清華大學(xué)斷裂力學(xué)講義Ch5_1

1、第五章：J積分和M積分J積分HRR場(chǎng)J積分的實(shí)驗(yàn)測(cè)量和數(shù)值計(jì)算討論M積分&裂力學(xué)中的三個(gè)守恒積分2D （線積分）能量釋放率（缺陷相互作用）J積分人=(呵a-%"人M積分M =丄(性 - %®聲Knowles-SternbergL積分乙=乞即(+ trUraXp yVJ. K Knowles, Eli Sternberg, On a class of conservation laws in linearized and finite elastostatics. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 44, 187

2、-211 (1972).B. Budiansky and J. R. Rice, Conservation laws and energy-release rates Journal of Applied Mechanics, 40, pp. 201-203 (1973).J積分John Douglas EshelbyJ.D Eshelby, The force on an elastic singularity. Phil.Trans. Roy. Soc. London A 244, 87-111 (1951).JD. Eshelby, The continuum theory of lat

3、tice defects. Solid State Physics 3, 79-144 (1956).James R RiceJ.R Rice, A path in dependent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks. J. Appl. Meeh. 35, 379-386 (1968).G.P. Cherepanov, Crack propagation in continuous media Journal of Applied Mathematics an

4、d Mechanics 31,503 (1967).GP Cherepanov, Cracks in solids. International Journal of Solids and Structures 4, 811-831 (1968).J IntegralEmmy Noether (1882-1935)The derivation of J as an example of Noether's theorem.Noether I TheoremAny differentiable symmetry of the action of a physical system has

5、 a corresponding conservation law The action of a physical system is the integral over time of a Lagrangian function (which may or may not be an integral over space of a Lagrangian density function), from which the system's behavior can be determined by the principle of least action.The homogene

6、ity of the material implies the path independence of J./wiki/Noether's_theorem5.1 J積分的概念及其理論背景和動(dòng)機(jī)Griffith的能量釋放率G/對(duì)整個(gè)構(gòu)型的能量判斷來確定裂紋擴(kuò)展，從理論角度講上適 用范圍廣/需要知道全場(chǎng)信息來確定能量隨裂紋的變化，可操作性差 應(yīng)力強(qiáng)度因子K/只需要裂尖附近的信息 /只對(duì)于脆性和小范圍屈服情形適用J積分/仍采用能量分析的方法/只需要J積分圍道上的信息便可判斷裂紋是否擴(kuò)展。/適用于非線性材料，且不限于小范圍的修正固定圍道上的能量平衡

7、可以不再考察整個(gè)系統(tǒng)的能量平衡，而只考率圍道內(nèi)縮的能量 變化。針對(duì)于二維問題。鋼為在時(shí)刻t由廠圈定且固化在物質(zhì)上的面積。儲(chǔ)存在縮上的能量隨裂紋長(zhǎng)度變化為G5a = Q5q - SU ()(2)Q和q分別為作用在圍道上的廣 義力和廣義位移。寫成關(guān)于時(shí)間的 變化率形式如下：)=丄b/%為應(yīng)變能密度。下面我們?cè)噲D將這種能量平衡關(guān)系建立在隨裂尖移動(dòng)的坐標(biāo)系上Ga =隨裂尖移動(dòng)圍道上的能量卄 在一個(gè)隨裂尖移動(dòng)的坐標(biāo)系 研究上述能量平衡。x（t） = XX Q（f） , X = x2（2）式右端第一項(xiàng)中dt(2)在移動(dòng)坐標(biāo)系下 % =僉（昭兀20 =僉（西-3）dUaU =-Idua加"=二-a

8、-1 X| ,x2x2 /"dtXia(f)a(t+d£)(2)計(jì)算右端第二項(xiàng),考察經(jīng)歷心前后縮和A移中的能量變化，不失一般性，假設(shè)t 時(shí)刻As和4移重合必)=必)+以)U l(1| t + A/) = U j (t + A?)+U + A/ ) 3獷 Ph &+&)- S (川-S (0+5 (t+Ar)4多(f+NXsC+M+S/C+4)4多=un (t+-Un (r)- 4 (0+Uin (t+Ar)_ wnidTlf/同 一 At/移=Uj t + A?) UI” t + /V)= A/ziJ由此可得(Reynold輸運(yùn)定理)f wdA = f wd

9、Aa wn.dTdt Audt辦移廠 嘰=-如Z a-dt,dxx2.tGet =dwdA =f wdAa f wn、djTdt嗆移廠rtauadr-J積分/流入圍道的能通量1)0定常裂紋擴(kuò)展/與Griffith能量釋放率在 滿足右列條件之一時(shí)相等 2）已將能量釋放率變成一條線上的積分！ ！3）無限小圍道（第一項(xiàng)1廣"f° 第二項(xiàng)如何？超彈性材料（或形變塑性不卸載）， 材料沿X1方向均勻（見下頁(yè)證明）證明在超彈性材料（或形變塑性不卸載），且材料沿Q方向均勻時(shí)f r du、d r,dr-f wdAJ廠 Q dtX；,x2dt移=0=r色團(tuán)土辺必二 移 dsnlJdtJ0，兀2

10、，M二扁V 嗎（兀：，兀2，"必 縮ijdt超彈性材料（或形 變塑性不卸載）保 證W為單值，八2,"戶八2廣一、 材料沿Xi方向均 勻，但本構(gòu)可以是X2的函數(shù)由虛功原理知（怎么來的？）（推導(dǎo)過程中要用到無體力條件）dr- dt仆dt6 小匕工丿必二0lJ若材料沿&和幻方向均不均勻，W二M切內(nèi),兀2）L示"X毛，M L示"仏（X，兀2，f），X +曲）,兀2 上述推導(dǎo)不成立IJ積分概念引入推導(dǎo)思路總結(jié)能量釋放率的引入從整個(gè)系統(tǒng)的作功與能量平衡關(guān)系得到 =固定圍道內(nèi)的能量轉(zhuǎn)化 =如何在隨裂尖移動(dòng)的坐標(biāo)及圍道下表示，在滿足一定條 件的前提下，下述積分就

11、是能量釋放率，轉(zhuǎn)化為圍道上信 息的積分。A =屛 ©I”廠滿足下述條件之一1）定常裂紋擴(kuò)展2）無限小圍道（第一項(xiàng)）3 ）超彈性材料（或形變塑性不卸載）,且 材料沿X1方向均勻再看看J積分的定義，應(yīng)該與路徑無關(guān)？X Vs閉口圍道再看看J積分的定義，應(yīng)該與路徑無關(guān)？X Vs閉口圍道J積分0/流入圍道的能通量1)定常裂紋擴(kuò)展再看看J積分的定義，應(yīng)該與路徑無關(guān)？X Vs閉口圍道/與Griffith能量釋放率在滿足右列條件之一時(shí)相等 2） 已將能量釋放率變成一條線 上的積分！ ！3）無限小圍道（第一項(xiàng)廣®朋->0）第二項(xiàng)如何？超彈性材料（或形變塑性不卸載），且 材料沿Xi方向均

12、勻（見下頁(yè)證明）仇嚴(yán)0,1 ”廠人=rnna.我們將證明，在以上條件下，對(duì) 任意封閉圍道探J積分是在一定條件下與積分路徑無關(guān)的守恒積分1. 超彈性材料（或形變塑性不卸 載），且材料沿Xi方向均勻， 無體力作用， 準(zhǔn)靜態(tài)， 圍道內(nèi)無奇點(diǎn)， 小變形bjkuk,i '廠=。所以J積分與路徑無關(guān)對(duì)于J1，顯然在仃和匚段的積分為零，為什么?證明厶=二 仏_ 聽皿 ” =o ：總的思路將環(huán)路積分轉(zhuǎn)換為面內(nèi) 積分。引入能動(dòng)量張量(Eshelby):耳j = wQj crjkUki ,則 PijHj = njCFjkUk i =HjCTjkUk i人=-(啊-njjk% W = i P/

13、M廠=£ R腫=o 因?yàn)?2, 3)Rj,j = W,Qij bjk,jUk,i ajkUkJj = % ajkjuk,i ajkukjj上式右端第二項(xiàng)bjk,jUk,i下面我們證明右端第一和第三項(xiàng)可以抵消(1) dw djk (1A5)"'二= b jkdxtuj,ki + Uk,ij)= - bjAj,ki + £ bjkllk,ijj，ki1 1=akjuj,ki + aujkak,ij jkllkjj +丁5叫為 jkUkJj得證1超彈性材料（或形變塑性不卸載），且材料沿Xi方向均勻;2.無體力作用；3.準(zhǔn)靜態(tài)4.圍道內(nèi)無奇點(diǎn)；5.小變形探J積分應(yīng)

14、用示例I習(xí)題5-1、右-您咕”廠討論J積分的路徑無關(guān)性帶來的優(yōu)點(diǎn)是可以選擇最容易計(jì)算的路徑妙/2 rznw £For this case JG and we can easily evaluate the J intcgral around the contour shown. The integrand anishes everywhere except the segmenf 匚 On this segmeit is easy to see that有錯(cuò)誤，請(qǐng)按平面應(yīng)變和平面應(yīng)(l-v)2 JJ力分別推導(dǎo)while "門can be made arbitrarily s

15、mall by taking r. far ahead of the crack tip. Therefore, evaluatingthe intcgraL wc get廠E2Cr =:(1-V)_/7獨(dú)J積分應(yīng)用示例2： J積分與Dugdale -Barenblatt模型COD的關(guān)系沿圍道G有®=o （假設(shè)屈服帶無限?。┢渲欣硐霃椝苄詴r(shí)說習(xí)二乞，=> J十I 7s t§ =dJ_、他 料，b° , d：無量綱材料參數(shù)組合，久：參照應(yīng)力'習(xí)題5-2計(jì)算I. II型K場(chǎng)J積分，取圓形圍道J積分小結(jié)從另一個(gè)角度可以理解能量釋放率與加載方式無關(guān)只需當(dāng)前狀

16、態(tài)就能計(jì)算J積分。丿積分的另一種通過能量的定義一便于實(shí)驗(yàn)量測(cè) u = £7Qdq , n = U-Qq = - qdQQ, q分別為廣義力和廣義位移=-dq|_ da 丄 J。da測(cè)試多個(gè)不同裂紋長(zhǎng)度的試件以J積分作為斷裂參量的斷裂準(zhǔn)則J積分作為斷裂參量具有下述優(yōu)點(diǎn):1J積分與路徑無關(guān)，便于計(jì)算;2. J積分代表驅(qū)動(dòng)裂紋平移延展的廣義能量力;3. J積分在線彈性情況下，為Griffith的能量釋放率（【之 題5-2利用K漸近場(chǎng)及K與G的關(guān)系證明）；在非線性 彈性情況下，為能量釋放率。4.5.6.在塑性形變理論不卸載的情況下，J積分具有能量差率 （解釋）J積分與COD有簡(jiǎn)明的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

17、可直接由裂紋試件來實(shí)驗(yàn)測(cè)定J積分值（后面詳細(xì)講）J積分作為斷裂參量的優(yōu)點(diǎn)（續(xù)）:1. 對(duì)J積分進(jìn)彳亍量測(cè)的試件尺寸小于對(duì)K/c進(jìn)行量測(cè)的試件尺寸/小范圍屈服（SSY） K疋量測(cè)要求2a,c,B> 2.5Z測(cè)量幾再利用K疋珂d只要求a,c,B>（由實(shí)驗(yàn)知）Q、qQ,g2. J積分表征裂紋尖端處的場(chǎng)強(qiáng)度，且即可得裂尖場(chǎng)，類 似于線彈性斷裂力學(xué)的K值（由下一講可知）探J積分的理論局限性J積分路徑無關(guān)性的一個(gè)重要前提是超彈性材料（或形變塑性不卸載）當(dāng)裂紋未起裂時(shí)，這個(gè)條件能嚴(yán)格滿足，故J積分?jǐn)嗔褱?zhǔn) 則是準(zhǔn)確和嚴(yán)格的。當(dāng)含有塑性變形的裂紋擴(kuò)展時(shí)，在裂 紋尾岸有塑性卸載，需意識(shí)到再使用J積分?jǐn)?/p>

18、裂準(zhǔn)則只是 近似，需要用實(shí)驗(yàn)或理論來驗(yàn)證其適用性。J積分的意義1具有熱力學(xué)意義，能夠描述流入裂尖端部的能量;2具有力學(xué)意義，能夠描述裂尖場(chǎng)的強(qiáng)度；3具有幾何學(xué)意義，能夠反映裂尖的形貌。5. 2 HRR 場(chǎng)(Hutchinson, Rice 和 Rosengren)塑性幕硬化材料平面問題的靜止裂紋尖端場(chǎng)線彈性斷裂力學(xué)在裂紋尖端存在漸近解，可以用單參數(shù)應(yīng) 力強(qiáng)度因子K來表征其強(qiáng)度，漸近場(chǎng)稱為K場(chǎng)。非線性的幕硬化彈塑性斷裂力學(xué)在裂紋尖端也存在漸近 解，可以用J積分表征強(qiáng)度，漸近場(chǎng)稱為HRR場(chǎng)。John W. HutchinsonJames R RiceJ. R. Rice and G. F. Ros

19、engren, "PlaneStrain Deformation Near a Crack in aPower Law Hardening Material”，Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 16, 1968, pp. 1-12Hutchinson, J.W., " Singular Behavior at the End of a Tensile Crack in a Hardening Material." J. Meeh. Phys. Solids, 16, 18-31 (1968)在研究賽硬化

20、材料的裂尖漸近場(chǎng)時(shí)，由于不再是線彈性了， 需先把材料的本構(gòu)搞清楚，首先考慮單向應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為塑性幕硬化，主要包括以下三種關(guān)系:純賽硬化為什么要引入S彈性接純賽硬化 Ramberg-Osgood 關(guān)系"為幕硬化系數(shù)，為簸硬化指數(shù)。在裂紋尖端，三種關(guān)系均可近似為Jbo丿為什么？當(dāng)單方向的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系已知，可采用J2形變理論推廣為多軸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。等效應(yīng)力:1 七b rb =CT.其甲lJ ,J3-齊山/為應(yīng)力偏量。單向拉伸時(shí)等效應(yīng)力6就為拉伸應(yīng)力b（【題5-刃驗(yàn)證一若未學(xué)過塑性力學(xué)的同學(xué)）。按器形變理論可得多軸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系上式基于以下幾點(diǎn):A sfj =硝 q 硝 since«

21、 硝 at thayrack tifJ</J</JJ塑性應(yīng)變平行于偏應(yīng)力 該式能退化為單軸拉伸情形A下面研究平面應(yīng)變下賽硬化的裂尖場(chǎng)（平面應(yīng)力類似），極坐標(biāo)本構(gòu)方程:屮 匂2 (bo丿/?1su5)耳=心打=、'1 siJsiJ引入應(yīng)力函數(shù)o,保證平衡方程得到滿足。I習(xí)題5-八下述協(xié)調(diào)方程保證幾何方程得到滿足（為什么要有協(xié)調(diào)方程？）ff） + 為一仇）一 2（心）=0應(yīng)力應(yīng)變分量是0和r的齊次函數(shù)，所以控制方程是等規(guī)度方程, 有分離變量形式解存在幺=両（6»）+/（6»）+-t>s(匚3)=(e)+廠仏(&) + t>s類似于線彈性漸

22、近場(chǎng)，HRR場(chǎng)對(duì)應(yīng)首項(xiàng)（在裂尖占優(yōu)主導(dǎo)）匕盼歸誦®K為奇異場(chǎng)強(qiáng)度幅值；莎依）按處0）= 1而歸一化（稍后討論）。代入上頁(yè)方程（哪個(gè)方程?），得關(guān)于處。）的控制方程。d2ns 2)zi(s 2)+ 2dde+ 4(s _ 1)«(5 _ 2)+1控制方程為四階齊次非線性常微分方程，還有一個(gè)未知特 征指數(shù)S，需要五個(gè)定解條件。=0< -2 _ "（s - 2jn（5 - 2）+ 22 + 3（17）審236 =$（2-s）0 +（/） + 4（5 - 2）+1丿d&J齊次方程，要求歸一化條件0（。） = 1定解。（齊次性保證人0（。）亦為解） 另外四個(gè)條

23、件為裂紋表面應(yīng)力自由條件為去±穴=°，5rO0=±7T=0得0（± ”） = 0（± ”） = 0（r, 9） « Krs$（0）6 =牛 + 卑0=±7T楊書上印刷錯(cuò)誤5="° 4l對(duì)于純I型問題，由于對(duì)稱性，只需求解上半平面，定解條件變?yōu)?S）=ZS）=/（o）=Z（o）=o, 7（o）=i 為什么？求解s有兩種途徑，一是Hutchinson采用的求解特征值問題；二 是Rice利用J積分的有限性（r如Kr紛Rice利用J積分的有限性來確定s 取以裂尖為中心，r為半徑的圓，則、7 _ l_”z 2當(dāng)r位

24、于K環(huán)域時(shí)，為_有限的非零常數(shù)。由j積分 的路徑無關(guān)性，當(dāng)r趨向裂尖時(shí)，J積分仍為一有限的非零常數(shù),推出<t2=3+元沁上a2(Grr ° 00< 2 J'2n +1代入可得到5 = 7TT【越5-處 即我們知道了應(yīng)力函數(shù)的奇異性。特征值S確定后，以純I問題為例采用打靶法來求解兩點(diǎn)邊值問題。d29冷 de2（£_2沁_(dá)2）+2 旳十（2莎+訃+ 4“ l）n（5 2）+ 嶋（曙吩卜0&（%）= &（%）= &（0）= &（0）= 0，°（0）= 1打靶法求解格式為（1）由初值"（0）=1, 7（0）=

25、0, （O）=A,（0）= 0 出發(fā)求解;（2 ）用Ronge-Kutta法進(jìn)行積分，得試探函數(shù)0（&）;（3 ）檢查©SA + 0SF是否小于夕,&為控制求解精度的小量。若答案為是，則取3紛=屮紛;若答案為否，則對(duì)A值修正后回第（1） 步重新求解。至此我們已解得角分布函數(shù)，也知道應(yīng)力函數(shù)的奇異性還有一個(gè)問題沒有解決，如何確定奇異場(chǎng)強(qiáng)度幅值斤？設(shè)法與同樣描述非線性斷裂的指標(biāo)j積分聯(lián)系起來。如果斤已知，裂尖的應(yīng)力應(yīng)變?yōu)?#176;1% ="+1 &a/3（0； h）nSa/3 =r，J+Sa/3（0 n）?可以計(jì)算J積分，建立奇異場(chǎng)強(qiáng)度幅值斤與J積分的 天糸。需要注意的是角分布函數(shù)與幕硬化指數(shù)n有關(guān)