matlab-常微分方程

1、 matlab常微分方程求解函數(shù)函數(shù) dsolve 格式：格式：r = dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v)b)x(yaxd)x(ycxf)x(yex (4)若邊界條件少于方程（組）的階數(shù)，若邊界條件少于方程（組）的階數(shù)，則返回的結(jié)果則返回的結(jié)果r中會出現(xiàn)任意常數(shù)中會出現(xiàn)任意常數(shù)C1，C2，；(5) dsolve命令最多可以接受命令最多可以接受12個(gè)輸入?yún)€(gè)輸入?yún)⒘浚òǚ匠探M與定解條件個(gè)數(shù)，當(dāng)然我量（包括方程組與定解條件個(gè)數(shù)，當(dāng)然我們可以做到輸入的方程個(gè)數(shù)多于們可以做到輸入的方程個(gè)數(shù)多于12個(gè)，只個(gè)，只要將多個(gè)方程置于一字符串內(nèi)即可）。要將多個(gè)方程置于一字符串內(nèi)即可）。

2、(6)若沒有給定輸出參量，則在命令窗口顯若沒有給定輸出參量，則在命令窗口顯示解列表。若該命令找不到解析解，則返示解列表。若該命令找不到解析解，則返回一警告信息，同時(shí)返回一空的回一警告信息，同時(shí)返回一空的sym對象。對象。這時(shí)，用戶可以用命令這時(shí)，用戶可以用命令ode23或或ode45求解方程組的數(shù)值解。求解方程組的數(shù)值解。例例1 dsolve(D2y = -a2*y,y(0) = 1,Dy(pi/a) = 0,x) 0)/(1)0(2ayyyayans=cos(a*x) dsolve(D2y = -a2*y, y(0) = 1,Dy(pi/a) = 0)例例2 u,v = dsolve(Du=

3、v,Dv=u)uvvuu = C1*exp(-t)+C2*exp(t)V=-C1*exp(-t)+C2*exp(t)Matlab專門用于求解常微分方程的函專門用于求解常微分方程的函數(shù)，主要采用數(shù)，主要采用Runge-Kutta方法：方法：ode23, ode45, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tbT,Y = solver(odefun,tspan,y0) T,Y = solver(odefun,tspan,y0,options)T,Y =solver(odefun,tspan,y0,options,p1,p2) （1）solver為命令為命令Ode

4、45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb之一。之一。（2）odefun 為常微分方程為常微分方程y=f(x,y)，或?yàn)榘换旌暇仃嚨姆匠袒驗(yàn)榘换旌暇仃嚨姆匠?x,y)*y=f(x,y).（3）tspan 積分區(qū)間（即求解區(qū)間）的向積分區(qū)間（即求解區(qū)間）的向量量tspan=t0,tf。要獲得問題在其他指定。要獲得問題在其他指定時(shí)間點(diǎn)時(shí)間點(diǎn)t0,t1,t2,上的解，則令上的解，則令tspan=t0,t1,t2,tf（要求是單調(diào)的）。（要求是單調(diào)的）。（4）y0 包含初始條件的向量。包含初始條件的向量。（5）options 用命令用命令odese

5、t設(shè)置的可選設(shè)置的可選積分參數(shù)積分參數(shù).（6）p1,p2, 傳遞給函數(shù)傳遞給函數(shù)odefun的可選的可選參數(shù)。參數(shù)。 T,Y = solver(odefun,tspan,y0) T,Y = solver(odefun,tspan,y0,options)T,Y =solver(odefun,tspan,y0,options,p1,p2)求解具體求解具體ODE的基本過程的基本過程：（1）根據(jù)問題所屬學(xué)科中的規(guī)律、定律、）根據(jù)問題所屬學(xué)科中的規(guī)律、定律、公式，用微分方程與初始條件進(jìn)行描述。公式，用微分方程與初始條件進(jìn)行描述。F(y,y,y,y(n),t) = 0y(0)=y0,y(0)=y1,y(n

6、-1)(0)=yn-1而而y=y;y(1);y(2);,y(m-1)，n與與m可以不等可以不等求解具體求解具體ODE的基本過程的基本過程： ),(),(),(2121ytfytfytfyyyynn nnyyyyyyy10210)0()0()0(不同求解器不同求解器Solver的特點(diǎn)的特點(diǎn)求解器求解器SolverODE類型類型特點(diǎn)特點(diǎn)說明說明ode45ode45非非剛剛性性一步算法；一步算法；4 4，5 5階階Runge-KuttaRunge-Kutta方方程；累計(jì)截?cái)嗾`程；累計(jì)截?cái)嗾`差達(dá)差達(dá)( (x)x)3 3大部分場合的首大部分場合的首選算法選算法ode23ode23非非剛剛性性一步算法；一

7、步算法；2 2，3 3階階Runge-KuttaRunge-Kutta方方程；累計(jì)截?cái)嗾`程；累計(jì)截?cái)嗾`差達(dá)差達(dá)( (x)x)3 3使用于精度較低使用于精度較低的情形的情形求解器求解器SolverODE類類型型特點(diǎn)特點(diǎn)說明說明ode113ode113非非剛剛性性多步法；多步法；AdamsAdams算算法；高低精度均可法；高低精度均可到到1010-3-31010-6-6計(jì)算時(shí)間比計(jì)算時(shí)間比ode45ode45短短ode23tode23t適適度度剛剛性性采用梯形算法采用梯形算法適度剛性情形適度剛性情形ode15sode15s剛剛性性多步法；多步法；GearsGears反向數(shù)值微分；精反向數(shù)值微分；精

8、度中等度中等若若ode45ode45失效時(shí)，失效時(shí)，可嘗試使用可嘗試使用不同求解器不同求解器Solver的特點(diǎn)的特點(diǎn)求解器求解器SolverODE類類型型特點(diǎn)特點(diǎn)說明說明ode23sode23s剛剛性性一步法；一步法；2 2階階RosebrockRosebrock算法；算法；低精度低精度當(dāng)精度較低時(shí)，當(dāng)精度較低時(shí)，計(jì)算時(shí)間比計(jì)算時(shí)間比ode15sode15s短短ode23tbode23tb剛剛性性梯形算法；低精梯形算法；低精度度當(dāng)精度較低時(shí)，當(dāng)精度較低時(shí)，計(jì)算時(shí)間比計(jì)算時(shí)間比ode15sode15s短短參數(shù)設(shè)置參數(shù)設(shè)置屬性名屬性名取值取值含義含義AbsTol有效值：有效值：正實(shí)數(shù)或正實(shí)數(shù)或向量

9、向量缺省值：缺省值：1e-6絕對誤差對應(yīng)于解向量絕對誤差對應(yīng)于解向量中的所有元素；向量則中的所有元素；向量則分別對應(yīng)于解向量中的分別對應(yīng)于解向量中的每一分量每一分量RelTol有效值：有效值：正實(shí)數(shù)正實(shí)數(shù)缺省值：缺省值：1e-3相對誤差對應(yīng)于解向量相對誤差對應(yīng)于解向量中的所有元素。在每步中的所有元素。在每步(第第k步步)計(jì)算過程中，誤計(jì)算過程中，誤差估計(jì)為：差估計(jì)為：e(k)=max(RelTol*abs(y(k),AbsTol(k)參數(shù)設(shè)置參數(shù)設(shè)置屬性名屬性名取值取值含義含義NormControl有效值：有效值：on、off缺省值：缺省值：off為為on時(shí)，控制解向量時(shí)，控制解向量范數(shù)的相對

10、誤差，使每范數(shù)的相對誤差，使每步計(jì)算中，滿足：步計(jì)算中，滿足：norm(e)1缺省值：缺省值：k = 1若若k1，則增加每個(gè)積分，則增加每個(gè)積分步中的數(shù)據(jù)點(diǎn)記錄，使步中的數(shù)據(jù)點(diǎn)記錄，使解曲線更加的光滑解曲線更加的光滑參數(shù)設(shè)置參數(shù)設(shè)置屬性名屬性名取值取值含義含義Jacobian有效值：有效值：on、off缺省值：缺省值：off若為若為on時(shí)，返回相應(yīng)時(shí)，返回相應(yīng)的的ode函數(shù)的函數(shù)的Jacobi矩矩陣陣Jpattern有效值：有效值：on、off缺省值：缺省值：off為為on時(shí)，返回相應(yīng)的時(shí)，返回相應(yīng)的ode函數(shù)的稀疏函數(shù)的稀疏Jacobi矩陣矩陣參數(shù)設(shè)置參數(shù)設(shè)置屬性名屬性名取值取值含義含義Ma

11、ss有效值：有效值：none、M、M(t)、M(t,y)缺省值缺省值：noneM：不隨時(shí)間變化的常：不隨時(shí)間變化的常數(shù)矩陣數(shù)矩陣M(t)：隨時(shí)間變化的矩：隨時(shí)間變化的矩陣陣M(t,y)：隨時(shí)間、地點(diǎn)變：隨時(shí)間、地點(diǎn)變化的矩陣化的矩陣MaxStep有效值：有效值：正實(shí)數(shù)正實(shí)數(shù)缺省值：缺省值：tspans/10最大積分步長最大積分步長例例3 1)0(2xxx00.20.40.60.810.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951time t0=0,tt=1x values x(0)=1例例4 20)0(30)0(04. 002. 001. 01 . 02121222111xxtxxxxtxxxx運(yùn)行命令文件運(yùn)行命令文件runf3.mt,x=ode45(function3,0,20,30;20);plot(t,x);xlabel(time t0=0,tt=20);ylabel(x values x1(0)=30,x2(0)=20);05101520020406080100120time t0=0,tt=20 x values x1(0)=30,x2(0)=20例例5 0)0( , 1)0(01)1(222yydtdyyd