面上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面位函數(shù)值，而另一部分邊界面上則已知上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即第三類

50、邊值問題（或混合邊值問題）第三類邊值問題（或混合邊值問題）第二類邊值問題（或紐曼問題）第二類邊值問題（或紐曼問題）1|( )Sf S2|( )SfSn111|()Sf S、222|()SfSn第3章 64 自然邊界條件自然邊界條件 （無界空間）（無界空間） 周期邊界條件周期邊界條件 銜接條件銜接條件不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如2S2(2 )limrr有限值121212,nn第3章 65例：例：（第一類邊值問題）（第一類邊值問題）0U0U0 x0 x（第三類邊值問題）（第三類邊值問題）例：例：(0, )0, ( , )0ya y0( ,0)0, ( , )xx b

51、U00,0 xx axx0( ,0)0, ( , )xx bU第3章 66 在場域在場域V 的邊界面的邊界面S上給定上給定 或或 的的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V 具具有惟一值。有惟一值。 3.4.2 惟一性定理惟一性定理惟一性定理的重要意義惟一性定理的重要意義給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)惟一性定理的表述惟一性定理的表述n第3章 67 解解：先求內(nèi)導體的內(nèi)自感。設同軸

52、：先求內(nèi)導體的內(nèi)自感。設同軸線中的電流為線中的電流為I，由安培環(huán)路定理，由安培環(huán)路定理穿過沿軸線單位長度的矩形面積元穿過沿軸線單位長度的矩形面積元dS =d 的磁通為的磁通為 例例3.3.3 求同軸線單位長度的自感。設內(nèi)導體半徑為求同軸線單位長度的自感。設內(nèi)導體半徑為a，外導，外導體厚度可忽略不計，其半徑為體厚度可忽略不計，其半徑為b，空氣填充。，空氣填充。得得與與di交鏈的電流為交鏈的電流為則與則與di相應的磁鏈為相應的磁鏈為2222diCIIHlIaa022, 022iiIIHBaaa02ddd2iiIBSa 22IIa 304ddd2iiIIIa1dSede d adIiBab第3章 6

53、8因此內(nèi)導體中單位長度總的內(nèi)磁鏈為因此內(nèi)導體中單位長度總的內(nèi)磁鏈為故單位長度的內(nèi)自感為故單位長度的內(nèi)自感為再求內(nèi)、外導體間的外自感。再求內(nèi)、外導體間的外自感。則則故單位長度的外自感為故單位長度的外自感為單位長度的總自感為單位長度的總自感為30040dd28aiiIIa08iiLI02IB0dd2ooId00ddln22booaIIba0ln2oobLIa00ln82iobLLLa08iiLI02IB第3章 69 例例3.3.4 計算平行雙線傳輸線單位的長度的自感。設導線的半計算平行雙線傳輸線單位的長度的自感。設導線的半徑為徑為a，兩導線的間距為，兩導線的間距為D，且，且D a。導線及周圍媒質(zhì)的

54、磁導率。導線及周圍媒質(zhì)的磁導率為為0 。穿過兩導線之間沿軸線方向為單位長度的面積的外磁鏈為穿過兩導線之間沿軸線方向為單位長度的面積的外磁鏈為 解解 設兩導線流過的電流為設兩導線流過的電流為I 。由。由于于D a ，故可近似地認為導線中的，故可近似地認為導線中的電流是均勻分布的。應用安培環(huán)路定電流是均勻分布的。應用安培環(huán)路定理和疊加原理，可得到兩導線之間的理和疊加原理，可得到兩導線之間的平面上任一點平面上任一點P 的磁感應強度為的磁感應強度為PII011( )()2yIB xexDx0011d()dln2D aoaIIDaBSxxDxa第3章 70于是得到平行雙線傳輸線單位的長度的外自感于是得到

55、平行雙線傳輸線單位的長度的外自感兩根導線單位的長度的內(nèi)自感為兩根導線單位的長度的內(nèi)自感為故得到平行雙線傳輸線單位的長度的自感為故得到平行雙線傳輸線單位的長度的自感為00lnlnooDaDLIaa00284iL00ln4ioDLLLa第3章 71由圖中可知由圖中可知長直導線與三角形回路長直導線與三角形回路Idz60bddSz穿過三角形回路面積的磁通為穿過三角形回路面積的磁通為 解解 設長直導線中的電流為設長直導線中的電流為I，根據(jù)根據(jù)安培環(huán)路定律，得到安培環(huán)路定律，得到 例例3.3.5 如圖所示，長直導線與三角如圖所示，長直導線與三角形導體回路共面，求它們之間的互感。形導體回路共面，求它們之間的

56、互感。02IBe0001dd dd22d bzd bSddIIzBSz()tan(3)3()zbdbd第3章 72因此因此故長直導線與三角形導體回路的互感為故長直導線與三角形導體回路的互感為031()d2d bdIbd03()ln(1)2Ibbdbd03()ln(1)2IbMbdbId第3章 73 例例3.3.6 如圖所示，兩個互相平行且共軸的圓形線圈如圖所示，兩個互相平行且共軸的圓形線圈C1和和C2，半徑分別為半徑分別為a1和和a2，中心相距為，中心相距為d。求它們之間的互感。求它們之間的互感。于是有于是有 解解 利用紐曼公式來計算，則有利用紐曼公式來計算，則有兩個平行且共軸的線圈兩個平行且

57、共軸的線圈2Cd1a2a1C1dl2dl21xyz式中式中= 2 1為為 與與 之間的夾角，之間的夾角，dl1=a1d 1、 dl2=a1d 2，且，且12120021212121ddd d cos44CCCCllllMrrrr 2221 2211212212cos()rrdaaa a2201221212221 200121221cos()dd42cos()a aMdaaa a 20122221 201212cos d22cos a adaaa a 1dl2dl第3章 74 若若d a1，則，則于是于是 一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。但是若一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。

58、但是若d a1或或d a2時，可進行近似計算。時，可進行近似計算。2221 2221 21 212121222222cos2cos 1a adaaa adada221 2122222cos1a adada222012012122222 3 2220222cos1cos d22a aa aa aMdadada 第3章 75 當有電荷存在于導體或介質(zhì)表面附近時，導體和介質(zhì)表面會當有電荷存在于導體或介質(zhì)表面附近時，導體和介質(zhì)表面會出現(xiàn)感應電荷或極化電荷，而感應電荷或極化電荷將影響場的分出現(xiàn)感應電荷或極化電荷，而感應電荷或極化電荷將影響場的分布。布。非均勻感應電荷產(chǎn)生的電位很難求非均勻感應電荷產(chǎn)生的電

59、位很難求解，可以用等效電荷的電位替代解，可以用等效電荷的電位替代1. 問題的提出問題的提出幾個實例幾個實例接地導體板附近有接地導體板附近有一個點電荷，如圖所一個點電荷，如圖所示。示。q qqq非均勻感應電荷非均勻感應電荷等效電荷等效電荷 3.5 鏡像法鏡像法第3章 76 接地導體球附近有一個點電荷，如圖。接地導體球附近有一個點電荷，如圖。非均勻感應電荷產(chǎn)生的非均勻感應電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代等效電荷的電位替代 接地導體柱附近有一個線電荷。情況與上例類似，但等效電接地導體柱附近有一個線電荷。情況與上例類似，但等效電 荷為線電荷。荷為線電荷。q q非均勻

60、感應電荷非均勻感應電荷qq等效電荷等效電荷結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點電荷結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點電荷 或線電荷的作用?；蚓€電荷的作用。問題：這種等效電荷是否存在？問題：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？這種等效是否合理？第3章 772. 鏡像法的原理鏡像法的原理 用位于場域邊界外虛設的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代用位于場域邊界外虛設的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均該邊界上未知的較為復雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計算過程勻媒質(zhì)空間