2022年平面向量知識點與習(xí)題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載平面向量必修 4 第 2 章 平面向量2.1 向量的概念及其表示重難點：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量，掌握平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系考綱要求：了解向量的實際背景理解平面向量的概念及向量相等的含義理解向量的幾何表示經(jīng)典例題：下列命題正確的是（）a.與共線，與共線，則與c 也共線b.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點c.向量與不共線，則與都是非零向量d.有相同起點的兩個非零向量不平行當(dāng)堂練習(xí)：1.下列各量中是向量的是( ) a.密度b.體積c.重力d.質(zhì)量2 下列說法中正確的是（）a. 平行向量就是向量所

2、在的直線平行的向量b. 長度相等的向量叫相等向量c. 零向量的長度為零d.共線向量是在一條直線上的向量3設(shè) o 是正方形abcd 的中心， 則向量ao、ob、co、od是（）a平行向量b有相同終點的向量c相等的向量d模都相同的向量4.下列結(jié)論中 ,正確的是( ) a. 零向量只有大小沒有方向b. 對任一向量a,|a|0 總是成立的c. |ab=|ba| d. |ab與線段 ba 的長度不相等5.若四邊形abcd 是矩形 ,則下列命題中不正確的是( ) a. ab與cd共線b. ac與bd相等c. ad與cb是相反向量d. ab與cd模相等6已知 o 是正方形 abcd 對角線的交點，在以o，

3、a， b，c，d 這 5 點中任意一點為起點，另一點為終點的所有向量中，（1）與bc相等的向量有；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）與ob長度相等的向量有；（3）與da共線的向量有7在平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；共線向量一定相等；相等向量一定共線；長度相等的向量是相等向量；平行于同一個向量的兩個向量是共線向量中， 不正確的命題是并對你的判斷舉例說明8 如圖，o 是正方形 abcd 對角線的交點， 四邊形 oaed ， ocfb都是正方形，在圖中所

4、示的向量中：（1）與ao相等的向量有；（2）寫出與ao共線的向有；（3）寫出與ao的模相等的有；（4）向量ao與co是否相等？答9o 是正六邊形abcde 的中心，且oaa，obb，abc，在以 a， b，c，d，e，o 為端點的向量中：（1）與a相等的向量有；（2）與b相等的向量有；（3）與c相等的向量有10在如圖所示的向量a，b，c，d，e中（小正方形的邊長為1） ，是否存在：（1）是共線向量的有；（2）是相反向量的為；（3）相等向量的的；（4）模相等的向量11如圖， abc 中，d，e，f 分別是邊bc，ab ，ca 的中點，在以a、b、c、d、e、f 為端點的有向線段中所表示的向量中，

5、（1）與向量fe共線的有abcdefabcedfooabcdef精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）與向量df的模相等的有（3）與向量ed相等的有12如圖，中國象棋的半個棋盤上有一只“ 馬” ，開始下棋時，它位于a 點，這只 “ 馬”第一步有幾種可能的走法？試在圖中畫出來若它位于圖中的p點，這只 “ 馬” 第一步有幾種可能的走法？它能否從點a 走到與它相鄰的b？它能否從一交叉點出發(fā)，走到棋盤上的其它任何一個交叉點？必修 4 第 2 章 平面向量2.2 向量的線性

6、運(yùn)算重難點：靈活運(yùn)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則解決向量加法的問題，利用交換律和結(jié)合律進(jìn)行向量運(yùn)算；靈活運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的差，以及求兩個向量的差的問題；理解實數(shù)與向量的積的定義掌握實數(shù)與向量的積的運(yùn)算律體會兩向量共線的充要條件考綱要求：掌握向量加法，減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其意義。理解兩個向量共線的含義了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義經(jīng)典例題：如圖，已知點,d e f分別是abc三邊,ab bc ca的中點，求證：0eafbdc. 當(dāng)堂練習(xí)：1a、b為非零向量，且| |abab，則（）aa與b方向相同babcabda與b方向相反2設(shè)()

7、()abcdbcdaa，而b是一非零向量，則下列各結(jié)論：/ab；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載a ba； abb； a bab， 其中正確的是（）abcd33在 abc 中， d、e、f 分別 bc、ca 、ab 的中點，點m 是 abc 的重心，則mcmbma等于（）aobmd4cmf4dme44已知向量ba與反向，下列等式中成立的是（）a|baba b|babac|baba d|baba5 若a b c化簡3(2 )2(3)2()abbcab（）aabbcc

8、d 以上都不對6已知四邊形abcd 是菱形，點p在對角線ac 上（不包括端點a、c） ，則ap= （）a().(0,1)abadb2().(0,)2abbcc().(0,1)abadd2().(0,)2abbc7已知| |3oaa，| |3obb， aob=60，則|ab_。8當(dāng)非零向量a和b滿足條件時，使得ba平分a和b間的夾角。9如圖， d、e、f 分別是abc 邊 ab、 bc、ca 上的中點，則等式：fddaaf0fddeef0dedabe0adbeaf0fedcba精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 21 頁 - -

9、 - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載10若向量x、y滿足23,32xyaxyb，a、b為已知向量，則x=_；y=_11一汽車向北行駛3 km，然后向北偏東60方向行駛3 km，求汽車的位移. 12.如圖在正六邊形abcdef 中， 已知：ab=a, af= b,試用a、b表示向量bc, cd, ad，be. 必修 4 第 2 章 平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示重難點：對平面向量基本定理的理解與應(yīng)用；掌握平面向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算考綱要求：了解平面向量的基本定理及其意義掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示會用坐標(biāo)表示平面向量的加法，減法于數(shù)乘運(yùn)算理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的

10、條件經(jīng)典例題：已知點( ,0),(2 ,1),(2, ),(6,2)a xbxcxdx求實數(shù)x的值，使向量ab與cd共線；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng)向量ab與cd共線時，點,a b c d是否在一條直線上？當(dāng)堂練習(xí)：1若向量a=(1,1),b=(1, 1),c=(1,2)，則 c 等于（）a21a23b b21a23b c23a21b d23a+21b 2若向量a=(x2,3)與向量 b=(1,y+2) 相等，則（）ax=1,y=3 bx=3,y=1 cx

11、=1,y= 5 dx=5,y= 1 3已知向量),cos,(sin),4 , 3(ba且ab，則tan= （）a43b43c34d344 已知abcd 的兩條對角線交于點e， 設(shè)1eab，2ead， 用21,ee來表示ed的表達(dá)式（）a212121eeb212121eec212121eed212121ee5已知兩點p（， 6） 、（ 3，） ，點 p（37，）分有向線段21pp所成的比為 ，則 、的值為（）a41，8 b41， 8c41， 8 d4，816下列各組向量中：)2 , 1(1e)5 , 3(1e) 3, 2(1e)7 , 5(2e)10, 6(2e)43,21(2e有一組能作為表示

12、它們所在平面內(nèi)所有向量的基底，正精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載確的判斷是（）ab c d 7若向量a=（2，m）與b=（m，8）的方向相反，則m 的值是8已知a=（2，3） ，b=（-5，6） ，則 |a+b|= ，|a-b|= 9 設(shè)a= （2， 9） ，b= （,6） ，c=(-1,),若a+b=c,則= , = . 10 abc的頂 點a(2 ， 3)， b( 4， 2)和 重心g(2， 1)，則c點坐 標(biāo)為. 11已知向量e1、 e2不共線，(1)若ab

13、=e1e2，bc=2e1 e2，cd=3e1 e2，求證： a、b、d 三點共線 .(2)若向量 e1e2 與 e1 e2 共線，求實數(shù) 的值 .12如果向量ab=i2j,bc=i+mj, 其中 i、j 分別是 x 軸、 y 軸正方向上的單位向量，試確定實數(shù)m 的值使 a、b、c 三點共線 .必修 4 第 2 章 平面向量2.4 平面向量的數(shù)量積重難點：理解平面向量的數(shù)量積的概念，對平面向量的數(shù)量積的重要性質(zhì)的理解考綱要求：理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義了解平面向量數(shù)量積于向量投影的關(guān)系掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平

14、面向量的垂直關(guān)系經(jīng)典例題：在abc中，設(shè), 1,3, 2kacab且abc是直角三角形，求k的精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載值當(dāng)堂練習(xí)：1 已知a= （3， 0） ，b= （-5， 5） 則a與b的夾角為（）a450 b、600 c、1350 d、1200 2已知a=（1，-2） ，b=（ 5，8） ，c=（2，3） ，則a （bc）的值為（）a34 b、 （34，-68）c、-68 d、 （-34，68）3 已知a= （2， 3） ，b= （-4， 7） 則向

15、量a在b方向上的投影為（）a13b、513c、565d、654已知a=（3，-1） ，b=（ 1，2） ，向量c滿足ac=7，且bc，則c的坐標(biāo)是（）a （2，-1）b、 （-2，1）c、 （2，1）d、 （ -2，-1）5 有下面四個關(guān)系式 （1）00=0； （2） （ab）c=a（bc） ； （3）ab=ba；（4）0a=0，其中正確的個數(shù)是（）a、4 b、3 c、2 d、1 6已知a=（m-2，m+3） ，b=（2m+1，m-2）且a與b的夾角大于90，則實數(shù)m（）a、m2 或 m -4/3 b、 -4/3 m 2 c、m2 d、m 2 且 m-4/3 7已知點 a（1，0） ，b（3，

16、1） ，c（2，0）則向量bc與ca的夾角是。8已知a=（1，-1） ，b=（-2，1） ，如果（)()baba，則實數(shù)= 。9若 |a|=2，|b|=2，a與b的夾角為45，要使kb-a與a垂直，則 k= 10已知a+b=2i-8j，ab=-8i+16j，那么ab= 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載11已知 2a+b=（-4，3） ，a-2b=（3， 4） ，求ab的值。12已知點 a （ 1，2） 和 b （4，-1） ， 試推斷能否在y 軸上找到一點c，使a

17、cb=900 ？若能，求點c 的坐標(biāo)；若不能，說明理由。必修 4 第 2 章 平面向量2.5 平面向量的應(yīng)用重難點：通過向量在幾何、物理學(xué)中的應(yīng)用能提高解決實際問題的能力考綱要求：會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題于其他一些實際問題經(jīng)典例題：如下圖，無彈性的細(xì)繩,oa ob的一端分別固定在,a b處，同質(zhì)量的細(xì)繩oc下端系著一個稱盤，且使得oboc，試分析,oa ob oc三根繩子受力的大小，判斷哪根繩受力最大？當(dāng)堂練習(xí)：1 已 知a 、 b 、 c為 三 個 不 共 線 的 點 ， p 為 abc所 在 平 面 內(nèi) 一 點 ， 若abpcpbpa，則點 p與

18、 abc 的位置關(guān)系是（）a、點 p在 abc 內(nèi)部b、點 p 在 abc 外部c、點 p 在直線 ab 上d、點 p在 ac 邊上2已知三點a（1，2） ，b（4，1） ，c（0，-1）則 abc 的形狀為（）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載gcobagedcbaa、正三角形b、鈍角三角形c、等腰直角三角形d、等腰銳角三角形3當(dāng)兩人提起重量為|g|的旅行包時，夾角為，兩人用力都為|f|，若 |f|=|g|，則的值為（）a、300 b、600 c、 900 d、1

19、200 4某人順風(fēng)勻速行走速度大小為a，方向與風(fēng)速相同，此時風(fēng)速大小為v，則此人實際感到的風(fēng)速為（）a、v-a b、 a-v c、v+a d、v 5一艘船以5km/h 的速度向垂直于對岸方向行駛，船的實際航行方向與水流方向成300 角，則水流速度為km/h。6兩個粒子a， b 從同一粒子源發(fā)射出來，在某一時刻，以粒子源為原點，它們的位移分別為 sa= （3， -4） ， sb= （4， 3） ，（ 1） 此時粒子 b 相對于粒子a的位移；（2）求 s在 sa方向上的投影。7如圖，點p 是線段 ab 上的一點，且appb=mn，點 o 是直線 ab 外一點，設(shè)oaa，obb，試用, , ,m n

20、a b的運(yùn)算式表示向量opbaopba8如圖， abc 中， d，e 分別是 bc，ac 的中點，設(shè)ad 與 be 相交于 g，求證：ag gd=bg ge=219如圖，o 是 abc 外任一點，若1()3ogoaoboc，求證： g 是 abc重心（即三條邊上中線的交點）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載10一只漁船在航行中遇險，發(fā)出求救警報，在遇險地西南方向10mile 處有一只貨船收到警報立即偵察，發(fā)現(xiàn)遇險漁船沿南偏東750，以 9mile/h 的速度向前航

21、行，貨船以21mile/h 的速度前往營救，并在最短時間內(nèi)與漁船靠近，求貨的位移。必修 4 第 2 章 平面向量2.6 平面向量單元測試1 在 矩 形abcd中 ， o是 對 角 線 的 交 點 ， 若ocedcebc則213,5=（）a)35(2121ee b)35(2121ee c)53(2112ee d)35(2112ee2對于菱形abcd ，給出下列各式：bcab|bcab|bcadcdab|4|22abbdac2 其中正確的個數(shù)為（）a 1個 b2 個 c 3 個 d4 個3在abcd 中，設(shè)dbdcacbadaab,，則下列等式中不正確的是（）acbabdbacdabdbac4已知

22、向量ba與反向，下列等式中成立的是（）750 a b c 東北450 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載a|baba b|babac|babad|baba5已知平行四邊形三個頂點的坐標(biāo)分別為（1，0） ， （3，0） ， （1， 5） ，則第四個點的坐標(biāo)為（）a （1，5）或（ 5， 5）b （1，5）或（ 3， 5）c （5， 5）或（ 3， 5）d （1，5）或（ 3， 5）或（ 5， 5）6與向量)5,12(d平行的單位向量為（）a)5,1312(b)135

23、,1312(c)135,1312(或)135,1312(d)135,1312(7 若32041|ba，5| , 4|ba， 則ba與的數(shù)量積為（）a 103b 103c102d10 8 若將向量) 1 , 2(a圍繞原點按逆時針旋轉(zhuǎn)4得到向量b,則b的坐標(biāo)為( ）a)223,22(b)223,22(c)22,223(d)22,223(9設(shè) kr，下列向量中，與向量) 1, 1 (q一定不平行的向量是（）a),(kkbb),(kkcc) 1, 1(22kkdd) 1, 1(22kke10 已知12| ,10|ba， 且1( 3)()3 65ab， 則ba與的夾角為（）a60b120 c135d1

24、5011非零向量|,bababa滿足，則ba,的夾角為. 12在四邊形abcd 中，若|,bababadaab且,則四邊形abcd 的形狀是精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載13已知)2, 3(a，) 1, 2(b，若baba與平行，則 = . 14 已知e為單位向量，|a=4，ea與的夾角為32，則ea在方向上的投影為. 15已知非零向量ba,滿足|baba,求證 : ba16已知在 abc 中，)3 ,2(ab，), 1( kac且 abc 中 c 為直角，

25、求 k 的值 . 17、設(shè)21,ee是兩個不共線的向量，2121212,3,2eecdeecbekeab，若 a、 b、d 三點共線，求k 的值 . 18已知2|a3|b,ba與的夾角為 60o,bac35,bkad3,當(dāng)當(dāng)實數(shù)k為何值時，cddc精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載19如圖， abcd 為正方形， p 是對角線db 上一點， pecf 為矩形，求證： pa=ef；paef. 20如圖，矩形abcd 內(nèi)接于半徑為r 的圓 o，點 p是圓周上任意一點，

26、求證： pa2+pb2+pc2+pd2=8r2. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載參考答案第 2 章 平面向量2.1 向量的概念及其表示經(jīng)典例題：解：由于零向量與任一向量都共線，所以a 不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以b 不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關(guān)，所以不正確；對于c，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮

27、，假若與不都是非零向量，即與至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有與共線，不符合已知條件，所以有與都是非零向量，所以應(yīng)選c. 當(dāng)堂練習(xí)：1.c; 2.c; 3.d; 4.c; 5.b; 6. (1)ad(2)docoaoboodocoa,(3).,cbbcad; 7. ; 8. （ 1 ）bf（ 2 ）bfcode,（ 3 ）cfbfcobododeae,（4）不相等 ; 9. （1）cbdo,（2）dceo,（3）edoc,; 10. （1）da,（2）da,（3）不存在（4）da,，c; 11. （1）cbbccddcdbbd,（2）ceeceaae,（3）affb,; 12

28、. 3 種， 8 種，可以（轉(zhuǎn)化為相鄰兩個中的互跳）; 2.2 向量的線性運(yùn)算經(jīng)典例題：證明：連結(jié),de ef fd 因為,d e f分別是abc三邊的中點， 所以四邊形adef為平行四邊形由向量加法的平行四邊形法則，得edefea（ 1） ，同理在平行精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載四 邊 形befd中 ，f df ef b(2) ， 在 平 行 四 邊 形c f d e在 中 ，d fd ed c(3) 將（ 1）(2) (3) 相加，得eafbdcedef

29、fdfededf()()()effeeddefddf0當(dāng)堂練習(xí)：1.c; 2.d; 3.a; 4.c; 5.d; 6.a; 7. 3; 8. |ba; 9. ， ; 10. （1）da,（ 2）da,（3）不存在（4）da,，c; 11. 北偏東 30方向，大小為3 3km12.baafabboabaobc；bafcd；babcad22；bafbe222.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示經(jīng)典例題：解 （1）( ,1)abx，(4, )cdx/abcd，24,2xx（2）由已知得(22 ,1)bcx x當(dāng)2x時，( 2,1)bc，(2,1)ab，ab和bc不平行， 此時,a b c d不在一條直

30、線上；當(dāng)2x時，(6,3)bc，( 2,1)abab/bc，此時,a b c三點共線又/abcd，,a b c d四點在一條直線上綜上當(dāng)2x時，,a b c d四點在一條直線上精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng)堂練習(xí)：1.b; 2.b; 3.a; 4.b; 5.d; 6.a; 7. -4; 8. 358,10; 9. -3，15; 10. (8,-4); 11解析： (1) bd=bc+cd=2e1-8e2+3(e1+e2) e1-5e2abbd與ab又直線 b

31、d 與 ab 有公共點b，a、b、d(2)e1-e2 與 e1-e2存在實數(shù)k，使 e1e2（ e1e2 ） e1+(k )e20e1、 e2由平面向量的基本定理可知：且解得 ，故 12解法一： a、b、c 三點共線即ab、bc存在實數(shù) 使得abbc即 i-2j= （i+mj ）于是21m即 m=2 時， a、b、c 三點共線 .解法二：依題意知：i=(1,0),j=(0,1) 則ab=(1,0)-2(0,1)=(1,-2), bc=(1,0)+m(0,1)=(1,m) 而ab、bc故當(dāng) m=2 時， a、 b、c 三點共線 . 2.4 平面向量的數(shù)量積經(jīng)典例題：解：若,900a則acab，于

32、是0312k解得32k；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 21 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載若,900b則bcab，又,3, 1 kabacbc故得03312k，解得311k；若,900c則bcac，故0311kk，解得2133k所求k的值為32或311或2133當(dāng)堂練習(xí)：1.c; 2.b; 3.c; 4.a; 5.d; 6.b; 7. 450; 8. 251; 9.2; 10. - 63; 11. a=(-1,2) b=(-2,-1) ab=0 12. 令 c(0,y), 則ac=(-1,y-2) )1,4(ycb因為acb=900, 所以accb=0 ,即 -4+(y-2)(-1-y)=0 y2-y+2=0, 此方程無實數(shù)解,所以這樣的點不存在. 2.5 平面向量的應(yīng)用經(jīng)典例題：解：設(shè),oa ob oc三根繩子所受力分別是, ,a b c，則0abc，,a b的合力為,| |cab cc， 如 上 右 圖 ， 在 平 行 四 邊 形ob c a中 ， 因 為,obocb coa，所以| | |,| |oaoboaoc即| |,| |