大學(xué)高數(shù)課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 向量的概念與線性運算向量的概念與線性運算一一 向量的概念向量的概念二二 向量的線性運算向量的線性運算一一 向量的概念向量的概念向量向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：1M 2M a21MM模長為模長為1 1的向量的向量. .21MM00a零向量零向量：模長為模長為0 0的向量的向量. .0|a21MM| | |向量的模向量的模：向量的大小向量的大小. .單位向量單位向量：或或或或或或規(guī)定零向量的方向是任意的規(guī)定零向量的方向是任意的。自由向量自由向量：不考慮起點位置的向量不考慮起點位置的向量. .相等向量相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等

2、且方向相同的向量. .負(fù)向量負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a aba a二二 向量的線性運算向量的線性運算1 1 加法加法cba abc平行四邊形法則平行四邊形法則特殊地：若特殊地：若abab|bac 分為同向和反向分為同向和反向ba|bac 三角形法則三角形法則abccc向量的加法符合下列運算規(guī)律向量的加法符合下列運算規(guī)律：（1 1）交換律：）交換律：.abba （2 2）結(jié)合律：）結(jié)合律：).(cba （3 3）. 0)( aa2 2 減法減法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab.abba cbacba )(, 0)1( |aa ,

3、 0)2( 0 a , 0)3( |aa aa2a21 設(shè)設(shè) 是一個數(shù)，向量是一個數(shù)，向量a與與 的乘積的乘積a 規(guī)定為規(guī)定為3 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1 1）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(0.ababa 設(shè)設(shè)向向量量，那那末末向向量量平平行行于于的的充充分分必必要要條條件件是是：存存在在唯唯一一的的實實數(shù)數(shù)，使使定定理理兩個向量的平行關(guān)系兩個向量的平行關(guān)系000aa 或或證證充分性顯然；充分性顯然；必要性必要性ab設(shè)設(shè),ab 取取取取正正值值，同同向向時時與

4、與當(dāng)當(dāng) ab取負(fù)值，取負(fù)值，反向時反向時與與當(dāng)當(dāng) ab.ab 即即有有.同同向向與與此此時時ab aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性 ，設(shè)設(shè)ab ，又又設(shè)設(shè)ab 兩式相減，得兩式相減，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 . 即即同方向的單位向量，同方向的單位向量，表示與非零向量表示與非零向量設(shè)設(shè)aa0按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量一個與原向量同方向的單位向量. .例例1 1 化簡化簡 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 例例2 2 試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形 必是平行四邊形必是平行四邊形.