條件極值與拉格朗日乘數(shù)法PPT課件

1、7-71則可按如下方法求最值：則可按如下方法求最值： 將函數(shù)在區(qū)域 D D 內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D D 的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值. . 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.回顧：多元函數(shù)的最值的求法 設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)，在D內(nèi)可微且只有有限個(gè)駐點(diǎn)。第1頁(yè)/共18頁(yè)7-727.7 條件極值與拉格朗日乘數(shù)法實(shí)例：求表面積為 S(固定) 、體積最大的長(zhǎng)方體的體積( , , )V x y zxyz 222xyyzzxS限制條件求極值條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值第2頁(yè)/共18頁(yè)7-73求條件極值的方法1

2、. 轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值問題.2. 利用拉格朗日乘數(shù)法.第3頁(yè)/共18頁(yè)7-74 要找函數(shù)要找函數(shù)),(yxfz 在條件在條件0),( yx 下的下的可能極值點(diǎn)，可能極值點(diǎn)， 1. 先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù)),(),(),(yxyxfyxF ， 其中其中 為拉格朗日乘數(shù)為拉格朗日乘數(shù). 2. 由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , yx，其中，其中(yx,)就是可能的極值點(diǎn)的坐就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo). 拉格朗日乘數(shù)法第4頁(yè)/共18頁(yè)7-75拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況：拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況：要找函數(shù)要找

3、函數(shù)),(tzyxfu 在條件在條件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的極值，下的極值， 先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù) ),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyx 其中其中21, 均為拉格朗日乘數(shù)，可由均為拉格朗日乘數(shù)，可由 偏導(dǎo)數(shù)為零及偏導(dǎo)數(shù)為零及約束約束條件解出條件解出tzyx,，即得可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo)，即得可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo). 更一般的情形第5頁(yè)/共18頁(yè)7-76 將正數(shù)將正數(shù) 12 分成三個(gè)正數(shù)分成三個(gè)正數(shù)zyx,之和之和 使得使得zyxu23 為最大為最大. 解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzx

4、FzyxFzyx 解解得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))2 , 4 , 6(，.691224623max u則故最大值為故最大值為 根據(jù)具體情況從實(shí)際問題的物理、幾何、經(jīng)濟(jì)意義可以判斷是否為最值例題1第6頁(yè)/共18頁(yè)7-77 在在區(qū)區(qū)域域22( , )|50 x yxy 上上,求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值. , 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))21,21(和和)21,21( ,解解由,21)21,21( z,21)21,21( z例題2第7頁(yè)/共18頁(yè)7-78在邊界上22( , )|50 x y

5、xy 122 yxyxzz(5,5)=10/51z(-5,-5)=-10/51最大值為最大值為21，最小值為，最小值為21 . 比較可知101011515052例題2續(xù)利用拉格朗日乘數(shù)法得可能的最值點(diǎn)為（5，5）以及（5，5）：第8頁(yè)/共18頁(yè)7-79曲線221zxyxyz 上面哪一點(diǎn)到原點(diǎn)最近?討論2d記為222( , , )f x y zxyz122222212( , , ,)()(1)F x y zxyzxyzxyz 例題3 (p252,例2),( zyxP：設(shè)設(shè)橢橢圓圓上上的的點(diǎn)點(diǎn)為為解解第9頁(yè)/共18頁(yè)7-7101313,23,2295 3xyzd 12121222022020 xy

6、zFxxFyyFz 22010 xyzxyz例題3（續(xù)）第10頁(yè)/共18頁(yè)7-711小結(jié)求條件極值的方法:1. 轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值.2. 利用拉格朗日乘數(shù)法. 注意要正確 地寫出目標(biāo)函數(shù)和約束條件.第11頁(yè)/共18頁(yè)7-712思考題思考題 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx點(diǎn)均取得點(diǎn)均取得極值， 則極值， 則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx是否也取得極值？是否也取得極值？思考題第12頁(yè)/共18頁(yè)7-713思考題解答思考題解答不是不是.例例如如 22),(yxyxf ,當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，2), 0(yyf 在在)0 , 0(取取極極大大值值;當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)，時(shí)，2)0 ,(xxf

7、 在在)0 , 0(取極小值取極小值;但但22),(yxyxf 在在)0 , 0(不取極值不取極值.思考題解答第13頁(yè)/共18頁(yè)7-714多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值小結(jié)第14頁(yè)/共18頁(yè)7-715一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù))4)(6(),(22yyxxyxf 在在_點(diǎn)取點(diǎn)取得極得極_值為值為_._.2 2、 函數(shù)函數(shù)xyz 在附加條件在附加條件1 yx下的極下的極_值值為為_._.3 3、 方程方程02642222 zyxzyx所確定的所確定的函數(shù)函數(shù)),(yxfz 的極大值是的極大值

8、是_,_,極小值極小值是是_._.二二、 在在 平平 面面xoy上上 求求 一一 點(diǎn)點(diǎn) , , 使使 它它 到到0, 0 yx及及0162 yx三三直直線線的的距距離離平平方方之之和和為為最最小小. .三三、 求求內(nèi)內(nèi)接接于于半半徑徑為為a的的球球且且有有最最大大體體積積的的長(zhǎng)長(zhǎng)方方體體. .練練 習(xí)習(xí) 題題第15頁(yè)/共18頁(yè)7-716四、四、 在第一卦限內(nèi)作球面在第一卦限內(nèi)作球面1222 zyx的切平面的切平面, ,使使得切平面與三坐標(biāo)面所圍的四面體的體積最小得切平面與三坐標(biāo)面所圍的四面體的體積最小, ,求求切點(diǎn)的坐標(biāo)切點(diǎn)的坐標(biāo). .第16頁(yè)/共18頁(yè)7-717一一、1 1、( (3 3, ,2 2) ), ,大大, ,3 36 6； 2 2、大大, ,41； 3 3、7