全等三角形輔助線之倍長中線法

1、全等三角形輔助線之倍長中線法全等三角形輔助線之倍長中線法倍長中線法：遇中線，要倍長，倍長之后有全等當倍長后，連接方式不一樣，可以產(chǎn)生更多結(jié)論如下：與倍長中線法類似的輔助線作法舉例：如圖，在abc中，ad為bc邊上的中線若ab=5，ac=3，求ad的取值范圍如圖，cb是aec的中線，cd是abc的中線，且ab=ac求證：ce=2cd；cb平分dce如圖，在abc中，d是bc的中點，e是ad上一點，be=ac，be的延長線交ac于點f求證：aef=eaf如圖，在正方形abcd中，cd=bc，dcb=90°，點e在cb的延長線上，過點e作efbe，且ef=be連接bf，fd，取fd的中點g

2、，連接eg，cg求證：eg=cg且egcg1. 如圖，在abc中，ad為bc邊上的中線（1）按要求作圖：延長ad到點e，使de=ad；連接be（2）求證：acdebd（3）求證：ab+ac >2ad（4）若ab=5，ac=3，求ad的取值范圍2. 如圖，在abc中，ad平分bac，且bd=cd求證：ab=ac3. 如圖，cb是aec的中線，cd是abc的中線，且ab=ac求證：ce=2cd；cb平分dce4. 如圖，在abc中，d是bc的中點，e是ad上一點，be=ac，be的延長線交ac于點f求證：aef=eaf5. 如圖，在abc中，ad交bc于點d，點e是bc的中點，efad交ca

3、的延長線于點f，交ab于點g，bg=cf求證：ad為abc的角平分線6. 如圖，在四邊形abcd中，adbc，點e在bc上，點f是cd的中點，且afab，已知ad=，ae=be=5，求ce的長7. 如圖，在正方形abcd中，cd=bc，dcb=90°，點e在cb的延長線上，過點e作efbe，且ef=be連接bf，fd，取fd的中點g，連接eg，cg求證：eg=cg且egcg【參考答案】Ø 課前預(yù)習(xí)1. （1）相等，sss；夾角，sas；夾邊，asa；對邊，aas；直角，hl（2）全等，三，邊2. （1）證明：如圖o是ab的中點ao=bo在aoc和bod中aocbod（sas

4、）（2）證明：如圖o是ab的中點ao=boacbda=b在aoc和bod中aocbod（asa）Ø 典型題型1. 解：（1）如圖，（2）證明：如圖，ad為bc邊上的中線bd=cd在bde和cda中bdecda（sas）（3）證明：如圖，bdecdabe=acde=adae=2 ad在abe中，ab+be>aeab+ac>2ad（4）在abe中，ab-be<ae<ab+be由（3）得 ae=2ad，be=acac=3，ab=55-3<ae<5+32<2ad<81<ad<42. 證明：如圖，延長ad到e，使de=ad，連接be在

5、adc和edb中adcedb（sas）ac=eb，2=ead平分bac1=21=eab=beab=ac3. 證明：如圖，延長cd到f，使df=cd，連接bfcf=2cdcd是abc的中線bd=ad在bdf和adc中bdfadc（sas）bf=ac，1=fcb是aec的中線be=abac=abbe=bf1=fbfac1+2+5+6=180°又ac=ab1+2=5又4+5=180°4=5+6即cbe=cbf在cbe和cbf中cbecbf（sas）ce=cf，2=3ce=2cdcb平分dce4. 證明：如圖，延長ad到m，使dm=ad，連接bmd是bc邊的中點bd=cd在adc和

6、mdb中adcmdb（sas）1=m，ac=mbbe=acbe=mbm=31=33=21=2即aef=eaf5. 證明：如圖，延長fe到m，使em=ef，連接bm點e是bc的中點be=ce在cfe和bme中cfebme（sas）cf=bm，f=mbg=cfbg=bm1=m1=fadef3=f，1=22=3即ad為abc的角平分線6. 解：如圖，延長af交bc的延長線于點gadbc3=g點f是cd的中點df=cf在adf和gcf中adfgcf（aas）ad=cgad=cg=ae=be1=babaf1+2=90°b+g=90°2=geg=ae=5ce=eg-cg=5-=7. 證

7、明：如圖，延長eg交cd的延長線于點m由題意，feb=90°，dcb=90°dcb+feb=180°efcdfeg=m點g為fd的中點fg=dg在fge和dgm中fgedgm（aas）ef=md，eg=mgfeb是等腰直角三角形ef=ebbe=md在正方形abcd中，bc=cdbe+bc=md+cd即ec=mcecm是等腰直角三角形eg=mgegcg，3=4=45°2=3=45°eg=cg三角形全等之倍長中線（實戰(zhàn)演練）1. 在abc中，ac=5，中線ad=4，則邊ab的取值范圍是_思路分析：畫出草圖，標注條件：根據(jù)題目條件，見_，考慮_；添加

8、輔助線是_；倍長之后證全等：_（ ），證全等轉(zhuǎn)移邊：_=_；全等轉(zhuǎn)移條件后，利用三角形三邊關(guān)系可以得到ab的取值范圍2. 如圖，在正方形abcd中，adbc，e為ab邊的中點，g，f分別為ad，bc邊上的點，且ag=1，bf=2若geef，則gf的長為多少？【參考答案】1. 3<ab<13圖略中線ad 倍長中線 延長ad到點e，使de=ad，連接ceadc edb sas ac eb略2. adbc，e為ab邊的中點，平行夾中點；ag=bh，ge=he；到線段兩端點的距離相等，fh，ag+bf解：如圖，延長ge交cb的延長線于點hadbcgae=hbee為ab邊的中點ae=be在a

9、ge和bhe中，agebhe（asa）bh=ag，he=gegeefgf=hfbf=2，ag=1gf=hf=bf+bh =bf+ag =2+1 =3三角形全等之倍長中線（作業(yè)）Ø 例題示范例1：已知：如圖，在abc中，abac，d，e在bc上，且de=ec，過d作dfba交ae于點f，df=ac求證：ae平分bac【思路分析】讀題標注：見中線，要倍長，倍長之后證全等結(jié)合此題，de=ec，點e是dc的中點，考慮倍長，有兩種考慮方法：考慮倍長fe，如圖所示： 考慮倍長ae，如圖所示： （這個過程需要考慮倍長之后具體要連接哪兩個點）倍長中線的目的是為了證明全等：以方法為例，可證defceg

10、，由全等轉(zhuǎn)移邊和角，重新組織條件證明即可【過程書寫】證明：如圖，延長fe到g，使eg=ef，連接cg在def和ceg中，defceg（sas）df=cg，dfe=gdf=accg=acg=caedfe=caedfabdfe=baebae=caeae平分bacØ 鞏固練習(xí)1. 已知：如圖，在abc中，ab=4，ac=2，點d為bc邊的中點，且ad是整數(shù)，則ad=_2. 已知：如圖，bd平分abc交ac于d，點e為cd上一點，且ad=de，efbc交bd于f求證：ab=ef3. 已知：如圖，在abc中，ad是bc邊上的中線，分別以ab，ac為直角邊向外作等腰直角三角形，ab=ae，ac=

11、af，bae=caf=90°求證：ef=2ad4. 如圖，在abc中，ab >ac，e為bc邊的中點，ad為bac的平分線，過e作ad的平行線，交ab于f，交ca的延長線于g求證：bf=cg5. 如圖，在四邊形abcd中，adbc，點e在bc上，點f是cd的中點，連接af，ef，ae，若daf=eaf，求證：afefØ 思考小結(jié)1. 如圖，在abc中，ad平分bac，且bd=cd求證：ab=ac比較下列兩種不同的證明方法，并回答問題方法1：如圖，延長ad到e，使de=ad，連接be在bde和cda中bdecda（sas）ac=be，e=2ad平分bac1=21=eab

12、=beab=ac方法2：如圖，過點b作beac，交ad的延長線于點ebeace=2在bde和cda中bdecda（aas）be=acad平分bac1=21=eab=beab=ac相同點：兩種方法都是通過輔助線構(gòu)造全等，利用全等轉(zhuǎn)移條件進而解決問題方法1是看到中點考慮通過_構(gòu)造全等，方法2是通過平行夾中點構(gòu)造全等不同點：倍長中線的方法在證明全等時，利用的判定是_，實質(zhì)是構(gòu)造了一組對應(yīng)邊相等；利用平行夾中點證明全等時，利用的判定是_，實質(zhì)是利用平行構(gòu)造了一組_相等2. 利用“倍長中線”我們就可以證明直角三角形中非常重要的一個定理：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半請你嘗試進行證明已知：如圖，在rtabc中，bca=90°，cd是斜邊ab的中線求證：cdab【參考答案】Ø 鞏固練習(xí)1. 22. 證明略（提示：延長fd到點g，使得dg=df，連接ag