必修五等差數(shù)列性質及其前n項和題型分類歸納總結非常全面

1、等差數(shù)列及其前n項和教學目標：1、熟練掌握等差數(shù)列定義；通項公式；中項；前 n項和；性質。2、能熟練的使用公式求等差數(shù)列的基本量，證明數(shù)列是等差數(shù)列，解決與等差數(shù)列有關 的簡單問題。知識回顧：1 .定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個 數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。用遞推公式表示為an an 1 d(n 2)或am a0 d(n 1)。(證明數(shù)列是等差數(shù)列的關鍵)2 .通項公式：等差數(shù)列的通項為：an ai (n 1)d ,當d 0時，an是關于n的一次式，它的圖象是一 條直線上自然數(shù)的點的集合。推廣：an

2、am (n m)d3 .中項：如果a, A, b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項；其中A 曳上。24 .等差數(shù)列的前n項和公式Sn n(a1 an) nai n(nd可以整理成&=9n2+(ai d)n。當d*0時是n的一個常數(shù) 2222項為0的二次函數(shù)。5 .等差數(shù)列項的性質(1)在等差數(shù)列 an中，若m , n , p , q N且m n p q ,則am an ap aq ；特 別的，若 m , p , q N 且 2m p q ,貝112am ap aq。(2)已知數(shù)列an , bn為等差數(shù)列，Sn,Tn為其前n項和，則曳 bn T2n 1(3)若等差數(shù)列的前n項和為則S

3、n，S2n Sn , S3n S2n,也成等差數(shù)列，公差d' n2d;S1,(n 1) an(4) SnSn 1, (n2).(5)若數(shù)列4是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列 Sn也是等差數(shù)列，且公差為 考點分析考點一：等差數(shù)列基本量計算例1、在等差數(shù)列中，若注 6915,則ai4 2、記S為等差數(shù)列an的前n項和，若3s=S+S4, a = 2,則a5=()A. - 12 B. - 10 C . 10 D . 123、已知等差數(shù)列an的前n項和為若a2=4, $= 22, an=28,則n=()A. 3 B . 7 C . 9 D . 10解題技法等差數(shù)列的基本運算的解題策略(1)等差數(shù)列

4、的通項公式及前n項和公式共涉及五個量 a, an, d, n, Sn,知其中三個就能 求另外兩個，體現(xiàn)了方程思想.(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用，而 a1和d是等差數(shù)列 的兩個基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法.練習(1)設Sn是等差數(shù)列an的前n項和.已知a2=3, a6=11,則S7等于A.13B.35C.49D.63(2)數(shù)列an為等差數(shù)列，且a7 2a41 , a3 0 ,則公差d =A八r1-1rcA.-2B.-2C.2D.2(3)在等差數(shù)列an中，已知a3 2,則該數(shù)列的前5項之和為A. 10 B. 16 C. 20 D. 32(4)若等差數(shù)列

5、an的前5項和S = 25,且a?=3,則a7等于()A. 12 B. 13 C. 14 D. 151(5)記等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若&=2, S4= 20,則S等于()A. 16 B. 24 C. 36 D. 48考點二：等差數(shù)列性質應用題型一：等差數(shù)列項的性質例1、等差數(shù)列an中，3區(qū)a5)2(a72。aQ24,則該數(shù)列前13項的和是()A. 13 B. 26 C. 52 D. 1562、已知在等差數(shù)列an中，a5+ a6 = 4,WJ log2(2a12a22m)=()A. 10B. 20C. 40D . 2+log 25S93、設S, Tn分別是等差數(shù)列an, bn的前

6、n項和，若a5= 2b5,則=()1 9A. 2B. 3C. 4D . 6題型二、等差數(shù)列前 n項和的性質1、設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若& = 9, &= 36,則a7+as+a9等于()A. 63B. 45C. 36D . 272、已知S是等差數(shù)列an的前n項和，若a1= - 2 014, 0 rH/0 cca = 6,貝U S2。化2 0 14 2 0083、設Sn,Tn分別是等差數(shù)列an、bn的前n項和，Sn 迎二，則冷 。Tnn 3b54、已知等差數(shù)列an的公差為2,項數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項之和為15,所有偶數(shù)項之 和為25,則這個數(shù)列的項數(shù)為 。& an

7、補充：右項數(shù)為偶數(shù) 2n,則 Sn=n(a + a2n) =n(an+an+1); S偶一S奇=口; 丁=.S(禺 an +1S n右項數(shù)為司數(shù) 2n 1,則&n1 = (2n 1)an； S奇一S偶=2門； =S(禺 n 1練習1、等差數(shù)列an中，ai 3a8 如 120 ,貝U 3a9新的值為2、已知等差數(shù)列an的前n項和為且80=10, $0= 30,則S30=一 一 一S3 S2-3、已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足萬一3=1,則數(shù)列an的公差是 321 八A. 2 B. 1 C. 2 D. 34、若一個等差數(shù)列前3項的和為34,最后3項的和為146,且所有項的和為39

8、0,則這 個數(shù)列有()A. 13 項B. 12 項 C. 11 項 D. 10 項5、等差數(shù)列an的公差 d 2,aa4a7L a97 50,那么 a3a6a9La99 =A. 78 B, -82 C. 148 D. 182考點三：等差數(shù)列的證明12例1:在數(shù)列an中，a1 1, an1 1 ，bn ，其中n N .4an2an 1(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求證：在數(shù)列an中對于任意的n N* ,都有an an 1練習 1、數(shù)列 an y兩Ji1 a1 1, a2 2, an 2 2an 1 an 2。(1)設bn an 1 an，證明bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式。,

9、一 31* 一 1*2、已知數(shù)列an中，ai = -, an = 2(n>2, nCN),數(shù)列bn輛足 bn=；(nCN).5an 1an 1''求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；3、數(shù)列an滿足：a1 2, an1 -2a n N 。求證： 是等差數(shù)列； an 2an小結與拓展：(1)定義法：an1 an d (n N , d是常數(shù))a是等差數(shù)列；(2)中項法：2an1 an an 2(n N ) an是等差數(shù)列；(3)通項公式法：an kn b (k,b是常數(shù))an是等差數(shù)列；(4)前n項和法：Sn=kn2+bn (k, b是常數(shù))an是等差數(shù)列考點四：等差數(shù)列前n項和的最值

10、(1)為0, d 0時，Sn有最大值；a1 0, d 0時，Sn有最小值；(2) Sn最值的求法：若已知Sn,可用二次函數(shù)最值的求法(nN);找到正負項 分界的是第幾項。例1、數(shù)列an中，an2n 49,當數(shù)列an的前n項和Sn取得最大值時，n 練習1、設等差數(shù)列an的前n項和為S,若411, a4 a6 6,則當a取最小值時n等于()A. 6 B. 7 C. 8 D. 92、若等差數(shù)列an滿足a7a8a90 ,a8a90 ,則當n 時an的前n項和最大。例2、在等差數(shù)列an中，為7,公差為d,前n項和為Sn,當且僅當n=8時，Sn取得 最大值，則d的取值范圍為。第10頁共8頁快樂每一天，收獲

11、多一點。例3、等差數(shù)列an 值。中，ai0 ,前n項和為Sn,且僅當S5Si2,則當n 時，Sn取最大練習1、設數(shù)列an是等差數(shù)列,且a28 , a155 , Sn是數(shù)列an的前n項和，則（）S11B. S10S11C.S9S10D. S9602.設 an (nN ）是等差數(shù)列,Sn是其前n項的和，且S5S6,S6 S7 S8則下列結論錯誤的是（A. dB. a7C . S9S5D. S6與S7均為Sn的最大值總結:求等差數(shù)列前n項和Sn最值的2種方法（1）函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Sn = an2 + bn,通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解.（2）鄰項變號法:當ai&

12、gt;0, d<0時，滿足anr 0 , am 1 v 0的項數(shù)m使得Sn取得最大值為當ai<0, d>0時,滿足am 0, arr 10的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.考點五：等差數(shù)列和項轉換ana1Sn(nSn1)1 (n 2)例1、已知數(shù)列an的前n項和為Sn1n ,求 an。2練習1、已知數(shù)列an的前n項和為Snn2 2 ,求 an。2、設數(shù)列an的前n項和Sn n2,則a8的值為（A. 15B. 16 C. 49D. 64課后練習1、在等差數(shù)列an中，(1)已知 ai 2,d 3,n 10,求an;(2)已知 a1 3,an 21,d 2,求n ；(3)已知 a1

13、 12, a6 27,求d ；1(4)已知 d- ,a7 8,求 a1。32、在等差數(shù)列 an中，(1)已知 4 48,&2 168,求 a1,和 d(2)已知 a6 10, S5 5 ,求 a8和 S(3) a1 20,an 54£ 599，求 d 及 n；,1 一，、一(4) d -,n 37,Sn 629，求a1及an；3-51,、一(5) a1 -,d-,Sn5,求 n及 an；66(6) d 2,n 15, an10,求a1及Sn。3、等差數(shù)列an的前n項和記為Sn ,已知a10 30, a2。 50。(1)求通項公式an;(2)若 Sn 242 ,求 n。4、設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若S33,S624 ,則a9 5、等差數(shù)列an的前n項和Sn,若a1 2, 3 12 ,則a6 ()A.