空間向量數量積及坐標運算

1、31.3兩個向量的數量積兩個向量的數量積 1、空間向量的夾角空間向量的夾角 (1)定義及記法定義及記法 已知兩個已知兩個 a，b，在空間中任取一點，在空間中任取一點O，作，作 a， b，則，則 叫做向量叫做向量a與與b的夾角，記的夾角，記作作 (2)范圍和性質范圍和性質 范圍：范圍： a，b 性質：性質：a，b b，a 如果如果a，b ，則稱，則稱a與與b互相垂直，記作互相垂直，記作 非零向量非零向量AOBa，b090abOA OB （3）兩個非零向量才有夾角，當兩個非零向量同向共線時，）兩個非零向量才有夾角，當兩個非零向量同向共線時，夾角為夾角為0，反向共線時，夾角為，反向共線時，夾角為.

2、2異面直線的定義異面直線的定義 的兩條直線叫做異面直線的兩條直線叫做異面直線 3兩條異面直線所成的角兩條異面直線所成的角 把異面直線把異面直線 ，這時兩條直線的夾，這時兩條直線的夾角角( )叫做兩條異面直線所成的角如果所叫做兩條異面直線所成的角如果所成的角是直角，則稱兩條異面直線成的角是直角，則稱兩條異面直線 .不同在任何一平面內不同在任何一平面內平移到一個平面內平移到一個平面內銳角或直角銳角或直角互相垂直互相垂直4異面直線夾角的范圍是異面直線夾角的范圍是(0， 2 1空間兩個向量的數量積空間兩個向量的數量積 已知空間兩個向量已知空間兩個向量a，b，把平面向量的數量積，把平面向量的數量積 叫做

3、兩個空間向量叫做兩個空間向量a，b的數量積的數量積(或內積或內積) 2兩個空間向量的數量積的性質兩個空間向量的數量積的性質 (1)ae (2)ab (3)|a|2 (4)|ab| 正射影數量？正射影數量？ab|a|b|cosa，b|a|cosa，eab0aa|a|b|3兩個向量的數量積是實數，它可正、可負、可為零兩個向量的數量積是實數，它可正、可負、可為零4兩個空間向量的數量積的運算律兩個空間向量的數量積的運算律(1)(a)b (2)ab (3)(ab)c (ab)baacbc31.4空間向量的直角坐標運算空間向量的直角坐標運算 1單位正交基底與坐標向量單位正交基底與坐標向量 建立空間直角坐標

4、系建立空間直角坐標系Oxyz，分別沿，分別沿x軸，軸，y軸，軸，z軸的軸的正方向引單位向量正方向引單位向量i，j，k，這三個互相垂直的單位向量構，這三個互相垂直的單位向量構成空間向量的一個基底成空間向量的一個基底 ，這個基底叫做，這個基底叫做 單位向量單位向量i，j，k都叫做都叫做 i，j，k單位正單位正交基底交基底坐標向量坐標向量2空間向量的直角坐標運算空間向量的直角坐標運算(1)設設a(a1，a2，a3)b(b1，b2，b3)向量坐標運算法則向量坐標運算法則ab ab a ab (2)設設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則，則也就是說，一個向量在空間直角坐標系中的坐標等于表

5、也就是說，一個向量在空間直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的示這個向量的有向線段的 (a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)a1b1a2b2a3b3(x2x1，y2y1，z2z1)終點的坐標減去起點的坐標終點的坐標減去起點的坐標 abab0a1b1a2b2a3b30練習：練習：設設a(1，5，1)，b(2，3，5) (1)若若(kab)(a3b)，求，求k； (2)若若(kab)(a3b)，求，求k. 思路點撥思路點撥先建立空間直角坐標系，寫出各向量先建立空間直角坐標系，寫出各向量的坐標，再利用向量方法進行求解的坐標，再利用向量方法進行求解3已知已知a，b是異面直