(完整版)高考平面向量公式(教師)

1、1,基本概念向量的概念：有大小有方向的量稱為向量。2,向量的表示：幾何表示為有向線段（如圖）3,向量的大?。杭词窍蛄康拈L度（或稱模）4,5,6,第七輯平面向量專題零向量：長度為 0的向量稱為零向量，記為;字母表示為a或者AB ?；蛘逫abI o0 ,零向量方向是任意的。單位向量：長度為一個單位的向量稱為單位向量，一般用e、 i來表示。平行向量（也稱共線向量）：方向相同或相反的向量稱為平行向量，規(guī)定零向量與任意向量平行。若a平行于示為a / b o7,相等向量：方向相同，大小相等的向量稱為相等向量。若a與b相等，記為a = b8,相反向量：大小相等，方向相反的向量稱為相反向量。若a與b是相反向量

2、，則表示為 a = b ；向量ABBA二，幾何運算1,向量加法：(1)平行四邊形法則（起點相同），可理解為力的合成，如圖所示:(2)三角形法則（首尾相接），可理解為：位移的合成，如圖所示,(3)兩個向量和仍是一個向量;(4)向量加法滿足交換律、結(jié)合律:a b b a , (a b) c a (bc)(5)加法幾種情況（加法不等式）2,減法:（1）兩向量起點相同，方向是從減數(shù)指向被減數(shù)，如圖 AB AC CB（2）兩向量差依舊是一個向量;（3）減法本質(zhì)是加法的逆運算：AB ACCB AB CA CB3,加法、減法聯(lián)系:（1）加法和減法分別是平行四邊行兩條對角線,AB AD AC , ABAD D

3、B若有AB ADAB ADABCD為矩形-6 -4,實數(shù)與向量的積:(1)實數(shù) 與向量a的積依然是個向量，記作a,它的長度與方向判斷如下:當(dāng)0時，a與a方向相同；當(dāng) 0時,a與a方向相反;0時,(2)實數(shù)與向量相乘滿足：(a) ( )a( )a(a b) a b5,向量共線:(1)向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個實數(shù)使得b(2)如圖，平面內(nèi)A, B,C三點共線的重要條件是存在三個不為零的實數(shù)m, n,q ,使得qOA mOBq 0 ,反之也成立。(3) ABAC ,則 ob (i )OAOC (證明略)6,向量的數(shù)量積(1)數(shù)量積公式:a b |a| b coscos a b(

4、2)向量夾角：同起點兩向量所夾的角，范圍是000 ,180(3)零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0 a 0(4)數(shù)量積與夾角關(guān)系:a b(5)(6)(7)a*-b-+00投影：bcosa b0b成為a在b的方向上的投影b+1800a b 一 一若稱為b在a的方向上的投影;a 22 2重要結(jié)論：直角三角形 ABC中，AC AB AB向量數(shù)量積的運算律:(向量e為與a方向相同的單位向量)(a) b(a b) a ( b)(ab)b-f2-2rf22(a b)a 2ab b(ab)2 ac acosa. 22a b b2- 2(a b) (a b) a bi,平面向量基本定理：如果 ei, e2是同

5、一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a ,有且只有一對實數(shù)，,使得aeie2 ,我們把不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。(證明略)2,坐標(biāo)定義：如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底。任作一個向量a ,由向量的基本定理可知，有且只有一對實數(shù)，使得:a xi yj ,我們把(x,y)叫做向量的(直角)坐標(biāo)，記作 a (x, y),其中x、y分別為向量的橫縱坐標(biāo)。這個式子叫做向量的坐標(biāo)表示。3,如圖，已知點 A (xi,yi), B (X2,y2),由向量的坐標(biāo)定義可知,OA (xi ,yi) , OB (x2,

6、 y2) , AB OB OA(x2 xi, y2 yi)由此可知，一個向量的坐標(biāo)表示等于此向量的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)，即,AB (x2 xi, y2yi)4,向量的加減乘坐標(biāo)運算：已知a(%, yi),M, y2)(i)加、減、乘：a b (xiX2,yiv2b (xi x2, yi y2)a b xyiy2(2)實數(shù)與向量乘積的坐標(biāo)運算:(Xi ,yi)(3)向量模(大小)的坐標(biāo)形式:xyi2, b2V2(4)a,b夾角余弦值cosxi x2%丫2222yix2y25,向量間關(guān)系的坐標(biāo)形式，已知 a(x/), b (X2,y2)(i) a/b,(b 0)的充要條件是,xy2x2yi0若ab,則有a b 0 ,即xx2YiY206,柯西不等式的向量形式設(shè)向量 m (a,b), n (c, d),則有