13平面向量應(yīng)用舉例1

1、2.5平面向量應(yīng)用舉例2.5.12.5.1平面幾何的向量方法平面幾何的向量方法平面幾何中的向量方法平面幾何中的向量方法 向量概念和運(yùn)算，都有明確的物理背景和向量概念和運(yùn)算，都有明確的物理背景和幾何背景。當(dāng)向量與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后，向幾何背景。當(dāng)向量與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后，向量的運(yùn)算就可以完全轉(zhuǎn)化為量的運(yùn)算就可以完全轉(zhuǎn)化為“代數(shù)代數(shù)”的計(jì)算，的計(jì)算，這就為我們解決物理問(wèn)題和幾何研究帶來(lái)極大這就為我們解決物理問(wèn)題和幾何研究帶來(lái)極大的方便。的方便。 由于向量的線(xiàn)性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮由于向量的線(xiàn)性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移、明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移

2、、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角都可以由向量的線(xiàn)性全等、相似、長(zhǎng)度、夾角都可以由向量的線(xiàn)性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)，因此，利用向量方法運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問(wèn)題。可以解決平面幾何中的一些問(wèn)題。問(wèn)題：?jiǎn)栴}：平行四邊形是表示向量加法與減法的平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖幾何模型。如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？線(xiàn)的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？,acabad ,dbabad abcd猜想：猜想：2.類(lèi)比猜想，平行四邊形有相似關(guān)系嗎？類(lèi)比猜想，平行四邊形有相似關(guān)系嗎？例例1、證明平行四邊形四邊平方和

3、等于兩對(duì)角線(xiàn)平方和、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線(xiàn)平方和abdc已知：平行四邊形abcd。求證：222222bdacdacdbcabbadaab ,解：解：設(shè) ，則 badbbaacadabbc;,分析：分析：因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊平行且相等，故設(shè) 其它線(xiàn)段對(duì)應(yīng)向量用它們表示。badaab ,)( 2222222badacdbcab2222bababdac222222222222bababbaabbaa222222bdacdacdbcab你能總結(jié)一下利用向量法解決平面幾何問(wèn)題你能總結(jié)一下利用向量法解決平面幾何問(wèn)題的基本思路嗎？的基本思路嗎？（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表）建立平面幾

4、何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；系，如距離、夾角等問(wèn)題；（3）把運(yùn)算結(jié)果）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成幾何元素。成幾何元素。用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲三步曲”：簡(jiǎn)述：簡(jiǎn)述：形到向量形到向量 向量的運(yùn)算向量的運(yùn)算 向量和數(shù)到形向量和數(shù)到形例例2 如圖，如圖， abcd中，點(diǎn)中，點(diǎn)e、f分別分別是是ad 、 dc邊的中點(diǎn)，邊的中點(diǎn)，be 、 bf分別分別與與ac交于交

5、于r 、 t兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)ar 、 rt 、tc之間的關(guān)系嗎？之間的關(guān)系嗎？abcdefrt猜想：猜想：ar=rt=tc解：設(shè)解：設(shè) 則則,aba adb arr a cab 由于由于 與與 共線(xiàn)，故設(shè)共線(xiàn)，故設(shè)arac(),rn ab nr又因?yàn)橛忠驗(yàn)?共線(xiàn)，共線(xiàn)，所以設(shè)所以設(shè)e re b與與12()ermebm ab 因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以a ra ee r 1122()rbm ab 1122()()n abbm ab 因因此此abcdefrt102()()mnm anb 即即,a b由由于于向向量量不不共共0102nmmn 線(xiàn)線(xiàn)，1 1解解 得得 ： n n= = m m =

6、=3 3111333,aractcacrtac 所所以以同同理理于于是是故故at=rt=tcabcdefrt練習(xí)、證明直徑所對(duì)的圓周角練習(xí)、證明直徑所對(duì)的圓周角是直角是直角abco如圖所示，已知 o，ab為直徑，c為 o上任意一點(diǎn)。求證acb=90分析分析：要證acb=90，只須證向量 ，即 。cbac 0cbac解：解：設(shè) 則 ，由此可得：bocaao ,bacbbaac,babacbac2222baba022rr即 ，acb=900cbac思考：能否用向量思考：能否用向量坐標(biāo)形式證明？坐標(biāo)形式證明？ab（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；系，如距離