人教B版數(shù)學必修五：3.3《一元二次不等式及其解法》學案（含答案解析）

1、3.3一元二次不等式及其解法1一元一次不等式通過同解變形，一元一次不等式可化為：ax>b.若a>0，則其解集為.若a<0，則其解集為.若a0，b<0，解集為R；b0，解集為.2三個“二次”的關系通過同解變形，一元二次不等式可化為：ax2bxc>0或ax2bxc<0 (a>0)不妨設方程ax2bxc0的兩根為x1、x2且x1<x2.從函數(shù)觀點來看，一元二次不等式ax2bxc>0 (a>0)的解集，就是二次函數(shù)yax2bxc (a>0)在x軸上方部分的點的橫坐標x的集合；ax2bxc<0 (a>0)的解集，就是二次函數(shù)y

2、ax2bxc (a>0)在x軸下方部分的點的橫坐標x的集合從方程觀點來看，一元二次方程的根是對應的一元二次不等式解集的端點值3簡單的高次不等式的解法數(shù)軸穿根法數(shù)軸穿根法來源于實數(shù)積的符號法則，例如要解不等式(x1)(x2)(x3)>0.我們可以列表如下：x的區(qū)間x<11<x<22<x<3x>3x1x2x3(x3)(x2)·(x1)把表格的信息“濃縮”在數(shù)軸得：據(jù)此，可寫出不等式(x1)(x2)(x3)>0的解集是x|1<x<2或x>3一般地，利用數(shù)軸穿根法解一元高次不等式的步驟是：(1)化成形如p(x)(xx1)

3、(xx2)(xxn)>0 (或<0)的標準形式；(2)將每個因式的根標在數(shù)軸上，從右上方依次通過每個點畫曲線；(3)奇次根依次穿過，偶次根穿而不過(即不要改變符號)；(4)根據(jù)曲線顯現(xiàn)出的p(x)的符號變化規(guī)律，標出p(x)的正值區(qū)間和負值區(qū)間；(5)寫出不等式的解集，并檢驗零點是否在解集內(nèi)4分式不等式的解法(1)>0f(x)·g(x)>0.(2)<0f(x)·g(x)<0.(3)0.(4)0.注意：解不等式時，一般情況下不要在兩邊約去相同的因式例如：解不等式：>.解原不等式>01 / 8>0>0x<或<

4、;x<或x>3.原不等式的解集為(3，)5恒成立問題(1)f(x)a，xD恒成立f(x)mina，xD恒成立；f(x)a，xD恒成立f(x)maxa，xD恒成立；(2)ax2bxc>0恒成立或ax2bxc<0恒成立或.6一元二次方程根的分布我們以ax2bxc0 (a>0)為例，借助開口方向向上的二次函數(shù)的圖象給出根的分布的充要條件.根的分布二次函數(shù)的圖象充要條件x1<k<x2f(k)<0x1<x2<kk<x1<x2k1<x1<x2<k2k1<x1<k2<x2<k3一、分式不等式的解

5、法方法鏈接：解分式不等式通常是移項通分再求解，切忌隨意去分母(僅在分母恒大于零時可以去分母)例1解不等式：x.解原不等式x000000.由圖可知，原不等式的解集為x|x<1或2x<3二、含參數(shù)不等式的解法方法鏈接：對于含有參數(shù)的不等式，由于參數(shù)的取值范圍不同，其結(jié)果就不同，因此必須對參數(shù)進行分類討論，即要產(chǎn)生一個劃分參數(shù)的標準例2解不等式：<x1 (kR)解原不等式>0(x2)(kx3k2)>0當k0時，原不等式解集為x|x>2；當k>0時，(kx3k2)(x2)>0，變形為(x2)>03>3>2，<2.x<或x&g

6、t;2.故解集為.當k<0時，原不等式(x2)<0由(2).當2<k<0時，<0，2<，不等式的解集為；當k2時，2，原不等式(x2)2<0不等式的解集為；當k<2時，>0，2>.不等式的解集為.綜上所述，當k0時，不等式的解集為x|x>2；當k>0時，不等式的解集為；當2<k<0時，不等式的解集為；當k2時，不等式的解集為；當k<2時，不等式的解集為.三、恒成立問題的解法方法鏈接：在含參數(shù)的恒成立不等式問題中，參數(shù)(“客”)和未知數(shù)(“主”)是相互牽制、相互依賴的關系，在這里是已知參數(shù)a(“客”)的取值

7、范圍，反過來求x(“主”)的取值范圍，若能轉(zhuǎn)換“主”與“客”兩者在問題中的地位：視參數(shù)a為“主”，未知數(shù)x為“客”，則關于x的一元二次不等式就立即轉(zhuǎn)化為關于a的一元一次不等式，運用反“客”為“主”的方法，使問題迎刃而解例3已知不等式x2px1>2xp.(1)如果不等式當|p|2時恒成立，求x的取值范圍；(2)如果不等式當2x4時恒成立，求p的取值范圍分析題中不等式含有兩個字母x，p，由(1)的條件可知，應視p為變量，x為常量，再求x的范圍；由(2)的條件可知，應視x為變量，p為常量，再求p的范圍解(1)不等式化為：(x1)px22x1>0，令f(p)(x1)px22x1，則f(p)

8、的圖象是一條直線又因為|p|2，所以2p2，于是得：即即x>3或x<1.故x的取值范圍是x>3或x<1.(2)不等式可化為(x1)p>x22x1，2x4，x1>0.p>1x.由于不等式當2x4時恒成立，所以p>(1x)max.而2x4，所以(1x)max1，于是p>1.故p的取值范圍是p>1.四、一元二次方程根的分布方法鏈接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函數(shù)的圖象加以分析，準確找到限制根的分布的充要條件常常從以下幾個關鍵點去限制，判別式，對稱軸，根所在區(qū)間端點函數(shù)值的符號例4已知關于x的一元二次方程x22mx2m10.若方程

9、有兩根，其中一根在(1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的取值范圍解設f(x)x22mx2m1，根據(jù)題意，畫出示意圖由圖分析可得，m滿足不等式組解得：<m<.五、一元二次不等式的實際應用方法鏈接：解一元二次不等式應用題的關鍵在于構造一元二次不等式模型，解出不等式后還應注意變量應具有的“實際含義”例5國家原計劃以2 400元/噸的價格收購某種農(nóng)產(chǎn)品m噸按規(guī)定，農(nóng)戶向國家納稅為：每收入100元納稅8元(稱作稅率為8個百分點即8%)為了減輕農(nóng)民負擔，制定積極的收購政策根據(jù)市場規(guī)律，稅率降低x個百分點，收購量能增加2x個百分點試確定x的范圍，使稅率調(diào)低后，國家此項稅收總收入不低于原計

10、劃的78%.分析對比項調(diào)整前調(diào)整后稅率8%(8x)%收購量m(噸)(12x%)m(噸)稅收總收入2 400m×8%2 400(12x%)m×(8x)%解設稅率調(diào)低后的“稅收總收入”為y元y2 400m(12x%)·(8x)%m(x242x400) (0<x8)依題意，y2 400m×8%×78%即：m(x242x400)2 400m×8%×78%整理得x242x880，解得44x2.根據(jù)x的實際意義，知0<x8，所以0<x2為所求1忽略判別式的適用范圍而致錯例1若不等式(a2)x22(a2)x4<0對

11、xR恒成立，求實數(shù)a的取值范圍錯解不等式(a2)x22(a2)x4<0，對xR恒成立2<a<2.點撥當a20時，原不等式不是一元二次不等式，不能應用根的判別式，應當單獨檢驗不等式是否成立正解當a20，即a2時，原不等式為4<0，所以a2時成立當a20時，由題意得，即，解得2<a<2.綜上所述，可知2<a2.溫馨點評在中學階段，“判別式”是與“二次”聯(lián)系在一起的，對于一元一次不等式不能應用判別式法來判斷在處理形如ax2bxc的問題時，要注意對x2系數(shù)的討論2混淆“定義域為R”與“值域為R”的區(qū)別而致錯例2若函數(shù)ylg(ax22xa)的值域為R，求a的取值

12、范圍錯解1函數(shù)ylg(ax22xa)的值域為R.ax22xa>0對xR恒成立，即，a>1.錯解2函數(shù)ylg(ax22xa)的值域為R.代數(shù)式ax22xa能取遍一切正值44a20，1a1.點撥上述解法1把值域為R誤解為定義域為R；解法2雖然理解題意，解題方向正確，但是忽略了a<0時，代數(shù)式ax22xa不可能取到所有正數(shù)，從而也是錯誤的正解當a0時，ylg(2x)值域為R，a0適合當a0時，ax22xaa2為使ylg(ax22xa)的值域為R，代數(shù)式ax22xa應取到所有正數(shù)所以a應滿足，解得0<a1.綜上所述，0a1.例解不等式：3lg x.解方法一3lg x1lg x2

13、10x100.方法二設t，則lg xt21 (t0)3lg x0t1011lg x210x100.方法三解方程3lg x，解得：x100. 令f(x)，易知f(x)在10，)為增函數(shù)，g(x)3lg x在10，)為減函數(shù)且f(100)g(100)1.為使f(x)g(x)，則10x100.方法四令lg xt，f(t)，g(t)3t.在同一坐標系中畫出它們的圖象如圖所示：易知交點為(2,1)當1t2時，f(t)g(t)即3lg x成立由1t2，即1lg x2，解得：10x100.1若不等式k(x2)的解集為區(qū)間a，b，且ba2，則k_.解析令y1，y2k(x2)，在同一個坐標系中作出其圖象，因k(x2)的解集為a，b且ba2.結(jié)合圖象知b3，a1，即直線與圓的交點坐標為(1,2)k.答案賞析本題主要考查解不等式、直線過定點問題以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學方法2設0<b<1a，若關于x的不等式(xb)2>(ax)2的解集中的整數(shù)恰有3個，則()A1<a<0 B0<a<1C1<a<3 D3<a<6解析(xb)2>(ax)2