2020屆高三文理科數(shù)學一輪復習《二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題》專題匯編(教師版)

1、二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題專題一相關知識點1. 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax+ By+ C> 0直線Ax+ By+ C = 0某一側的所 有點組成的平面區(qū)域不包括邊界直線AX + By + C 0包括邊界直線不等式組各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2. 確定二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的步驟(1) 確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域位置的方法把二元一次不等式 Ax+ By+ C> 0(V 0)表示為y> kx+ b或yv kx+ b的形式.若y> kx+ b,則平面區(qū)域為直線 Ax+ By+ C= 0的上方；若yv kx+ b

2、,則平面區(qū)域為直線 AX + By + C= 0 的下方.(2) 利用 同號上，異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域：對于 Ax+ By + C>0 或 Ax+ By+ C<0，則有 當B(Ax+ By + C)>0時，區(qū)域為直線 AX + By+ C = 0的上方； 當B(Ax+ By + C)<0時，區(qū)域為直線 AX + By+ C = 0的下方.(3) 相關結論：點P(x, y)和P2(x2, y2)位于直線 Ax+ By + C = 0的兩側的充要條件是(Axi + Byi + C)(AX2 + By2+ C)V 0 ;位于直線 AX + By+ C= 0

3、同側的充要條件是(Ax1+ By1+ C)(Ax2 + By2+ C) >0.3. 線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x, y組成的不等式(組)線性約束條件由x, y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)目標函數(shù)關于x, y的函數(shù)解析式，如 Z= 2x+ 3y等線性目標函數(shù)關于x, y的一次函數(shù)解析式可行解滿足線性約束條件的解(x, y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題4. 簡單線性規(guī)劃問題的圖解法在確定線性約束條件和線性目標函數(shù)的前提下，用圖解法求最優(yōu)解的步驟概括為“畫、移、求、

4、答”.即港平甬巫麻紊申由刁存i首薦二4 亦二 c目標函敷為C=如+ )i i =o"f =二二工 si值或最小值的點丄I求出使二=tLr+by取得最大值或最小值的點的坐標I-TJ z ft<jKfMI答 |ffiiE5 求線性目標函數(shù)最值應注意的問題求二元一次函數(shù) Z= ax+ by(ab 0)的最值，將函數(shù) Z= ax+ by轉化為直線的斜截式: y=-Fx+ Z，通過求直線的截距Z的最值間接求出Z的最值，應注意以下兩點：b bb(1)若b>0,則截距Z取最大值時，Z也取最大值；截距b取最小值時，Z也取最小值.(2)若b<0,則截距Z取最大值時,Z取最小值；截距f

5、取最小值時，Z取最大值.b10 / 15BD題型一 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域類型一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的確定y< 3x I 121.不等式組甲,表示的平面區(qū)域為(x<2y解析：因為不等式組中兩個不等式均未帶等號,所以排除A ,又不等式y(tǒng)< 3x + 12表示的平面區(qū)域為直線 y= 3x+ 12的左下方部分,不等式 x<2y表示的平面區(qū)域為直線X= 2y的左上方部分，所以不等式組y< 3x+ 12,x<2y表示的平面區(qū)域為選項B所表示的區(qū)域，選 B.2. 觀察如圖所示的區(qū)域，它對應的不等式組是X-y+10,解析：X- 2y 0,x+ y

6、 3 0類型二：直接求平面區(qū)域的面積X-y+60,1 .不等式組S+ y 0,表示的平面區(qū)域的面積為 x 3解析：363x+ y-6 0,2. 關于x, y的不等式組 X y 2 0,表示的平面區(qū)域的面積為 x + y 4 0解析：平面區(qū)域為一個直角三角形ABC ,其中A(3,1), B(2,0), C(1,3),1 1所以面積為 1ABIIACl= 2×*2 × 8 = 2.y ,3. 設變量x, y滿足約束條件 x+ y 2,若滿足條件的點 P(x, y)表示的平面區(qū)域為M , 3x 6,則區(qū)域M表示的幾何圖形的周長是 解析：在坐標系中畫出可行域厶ABC, A(2,0)

7、, B(1,1) , C(3,3),用兩點間距離公式可求得 AB= 2 , AC=10 , BC = 2 2,則周長為3 2 +10.類型三 含參數(shù)的平面區(qū)域問題1. 在平面直角坐標系 XOy中，若點P(m,1)到直線4x 3y 1 = 0的距離為4 ,且點P(m,1)在不等式2x+ y 3表示的平面區(qū)域內，貝U m =.解析：6t的取值范圍是2. 點(2 , t)在直線2x 3y+ 6 = 0的上方，則解析：直線2x 3y+ 6= 0上方的點滿足不等式2 2 2 y> ,3x+ 2, t> 3 × ( 2) + 2,即 t> 3.3.點(1,0)與(2,5)位于m

8、x y -1 =0異側，則m的范圍是解析：由題,點(1,0)與(2,5)位于mx y -1 = 0異側,將兩點分別代入直線方程中，則m1 2m 51 ：0,即 m 1 2m 4 ： O 2 ： m ： 1.4.已知點（3, 1）和（-4,6）在直線3x-2y O的兩側，則實數(shù) a的取值范圍是解析：由于點3,1和-4,6在直線3x-2y O的兩側，故9 一2 a -12 -12 a ： 0，即 a 7 a -24 ： 0 ,解得 一7 ： a 24.X-y>0,5.若不等式組*3x+ y<3,Lx+ y>a表示的平面區(qū)域是一個三角形區(qū)域（不包括邊界），則實數(shù)a的取值范圍是解析：

9、作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，要使可行域為三角形區(qū)域（不包括邊界），則需點 A在直線x+ y= a的右上方由X- y = 0,3x+ y= 3可得A 3，4 ,所以4+3>a,即a<29x2,6.已知關于x, y的不等式組*x+ y-20,x-y+ 2 0,所表示的平面區(qū)域的面積為3 ,則實數(shù)k的值為解析：直線kx- y+ 2 = 0恒過點（0,2）,不等式組表示的平面區(qū)域如1圖所示，則 A（2,2k+ 2）, B（2,0）, C（0,2）,由題意知 2× 2× （2k+ 2） = 3,1解得k= £+t-2=(Jx- y 0,1 2x+

10、 y 2,7.若不等式組y0, x+ y a表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是-y0,解析：不等式組j2x+ y2,表示的平面區(qū)域如圖所示（陰影部分）. 0IrJry= x,/2f>y= 0,解得A 2,- j;解<得B（1,0）.若原不等式組表示2x+ y = 2332x+ y= 2的平面區(qū)域是一個三角形，則直線x+ y= a中的a的取值范圍是0<a 1或 a3.題型二 線性目標函數(shù)的最值(取值范圍)X 2y 2 0,1若x, y滿足約束條件x y+ 1 0, 則Z= 3x+ 2y的最大值為 Iy 0,解析：作出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示.3 z3由

11、Z= 3+ 2y,得 y= 3x+ 2 作直線 lo： y= ?x.平移直線lo,當直線y= 2x+ 2過點(2,0)時，Z 取最大值，ZmaX= 3× 2 + 2 × 0= 6.2.若x, y滿足x+ 1 y 2x,則2y X的最小值是 X + 1 y,X y + 1 0,解析：由條件得f即*作出不等式組所表示y 2x,2x y 0,的可行域如圖中陰影部分所示.設Z= 2y x,即y= ；x+ ；z,1作直線lo： y= 2x并向上平移，顯然當Io過點A(1,2)時，Z取得最小值，Zmin = 2 × 2 1 = 3.x y+1 0,3. 若x, y滿足* 2x

12、 y 2 0, 貝U x+ 2y的最大值為 + y 4 0,解析：法一：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作 直線x+ 2y = 0,平移該直線，當直線經(jīng)過點B(3,4)時，X + 2y取得最大值，即(X + 2y)max = 3+ 2× 4 = 11.法二：設Z= x+ 2y,由題易知，目標函數(shù) Z= x+ 2y的最大值只能在可行域的三個頂點處取得，由題知三條直線的交點分別為3 5 ,(3,4),(2,2),當 X= 2 y= 2時，Z= 1j;當 X= 3, y= 4 時，Z= 11;當 X= 2 ZmaX= 11x+ y 1 0,4.設變量x, y滿足約束條件J x

13、 2y+ 2 0,i2x y 2 0,貝H Z= 3x 2y的最大值為 解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直3線y= 2x，平移該直線，當直線經(jīng)過 C(1,0)時，在y軸上的截距最 小，Z最大，此時Z= 3× 1 0 = 3,故選C.P'y 1 0,5.已知變量x, y滿足約束條件*x+ y0,X一 y一 2 0,則Z= 2x 4y的最大值為 解析：由 Z= 2x 4y得 Z= 2x*2y,設 m = x+ 2y,得 y= ；x+ ；m,平移直線 y= ；x+ ；m,由圖象可知當直線y= ；x+ ；m經(jīng)過點A時，直線y=1 12x+ 2m的截距最大，由、-

14、1 = 0,x y2 = 0,X= 3,解得*即A(3,1),此時my= 1,最大，為m= 3 + 2= 5,此時Z也最大，為Z= 2x+ 2y= 25= 32.6.設實數(shù)x, y滿足不等式組 y |x1,則2x+ y的最大值為 |x 2y+ 4 0,解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示.作出直T線2x+ y= 0 ,平移該直線，易得當該直線經(jīng)過點A(4,4)時，2x+ y取 得最大值，為12.'3c+7=0 '、px+ 2 0,7.已知點A(2, 1),點P(x,y)滿足線性約束條件J y 1 0,O為坐標原點，那么O "iX 2y 4,的最小值是解析：

15、畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，如圖所示.又由OA 0 =x+ 2 = 0, (2, 1) (, y) = 2x y.令目標函數(shù)Z= 2x y.聯(lián)立方程ly 1 = 0,解得 B( 2,1), Z = 2x y 在點 B 處取得最小值 Zmin = 2 × ( 2) 1 = 5.2x- y-4 0,&已知點M , N是平面區(qū)域 X-2y + 4 0,內的兩個動點，a= (1,2),則M a的最大值x+y-20為2x y 4 0,解析：X-2y+ 4 0,表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，設.x+ y - 2 0 M(X1, y), N(X2, y2),貝y MN a = (ON

16、- OM) a = ON a - OM a = x2 +A(4,4)時，Z取得最大值，最大值是12,當直線經(jīng)過點B(2,0)時，Z取得最小值,最小值為2,2y2 - (X+ 2y),設Z= x+ 2y,平移直線 x+ 2y= 0,易知當直線經(jīng)過點所以MN a的最大值為10.x+ y- 3 0,9.若平面區(qū)域 2x- y- 3 0,X-2y+ 3 0夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是解析：根據(jù)約束條件作出可行域如圖陰影部分，當斜率為1的直線分別過A點和B點時滿足條件，聯(lián)立方程組x+ y- 3 = 0,X-2y+ 3=02x y 3= 0, 求得A(1,2),聯(lián)立方

17、程組*x+ y-3 = 0得B(2,1),可求得分別過 A, B點且斜率為1的兩條直線方程 為X-y + 1 = 0和X- y- 1 = 0,由兩平行線間的距離公式得距求2s*7-3=0V X10.設變量X, y滿足約束條件JX + 3y 4,- 2則Z= X- 3y|的取值范圍是 y X解析：作出約束條件ix+ 3y 4 ,對應的可行域如圖,vX - 2Z= |x- 3y=10,其中|x3,1表示可行域內的點線X- 3y= 0的距離，由圖可知,(X, y)到直點A( 2,2)到直線X- 3y= 0的距離最大，最大為,又距離最小顯然為O, Z=IX 3y的取值范圍為0,8.題型三 非線性目標函

18、數(shù)的最值(取值范圍)非線性目標函數(shù)最值問題的常見類型及求法距離平方型目標函數(shù)為Z= (X- a)2+ (y b)2時，可轉化為可行域內的點(x, y)與點(a, b)之間的距離的平方求解斜率型對形如Z= + d(ac 0)型的目標函數(shù)，可利用斜率的幾何意義來求最值，即先 y L b)變形為Z=汽 _的形式，將問題化為求可行域內的點(,y)與點LE， a)CX-I- C)連線的斜率的a倍的取值范圍、最值等C點到直線距離型對形如Z= |Ax+ By+ C|型的目標函數(shù)，可先變形為 Z=PA2+ B2烏+畀+2C|的 形式，將問題化為求可行域內的點 (x, y)到直線Ax+ By+ C= 0的距離的

19、PA2+ B2 倍的最值X y+1 0,1.實數(shù)x, y滿足x 0,y 2.(1) 若Z= y,求Z的最大值和最小值，并求Z的取值范圍；X(2) 若Z= X2+ y2,求Z的最大值與最小值，并求Z的取值范圍;y 1(3) 求目標函數(shù)Z=的取值范圍；X 1x-y+l=O/ 0求目標函數(shù)Z= X2+ y2 2X 2y+ 3的最值.x y+ 1 0,解析：由Sx 0,作出可行域，如圖中陰影部分所示.1y 2,(1)z=；表示可行域內任一點與坐標原點連線的斜率.因此y的范圍為直線 OB的斜率到直線 OA的斜率(直線OA的斜率不存在，即 ZmaX不存在).XIX V+ 1 = 0 ,2由 y得B(1,2

20、),所以koB= 2= 2 ,即Zmin = 2 ,所以Z的取值范圍是2 , + ) V= 2,1(2)z= X2+ V2表示可行域內的任意一點與坐標原點之間距離的平方.2222X- V + 1 = 0,因此X2+ V2的最小值為OA2,最大值為OB2.由，得A(0,1),IX= 0,所以 OA2= ( 02+ 12)2= 1 , OB2= ( 12+ 22)2= 5 ,所以 Z 的取值范圍是1,5 z=v-1可以看作過點P(I，I)及(X，V)兩點的直線的斜率，所以Z的取值范圍是(-m(4) z= X2+ V2- 2x- 2v+ 3= (X- 1)2+ (V- 1)2+ 1,而(X- 1)2

21、+ (V- 1)2表示點 P(1,1)與 Q(x,y)的距離的平方 PQ2, PQmaX = (0 1)2+ (2 1)2= 2,PQmin =|1- 1 + 1|12+ 12；,所以 ZmaX= 2+ 1 = 3 , Zmin = '+ 1 =17 / 15則X的取值范圍是X- y+ 2 0,2已知變量X, y滿足約束條件Sx 1,»+ y- 7 0,解析：不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示.易知可行域的三個頂點的坐標分別為(1,3), (1,6), 5, 2 , V表示可行域內的點(x, y)與原點連線的斜率，觀察圖象可知，當(x, y)=(1,6)時，V取得最大值，

22、最大值為6 ,當(X, y) = 2, 2時，X取得 最小值，最小值為5,故X的取值范圍是;,6 X 1 ,若點P(2a + b,3a- b)在該不等式組所表示的平3已知實數(shù)X, V滿足不等式組iy2, + y 4,面區(qū)域內，則出的取值范圍是x 1 ,解析：因為點P(2a + b,3a b)在不等式組 y 2,所表示的平面區(qū)域內,I + 4x+ y 42a+ b 1,所以 j3a- b2,2a+ b + 3a b 4,2a+ b 1,即3a-b2,其表示的平面區(qū)域是以A 4 , 5 , B 4 , 2 ,5a 4 ,31h 亠 2C( 3，- 5 )為頂點的三角形區(qū)域(包括邊界)二1可看作是可

23、行域內的點與點M(1, 2) 連線的斜率，所以kMB : 1 kMC ,即-12 a 2- 2.則Z= X2+ y2的最小值為 x 2y 5 0,4設實數(shù)x, y滿足約束條件x+ y 4 0,.3x + y 10 0,解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示.因為Z= X2+ y2表示區(qū)域內的點到原點距離的平方，由圖知，當區(qū)域內的點與原點的連線與直線3x+ y 10= 0垂直時,x2+ y2取得最小值，所以Zmin =3× 0 + 0- 10I 2= 10,垂足為點(3,1),在平面區(qū)域內,.32+12以Z= x2+ y2的最小值為10.x+ y 6 0,5.設實數(shù)x, y滿足x+

24、 2y 14 0,-2x+ y 10 0,則x2+ y2的最小值為解析：x2+ y2表示可行域內的點P(x, y)到原點的距離的平方，作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，過點O作OA垂直直線X+ y 6= 0,垂足為A,易知點A在可行域內，所以原點到直線x+ y6= 0的距離d,就是點P(x, y)到原點距離的最小值，由點到直線的距2+廠 IlD=D離公式可得d = 12+ 123 2,所以x2 + y2的最小值為d2= 18.X + y 0,6若x, y滿足約束條件（X y 0,2 2X + y 4,則Z= F的最小值為解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，因為目標函

25、數(shù)Z= y2表示區(qū)域內的點與點P( 3,2)連線的斜率.由圖知當區(qū)域內的點與x+ 3點P的連線與圓相切時斜率最小設切線方程為y 2= k(x + 3),即kxy+ 3k + 2= 0,則有|3k+ 2|Jk2 + 1=2'解得k= 5或k=0（舍去）,12所以Zmin =亍x+ y 0,7.在平面直角坐標系中，不等式組 fx y 0, (r為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積為若2 i2/2X + y rx+ y+ 1X, y滿足上述約束條件，則Z=二+的最小值為解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，由題意，知1 24 = 解得 r = 2.Z=x1 =1+y+i,易知x+i表示

26、可行域內的點(X，y)與點P( 3, 2)的連線的斜率，由圖可知，當點 (x, y)與點P的連線與 圓x2+ y2= r2相切時斜率最小.設切線方程為y 2= k(x+ 3),即kx y + 3k+ 2 = 0,則有 Ek2j = 2,解得 k= 或 k= 0（舍），所1127以 Zmin= 1 5 = 5題型四 線性規(guī)劃中的參數(shù)問題(求參數(shù)的值或取值范圍)y x,1.若變量x, y滿足約束條件 x+ y 6,且Z= 3x+ y的最小值為8, k,解析：目標函數(shù)Z= 3x+ y可化為y= 3x+ z,要使目標函數(shù)Z= 3x+ y的最小值為8 ,則平面區(qū)域位于直線y = 3x+ Z的右上方，即3

27、x+ y=8,作出不等式組對應的平面區(qū)域，如圖，是一個封閉的三角形，則目標函數(shù)經(jīng)過點 A(k, k)時，目標函數(shù) Z= 3x+ y的最小值為8 ,代入得8=4k，解得 k=- 2.x+ 2y 0,2.設實數(shù)x, y滿足x y 0,若目標函數(shù)Z= x+ y的最大值為6, y k,則Z的最小值為解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，當直線Z= x+ y經(jīng)過點A時，Z取得最大值，此時 A(k, k),所以2k= 6,即k= 3,所以B( 6,3)，當直線Z= x + y經(jīng)過點B時，Z取得最小值，所以Z的最小值為6+ 3= 3.y-"'+2=0x+2=O3.實數(shù)x, y滿足

28、不等式組3 3x y 1,1 x+ y 1,若Z= ax+ y有最大值2 ,貝U a的值為解析：不等式組一 3 3x 一 y 一 1,i所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部1 x+ y 1分所示.Z= ax + y有最大值5,即直線y= ax + Z在y軸上的截距有最大值|,由圖可知當直線y= ax+ Z經(jīng)過點A時,Z取得最大值5,由嚴-y= 3X + y= 1,解得1X= 2，3y= 2，所以A 2，3 ,代入 ax+ y = 5,得 a = 2.+ y 1,4.若實數(shù)x,y滿足約束條件*x y 1,3x y 3,目標函數(shù)Z= ax + 2y僅在點(1,0)處取得最小值,則實數(shù)a的取值范圍是解析：作

29、出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示.將Z = ax+ 2y化成y= x+ 2,當1< 1<3時,直線y= x+ 2的縱截距僅在點(1,0) 處取得最小值，即目標函數(shù) Z= ax+ 2y在點(1,0)處取得最小值，解得6<a<2.VIil5.如圖，目標函數(shù)Z= kx+ y的可行域為四邊形 若B 3,2為目標函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解，則 解析：直線Z= kx+ y的斜率為一k,平移直線OABC(含邊界),A(1,0) ,C(0,1),k的取值范圍是y=- kx+ Z，因為B 4，2為目標函數(shù)Z=kx848+ y 取得最大值的最優(yōu)解，°kAB k kc ,又 T k

30、AB = 3 , kc = 9, 3 k ? 9 k 3.x+ y 2 0 ,6已知x, y滿足約束條件彳x 2y 20,若Z= y ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，貝U實i2x y + 2 0 ,數(shù)a的值為解析：畫出約束條件所表示的可行域，如圖中陰影部分所示.令Z= 0 ,畫出直線y= ax ,a= 0顯然不滿足題意.當a<0時，要使Z= y ax取得最大值的最優(yōu)解 不唯一，則需使直線 y= ax與x+ y 2= 0平行，此時a = 1 ;當a>0 時，要使Z= y ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則需使直線y= ax與2x y+ 2 = 0平行，此時 a= 2.綜上，a= 1或2.

31、x y+ 5 0,7已知x, y滿足x+ y0,x 3,若使得Z= ax+ y取最大值的點(x, y)有無數(shù)個，則a的值解析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，當直線Z= ax+ y和直線AB重合時，Z取得最大值的點(x, y) 有無數(shù)個，. a = kAB= 1, ° a= 1.2x+ 2 y,8.已知實數(shù)x, y滿足Sx 2 2y,若Z= x my(m> 0)的最大值為4,貝U m =x+ y 2,解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影區(qū)域所示，由2x y+ 2= 0,x 2y 2= 0,得 B( 2, 2),同理可得 A(2,0), C(0,2),因為 Z= x my(m> 0),1111則 y=-x z,當一>c,即 0 V mv 2 時，Z= x my 在點 A(2,0)處取m m 'm 2得最大值2,不合題意，因此 m 2,此時Z= x my在點B( 2,2)處取得最大值4.所以一 2+ 2m= 4,解得m= 3.x+ 3y 3 0,9.若實數(shù)x, y滿足不等式組*2x y 3 0,iX my+ 1 0,其中m> 0,且x+ y的最大值為9,則實數(shù)m解析：不等式組表示的