全部高等數(shù)學(xué)計算公式

1、高等數(shù)學(xué)公式導(dǎo)數(shù)公式：2(arcsinx)1(tgx)sec x1x2(ctgx)csc2 x(arccosx)1(secx)secx tgx1x2(cscx)cscx ctgx(arctgx)1(a x )ax ln a1 x21(arcctgx)1(loga x)1x2xln a基本積分表：三角函數(shù)的有理式積分：tgxdxlncosx Cctgxdx lnsinxCsecxdx lnsecx tgx Ccscxdx lncscx ctgx Cdx1 arctgx Ca2x2aadx1 ln xaCx2a22axadx1 ln axCa2x22aaxdxxCa2x2arcsinadx22se

2、c xdx tgx Ccos xdx2sin2 xcsc xdxctgx Csecx tgxdx secxCcscx ctgxdxcscx Cx ashxdx chx Cchxdx shx Cdxln(xx2a2 ) Cx2a22n2nn1In 2I nsin xdxcos xdx00nx2a2 dxxx2a2a2ln(xx2a2 )C22x2 a2 dx x x2a2a2 ln x x2 a2C22a22x2x2a2xx dx2a2arcsin Casin x2u， cos x1u2utgx2duu212 ，dxu21u21一些初等函數(shù)：兩個重要極限：雙曲正弦: shxexe x2雙曲余弦:

3、 chxexe x2雙曲正切: thxshxexechxexearshxln( xx2）1archxln( xx21)arthx1 ln 1x21x精選文庫lim sin x1x 0xlim (1 1 )xe 2.718281828459045.x xxx三角函數(shù)公式：·誘導(dǎo)公式：函數(shù)sincostgctg角 A-sin cos -tg -ctg 90°-cos sin ctg tg 90°+cos -sin -ctg -tg 180°-sin -cos -tg -ctg 180°+-sin -cos tg ctg 270°-cos

4、-sin ctg tg 270°+-cos sin -ctg -tg 360°-sin cos -tg -ctg 360°+sin cos tg ctg ·和差角公式：·和差化積公式：sin()sincoscossinsinsin2 sincoscos()coscossinsin22tg ()tgtgsinsin2 cossin1 tgtg22coscos2 coscosctgctg1ctg ()22ctgctgcoscos2 sinsin22-2精選文庫·倍角公式：sin 22 sin coscos22 cos211 2sin 2c

5、os2sin2sin 33sin4sin3ctg 2ctg 21cos34 cos33 cos2ctg3tgtg 3tg32tg13tg 2tg 21tg 2·半角公式：sin1coscos1cos2222tg1cos1cossinctg1cos1cossin1cossin1cos1cossin1cos22·正弦定理：abcR·余弦定理：c2a2b22ab cosCsin Asin BsinC2·反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinxarccosxarctgxarcctgx22高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（ Leibniz）公式：n(uv) ( n)Cnku (n k

6、) v(k)k 0u ( n) vnu (n 1) vn( n 1) u( n 2 )vn(n 1) ( n k 1) u( n k )v (k)uv (n)2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f (b)柯西中值定理：f (b)f ( a)f ( )(ba)f (a)f ( )F (a)F ( )當 F( x)x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：-3精選文庫弧微分公式： ds1y 2 dx, 其中 y tg平均曲率：Ks.: 從 M 點到 M 點，切線斜率的傾角變化量；M 點的曲率： Klimdy.sds23s 0(1y)直線： K0;半徑為 a的圓： K1 .a定積分的近

7、似計算：bba ( y0矩形法： f ( x)y1yn 1 )anbba 1 ( y梯形法： f ( x)0yn )y1yn1 an2bba( y0拋物線法： f (x)yn )2( y2y4yn 2 )4( y1 y3a3n定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功： WF s水壓力： Fp Am1m2引力： Fkr 2, k為引力系數(shù)1b函數(shù)的平均值： yf ( x)dxba a1b均方根：f 2 (t )dtba a空間解析幾何和向量代數(shù)：s： M M 弧長。yn 1 )-4精選文庫空間 2點的距離： dM1M2( x2x1 ) 2( y2y1 ) 2(z2z1 ) 2向量在軸上的投影： Pr ju ABA

8、Bcos ,是 AB與 u軸的夾角。Pr ju ( a1a2 ) Pr j a1Pr ja2a b ab cosaxbxa ybyazbz ,是一個數(shù)量 ,兩向量之間的夾角： cosax bxa ybyazbzax 2ay 2az2bx 2by2bz2ijkc a baxayaz , cab sin.例：線速度： vwr .bxbybzaxayaz向量的混合積： abc (ab )cbxbybzabc cos , 為銳角時，cxc ycz代表平行六面體的體積。平面的方程：1、點法式： A(xx0 )B( yy0 )C (z z0 ) 0，其中 n A, B,C, M 0 ( x0 , y0 ,

9、 z0 )2、一般方程： AxByCzD03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一點到該平空間直線的方程： xx0m二次曲面：面的距離：dAx0 By0A2B2y y0z z0t ,其中 snpCz0 DC 2xx0mt m, n, p; 參數(shù)方程： yy0ntzz0pt221、橢球面： x y a2 b2222、拋物面： xy2 p2q3、雙曲面：22單葉雙曲面： x y a2 b222雙葉雙曲面： x y a2 b2z2c21z（,p, q同號）z2c21z2c 2（1馬鞍面）多元函數(shù)微分法及應(yīng)用-5精選文庫全微分： dzz dxz dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近

10、似計算：zdz f x (x, y)xf y ( x, y)y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：zf u(t), v(t )dzzuzvdtutvtzf u( x, y), v( x, y)zzuzvxuxvx當u，v(x, y)時，u( x, y) vduu dxu dydvv dxv dyxyxy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：隱函數(shù)F ( x, y)，dyFx ，d2 yFxFxdy0dxF ydx2()()x Fyy Fydx隱函數(shù)， zFx ，zFyF ( x, y, z) 0xFzyFzF ( x, y,u,v)0(F ,G)FFFuFv隱函數(shù)方程組：JuvG( x, y,u,v)0(u, v)GGGuGv

11、uvu1(F ,G)v1(F ,G)xJ( x, v)xJ(u, x)u1(F ,G)v1(F ,G)yJ( y, v)yJ(u, y)微分法在幾何上的應(yīng)用：x(t), y0 , z0 )處的切線方程： x x0yy0zz0空間曲線y(t)在點 M (x0z(t)(t0 )(t0 )(t0 )在點 M處的法平面方程：(t 0 )( xx0 )(t0 )( y y0 )(t0 )( z z0 )0若空間曲線方程為：F ( x, y, z) 0,則切向量 TFyFzFxFx, Fz,G ( x, y, z) 0G yG z G zG x G x曲面 F ( x, y, z) 0上一點 M ( x0

12、 , y0 , z0 )，則：1、過此點的法向量：n Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 )2、過此點的切平面方程： Fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 )3、過此點的法線方程：x x0y y0zz0Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz( x0 , y0 , z0 )F yG yFz (x0 , y0 , z0 )( zz0 )0方向?qū)?shù)與梯度：-6精選文庫函數(shù) zf (x, y)在一點 p( x, y)沿

13、任一方向 l 的方向?qū)?shù)為： ffcosf sinlxy其中 為 軸到方向的轉(zhuǎn)角。xl函數(shù) zf (x, y)在一點 p( x, y)的梯度： gradf ( x, y)f ifjxy它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是 ：f，其中ecosisin j，為方向上的grad f ( x, y) ell單位向量。f 是gradf ( x, y)在l 上的投影。l多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè) f x ( x0 , y0 )f y ( x0 , y0 )0，令： f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy (x0 , y0 ) CACB 2A 0, (x0 , y0 )為極

14、大值0時，A 0, (x0 , y0 )為極小值則： ACB 20時，無極 值A(chǔ)CB 20時 ,不確定重積分及其應(yīng)用：f (x, y)dxdyf (r cos, r sin)rdrdDD22曲面 z f ( x, y)的面積 A1zzxdxdyDyM xx( x, y) dM yy( x, y)d平面薄片的重心：D,yDxM(x, y) dM( x, y)dDD平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于 x軸 I xy2(x, y) d,對于 y軸 I yx2( x, y)dDD平面薄片（位于 xoy平面）對 z軸上質(zhì)點 M(0,0,a), (a0)的引力： F Fx , Fy , Fz ，其中：Fxf( x,

15、 y) xd，F(xiàn)yf(x, y) yd，F(xiàn)zfa(x, y) xd333D ( x 2y 2a 2 ) 2D ( x2y 2a 2 ) 2D (x 2y 2a 2 ) 2柱面坐標和球面坐標：-7精選文庫xr cos柱面坐標： yr sin , f ( x, y, z) dxdydz F ( r , , z)rdrd dz, z z其中： F (r , z)f (r cos , r sinx r sin cos球面坐標： y r sin sin ，zr cos, z)dvrdr sinddrr 2 sindrdd2r (, )f ( x, y, z)dxdydzF (r , ) r 2 sind

16、rddddF (r ,)r 2 sindr0001x dv,y1ydv,z1z dv，其中 Mxdv重心： xMMM轉(zhuǎn)動慣量： I x( y2z2 )dv，I y(x 2z2 )dv，I z( x2y 2 )dv曲線積分：第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）：設(shè) f ( x, y)在 L上連續(xù)， L的參數(shù)方程為： x(t ) ,(t),則：y(t )f ( x, y) dsf (t),(t )2 (t)2 (t )dt()特殊情況：xtLy(t)-8精選文庫第二類曲線積分（對坐標的曲線積分）：設(shè) 的參數(shù)方程為x(t )，則：Ly(t )P( x, y) dxQ( x, y)dy P(t ),(t

17、 )(t)Q(t),(t )(t ) dtL兩類曲線積分之間的關(guān) 系：PdxQdy( P cosQ cos，其中 和 分別為)dsLL上積分起止點處切向量 的方向角。L格林公式：(QP)dxdy格林公式：(QP)dxdyPdxQdyxyPdx QdyxyDLDL當Py, Qx，即： QP時，得到D的面積：Adxdy1xdy ydxxy22 LD平面上曲線積分與路徑 無關(guān)的條件：·、是一個單連通區(qū)域；1G、，Q( x, y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ，且 QP 。注意奇點，如，應(yīng)2P( x, y)xy(0,0)減去對此奇點的積分， 注意方向相反！·二元函數(shù)的全微分求積 ：在

18、Q P 時， Pdx Qdy才是二元函數(shù) u( x, y)的全微分，其中：x y( x, y)，通常設(shè)x0。u( x, y)P(x, y)dx Q(x, y)dyy0 0( x0 , y0 )曲面積分：對面積的曲面積分：f (x, y, z)dsf x, y, z( x, y) 1 zx2 ( x, y) zy2 (x, y)dxdyDxy對坐標的曲面積分：P(x, y, z)dydz，其中：Q(x, y, z) dzdx R( x, y, z)dxdyR(x, y, z)dxdy，取曲面的上側(cè)時取正 號；R x, y, z(x, y)dxdyD xyP(x, y, z)dydzP x( y,

19、 z), y, zdydz，取曲面的前側(cè)時取正 號；D yzQ(x, y, z)dzdxQ x, y( z, x), zdzdx，取曲面的右側(cè)時取正 號。D zx兩類曲面積分之間的關(guān) 系： PdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosRcos ) ds高斯公式：-9精選文庫( PQR )dvPdydz Qdzdx Rdxdy( P cos Q cosRcos )dsxyz高斯公式的物理意義 通量與散度：散度：divPQR 即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若div0,則為消失.xy,z通量：A ndsAnds，(P cos Q cosR cos )ds因此，高斯公式又可寫成：divAd

20、vAnds斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系：( RQ )dydz ( PR)dzdx ( QP )dxdyPdxQdy Rdzyzzxxydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可寫成：xyzxyzPQRPQR空間曲線積分與路徑無 關(guān)的條件： RQ ， PR， QPyzzxxyijk旋度： rotAxyzPQR向量場 沿有向閉曲線的環(huán)流量：PdxQdyRdzA t dsA常數(shù)項級數(shù)：等比數(shù)列：q2qn11q n1q1q等差數(shù)列：23n(n1)n12調(diào)和級數(shù)：111 是發(fā)散的123n級數(shù)審斂法：-10精選文庫、正項級數(shù)的審斂法 根植審斂法（柯西判 別法）：1時，級數(shù)收斂1設(shè)：li

21、mnun，則時，級數(shù)發(fā)散1n時，不確定1、比值審斂法：2時，級數(shù)收斂U n 1 ，則1設(shè)：lim時，級數(shù)發(fā)散U n1n時，不確定1、定義法：3sn u1u2un ; lim sn存在，則收斂；否則發(fā) 散。n交錯級數(shù) u1u2u3u4(或 u1 u 2u3,un 0)的審斂法 萊布尼茲定理：如果交錯級數(shù)滿足unun1 ，那么級數(shù)收斂且其和 su1 ,其余項 rn的絕對值 rn un 1。lim un0n絕對收斂與條件收斂：(1)u1u2un，其中 un為任意實數(shù)；(2) u1u2u3un如果 (2)收斂，則 (1)肯定收斂，且稱為絕對收斂級數(shù)；如果 (2)發(fā)散，而 (1)收斂，則稱 (1)為條件

22、收斂級數(shù)。調(diào)和級數(shù)：1 發(fā)散，而( 1) n 收斂；nn級數(shù)：1收斂；n21 時發(fā)散p級數(shù)：n pp1時收斂冪級數(shù)：-11精選文庫x1時，收斂于11 x x2x3x n1 xx1時，發(fā)散對于級數(shù) (3)a0a1 x a2 x2an xn，如果它不是僅在原點收斂，也不是在全xR時收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在 R，使xR時發(fā)散 ，其中 R稱為收斂半徑。xR時不定10時， R求收斂半徑的方法：設(shè) lim an 1，其中 an， an 1是 (3)的系數(shù)，則0時， Rnan時，R 0函數(shù)展開成冪級數(shù)：函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：f ( x)f (x0 )( x x0 )f (x0 ) ( x x0 )2f (n

23、 ) ( x0 ) ( xx0 ) n2!n!f (n 1) ( )(x x0 )n 1, f ( x)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是： lim Rn0余項： Rn(n 1)!nx0 0時即為麥克勞林公式：f ( x) f (0)f (0)x2f (n) (0)nf ( 0) xx2!n!一些函數(shù)展開成冪級數(shù)：(1 x) m1mxm(m1)x 2m(m 1)( mn 1)xn( 1 x 1)x3x52!1) n 1x2n1n!sin x x(x)3!5!( 2n1)!歐拉公式：eixeeixcosx2cosx i sin x或eixesin x2ixix三角級數(shù)：f (t) A0An sin(

24、 n ta0(an cosnxbn sin nx)n )n 12n 1其中， a0aA0， an An sinn， bnAn cos n， tx。正交性：sin nx, cosnx任意兩個不同項的乘積在 , 1, sin x,cos x,sin 2x, cos2x上的積分 0。傅立葉級數(shù)：-12精選文庫f ( x)a0( an cosnx bn sin nx)，周期22n 1an1f ( x) cosnxdx(n0,1,2)其中1bnf ( x)sinnxdx( n1,2,3)11211121（相加）1252223242386111211121（相減）2242622232422412正弦級數(shù)：

25、 an2f ( x) sin nxdxn1,2,3f (x)bn sin nx是奇函數(shù)0， bn0余弦級數(shù)： bn2f (x) cosnxdxn0,1,2f ( x)a0an cosnx是偶函數(shù)0， an20周期為 2l 的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)：-13精選文庫f ( x)a0( an cosnxbn sin nx )，周期2l2n1llan1 lf ( x) cos nx dx(n0,1,2)其中l(wèi)ll1lf (x)sin nx dxbn( n1,2,3)lll微分方程的相關(guān)概念：一階微分方程： yf (x, y) 或 P( x, y)dxQ(x, y)dy0可分離變量的微分方程 ：一階微分方程可以化 為g ( y)dy的形式，解法：f (x)dxg ( y) dyf ( x)dx得： G( y)F