2022年數(shù)列高考知識點大掃描

1、1 數(shù)列高考知識點大掃描數(shù)列基本概念數(shù)列是一種特殊函數(shù)，對于數(shù)列這種特殊函數(shù)，著重討論它的定義域、值域、增減性和最值等方面的性質(zhì)，依據(jù)這些性質(zhì)將數(shù)列分類：依定義域分為 ：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列；依值域分為：有界數(shù)列和無界數(shù)列；依增減性分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列和擺動數(shù)列。數(shù)列的表示方法 ：列表法、圖象法、解析法（通項公式法及遞推關(guān)系法）；數(shù)列通項：( )naf n2、等差數(shù)列1、定義當(dāng)nn,且2n時，總有1,()nnaadd常，d 叫公差。2、通項公式1(1)naand1） 、從函數(shù)角度看1()nadnad是 n 的一次函數(shù)，其圖象是以點1(1 ,)a為端點 , 斜率為 d 斜線上一些孤立點。2） 、

2、從變形角度看(1) ()nnaand, 即可從兩個不同方向認(rèn)識同一數(shù)列，公差為相反數(shù)。又11(1) ,(1)nmaand aamd, 相減得()nmaanm d，即()nmaanm d. 若 nm，則以ma為第一項，na是第 n-m+1 項，公差為d；若 nn) ，求 sn+m的值。思路 ,mm ns ssn下標(biāo)存在關(guān)系：m+n=m+n, 這與通項性質(zhì)qpnmaaaaqpnm是否有關(guān)？解題 由 sn=a,sm=sn+a n+1+an+2+,+am=b 得 a n+1+an+2+,+am=b-a, 即abnmaamn)(21，得nmabaamn21由(n+1)+m=1+(n+m), 得 an+1

3、+am=a1+am+n故).()(2)(211nmnmabnmaanmaasmnnmnm精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -6 請你試試1 3 1、在等差數(shù)列 an 中，15s6，55s9，求s15。2、在等差數(shù)列 an 中，1s3，3s9，求s12。第 3 變已知已知前n 項和及前2n 項和，如何求前3n 項和變題 3 在等差數(shù)列 an 中，20s10，40s20，求s30思路 由2030,sss10尋找102030,sssss1020之間的關(guān)系。解題 設(shè)數(shù)列 an 公差為 d ，

4、101210saaa，2010111220ssaaa，3020212230ssaaa, 201010()10 10sssd, 30202010()()10 10ssssd，所 以102030,sssss1020成等 差數(shù)列 ，公 差100d , 于是2010302()()sssss1020，得30203()32060sss10。 收 獲 1、 在 等 差 數(shù) 列 an 中 ，1 02 03 0,sssss1020成 等 差 數(shù) 列 ， 即1210aaa，111220aaa，212230aaa，, ，成等差數(shù)列，且30203()sss10。3、 可推廣為535()nnsss2n，747()nns

5、ss3n，, ，(21)(21)knknskss(k-1)n。請你試試1 41、在等差數(shù)列 an 中，123aa，346aa，求78aa2、在等差數(shù)列 an 中，121010aaa，11122020aaa，求313240aaa3、在等差數(shù)列 an 中，20s10，30s20，求s50及s100。4、數(shù)列 an 中，san，sb2n，求s3n。5、等差數(shù)列 an 共有 3k 項，前 2k 項和25s2k，后 2k 項和75s2k，求中間 k 項和s中。第 4 變 遷移變換重視 sx=ax2+bx 的應(yīng)用變題 4 在等差數(shù)列 an 中， sn=m,，sm=n,(mn) ，求 sn+m的值。思路 等

6、差數(shù)列前n 項和公式是關(guān)于n 的二次函數(shù)，若所求問題與1,a d無關(guān)時，常設(shè)為s=an2+bn 形式。解題 由已知可設(shè)sn=an2+bn=m sm=am2+bm=n , 兩式相減，得a(n+m)(n-m)+b(n-m)=m-n , 又 mn , 所以()1a nmb，得2()()() ()()m nsa mnb mnmna mnbmn。收獲 “整體代換”設(shè)而不求，可以使解題過程優(yōu)化。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -7 請你試試1 5 1、 在等差數(shù)列 an 中，84s12，460

7、s20，求s322、 在等差數(shù)列 an 中，,()nssmnm， ，求sm+n3、 在等差數(shù)列 an 中，0a1，15ss10，求當(dāng) n 為何值時，sn有最大值第 5 變歸納總結(jié)，發(fā)展提高題目 在等差數(shù)列 an 中， sn=a,sm=b,(mn)，求 sn+m的值。（仍以變題2 為例）除上面利用通項性質(zhì)qpnmaaaaqpnm求法外，還有多種方法。現(xiàn)列舉例如下：5、 基本量求解：由bdmmmasadnnnasmn2)1(,2)1(11，相減得badnmamn21)(1, dnmnmanmsnm2)1)()(1代入得mnbanmsnm)(。2、利用等差數(shù)列前x 項和公式 sx=ax2+bx 求解

8、由 sx=ax2+bx，得sn=an2+bn, sm=am2+bm 兩式相減，得a(n+m)(n-m)+b(n-m)=a-b 即mnbabmna)(故)()()(2bamnmnnmbnmasnm3、利用關(guān)系式bannsn求解由bannsn知nsn與 n 成線性關(guān)系，從而點集(n, nsn)中的點共線，即(n, nsn), (m, msm),(m+n, nmsnm)共線，則有nnmnsnmsmnmsnsnnmmn， 即mnanmsmnmbnanm，化簡 , 得mnnbnaamnnbmasnmnnm，即)(bamnmnsnm. 4、利用定比分點坐標(biāo)公式求解由a(n, nsn), b(m, msm)

9、, p(m+n, nmsnm) 三 點 共 線 , 將 點p看 作 有 向 線 段ab的 定 比 分 點 , 則nmnmmnnmpbap)(，可得mnbanmnbnanmmsnmnsnmsmnnm1)(1)(, 即)(bamnmnsnm. 請你試試1 6 若 sn是等差數(shù)列 an 的前 n 項和， s2=3，s6=4 ，則 s12_. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -8 第二節(jié)等比數(shù)列的概念、性質(zhì)及前n 項和題根二等比數(shù)列 an ，574,6aa, 求a9。思路 1、由已知條件聯(lián)

10、立，求，從而得2、由等比數(shù)列性質(zhì)，知成等比數(shù)列。解題 1 由4651714,9aa qaa q, 兩式相除，得232q，2973692aa q。解題 2 由579,a aa成等比，得22795694aaa。收獲 1、靈活應(yīng)用性質(zhì)，是簡便解題的基礎(chǔ)；2、等比數(shù)列中，序號成等差的項，成等比數(shù)列。 請你試試 2 1 等比數(shù)列 an ，10,2aq，若30123302aaaa，則36930aaaa_。第 1 變連續(xù)若干項之和構(gòu)成的數(shù)列仍成等比數(shù)列變題 2 等比數(shù)列 an ，1234562,6aaaaaa，求101112aaa。思路 等比數(shù)列中，連續(xù)若干項的和成等比數(shù)列。解題 設(shè)11232456,baa

11、a baaa，, ，4101112baaa，則bn是等比數(shù)列，12,3bq，33412 354bb q，即10111254aaa。收獲 等比數(shù)列 an ，1q時，232,kkkkks ss ss，,成等比數(shù)列，但總有2322()()kkkkksssss。當(dāng) k 為偶數(shù)時，0kq恒成立。請你試試 2 2 1、等比數(shù)列 an ，1q時，242,6ss，求6s。2、等比數(shù)列 an ，1q時，261,21ss，求4s。第 2 變396,s s s成等差，則396,a aa成等差變題 3 等比數(shù)列 an 中，396,s s s成等差，則396,a a a成等差。思路 396,s s s成等差，得3692

12、sss，要證396,a a a等差，只需證3692aaa。解題由396,s s s成等差，得3692sss，當(dāng) q=1 時，3161913 ,6,9sa sa sa, 由10a得3692sss，1q。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -9 由3692sss，得369111(1)(1)2(1)111aqaqaqqqq，整理得3692qqq，0q，得3612qq，兩邊同乘以3a， 得3692aaa，即396,a a a成等差。收獲 1、等比數(shù)列 an 中，396,s s s成等差，則28

13、5,a a a成等差。2、等比數(shù)列 an 中，,nmks ss成等差，則,ndm dkdaaa（其中*,md nd kdndz）成等差3、等比數(shù)列 an 中，,nmkaaa成等差，則,ndm dkdaaa（其中*,md nd kdndz）成等差。請你試試 2 3 6、 等比數(shù)列 an ，1q，356,a a a成等差，求11910()aaa的值。2、等比數(shù)列 an ，174,a aa成等差，求證361262,s s ss成等比。第 3 變ns是等比，na也是等比數(shù)列變題 4數(shù)列na中，10a且12,ns ss，是等比數(shù)列，公比q (1q)，求證na(2n) 也是等比數(shù)列。思路 1nnnass,

14、欲證na為等比數(shù)列，只需證1nnaa為常數(shù)。解題 1nnnass，11nnnass， （2n） , 得111nnnnnnassass，而1nnssq，211nnssq，111(1)(1)nnnnasq qqasq， （2n）, 故na從第二項起，構(gòu)成等比數(shù)列，公比為q 。第 4 變等比數(shù)列在分期付款問題中應(yīng)用問題顧客購買一售價為5000 元的商品時，采用分期付款方法，每期付款數(shù)相同，購買后1 個月付款一次，到第12 次付款后全部付清。如果月利潤為0.8%，每月利息按復(fù)利計算，那么每期應(yīng)付款多少？（精確到1 元）分析 一： 設(shè)每期應(yīng)付款x 元，則第 1 次付款后，還欠5000(1+0.8%)-x

15、 （元）第 2 次付款后，還欠5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x （元）第 3 次付款后，還欠5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)3-x(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x （元）,最后一次付款后，款已全部還清，則5000(1+0.8%)12-x(1+0.8%)11-x（1+0.8%）10-,-x(1+0.8%)-x=0 ，移項 5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x（1+0.8%）10+,+x(1+0.8%)+x， 即12121 1.0085

16、000 1.0081 1.008x精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -10 算得121250001.008(1.0081)1.0081x438.6（元）一般地，購買一件售價為a 元的商品，采用分期付款時，要求在m 個月內(nèi)將款還至b 元，月利潤為p，分 n（n 是 m 的約數(shù)）次付款，那么每次付款數(shù)計算公式為 (1)(1)1(1)1mmnmapbpxp. 分析 二： 設(shè)每月還款x 元，將商家的5000 元折算成 12 個月后的錢要計算12 個月的利息，而顧客第一次還的錢也應(yīng)計算11 個

17、月的利息，第二次還的錢應(yīng)計算10 月的利息 , ，于是得方程5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x（1+0.8%）10+,+x(1+0.8%)+x ，解得438.6x（元）分析 三： 設(shè)每次還款x 元，把還款折成現(xiàn)在的錢，可得211500010.8%(10.8%)(10.8%)xxx， 解得4 3 8. 6x（元）。將上述方法應(yīng)用到其他實際問題中，如木材砍伐，人口增長等。請你試試 24 某地現(xiàn)有居民住房的總面積為a m2，其中需要拆除的舊住房面積占了一半。當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門決定在每年拆除一定數(shù)量舊住房的情況下， 仍以 10%的住房增長率建設(shè)新住房。 如果 10 年后該地的住房總面積

18、正好比目前翻一番，那么每年應(yīng)拆除的舊住房總面積x 是多少？（取 1.110為 2.6）第三節(jié)常見數(shù)列的通項及前n 項和題根 3 求分?jǐn)?shù)數(shù)列111,1 2 2 3 3 4的前 n 項和ns思路 寫出數(shù)列通項公式，分析數(shù)列特點：分母中兩因數(shù)之差為常數(shù)1。解題 數(shù)列通項公式1(1)nan n，亦可表示為111nann，所以11111111223111nnsnnnn。收獲 將數(shù)列每一項裂為兩項的差，再相加，使得正負(fù)抵消。第 1 變分母中兩因數(shù)之差由常數(shù)1 由到 d 變題 1 求分?jǐn)?shù)數(shù)列111,1 3 3 5 5 7的前 n 項和ns。思路 寫出通項公式，裂項求和。 ，解題 1111(21)(21)22

19、121nannnn，11111111112335212122121nnsnnnn。收獲1、求分?jǐn)?shù)數(shù)列的前n 項和ns時，將數(shù)列每一項裂為兩項的差，稱裂項法。2、用裂項法可求解：7、 若na為等差數(shù)列，0,1,2,nak，公差為d，則精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -11 1223341111111nnnnaaaaaaaaaa. 3、常見裂項法求和有兩種類型：分式型和根式型。如分式型1111(3)33nan nnn；根 式 型111nannnn；11()ababab。 另 外 還

20、有 ： nn!=(n+1)!-n!，11mmmnnnccc。請你試試3 1 1、求分?jǐn)?shù)數(shù)列1 111,2 6 12 20的前 n 項和ns2、求分?jǐn)?shù)數(shù)列22221111,12 24 36 48的前 n 項和ns。8、 求分?jǐn)?shù)數(shù)列222222228 18 28 38 4,13355779的前 n 項和ns。第 2 變 分母中因數(shù)由2 到 3 變題 2 求分?jǐn)?shù)數(shù)列111,1 2 3 2 3 4 3 4 5的前 n 項和ns。思路 數(shù)列中的項的變化：分母因數(shù)由兩個變?yōu)槿齻€，是否還可裂項呢？解題 由1111(1)(2)2(1)(1)(2)nan nnn nnn，得1111111()()21 22 32

21、 33 4(1)(1)(2)nsn nnn111(3)21 2(1)(2)(1)(2)n nnnnn。收獲 1、分母為連續(xù)三因數(shù)的積，仍拆為兩項的差，再相加，使得正負(fù)抵消。2、對于公差為d (0d)的等差數(shù)列na,有12121231111()(1)kkkaaakdaaaaaa. 請你試試3 2 1、求分?jǐn)?shù)數(shù)列111,1 3 5 3 5 7 5 7 9, 的前n 項和ns。2、求分?jǐn)?shù)數(shù)列111,1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6, 的前n 項和ns。3、求分?jǐn)?shù)數(shù)列33333451111,nc c cc, 的前n 項和ns。第 3 變由分?jǐn)?shù)數(shù)列到冪數(shù)列精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f -

22、 - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -12 變題 3 求數(shù)列2221 ,2 ,3 , 的前n 項和ns。思路 利用恒等式332(1)331kkkk，取 k=1 , 2 , 3 , ，相加正負(fù)抵消可解。解題 由恒等式332(1)331kkkk取 k=1、2、3, ，得332213 13 1 1332323 23 21,332(1)331nnnn各式相加得33222(1)13(12)3(12)nnnn得2223311(1)12(1)3(12)1(1)31332nn nsnnnnnn1(1) ( 21)6n nn。收獲 利

23、用恒等式4432(1)4641kkkkk，類似可得33312nsn2(1)2n n。注意：正整數(shù)的平方和、立方和公式應(yīng)用十分廣泛。請你試試3 3 求和 （1）22224(2 )nsn， （2）33313(21)nsn， （3）33324(2 )nsn。第 4 變由冪數(shù)列到積數(shù)列變題 4 求數(shù)列1 2,23,34, 的前n 項和ns。思路 1寫通項公式，由通項特征求解。解題 12(1)nan nnn，222(11)(22)()nsnn222(12)(1 2)nn1(1)1(1)(21)(1)(2)623n nn nnn nn。思路 2 利用1(1)(1)(2)(1) (1)3nan nn nnn

24、n n裂項相加。解題 2 由1(1)(1)(2)(1) (1)3nan nn nnnn n得1 22 334(1)nsn n精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -13 1(1 2 30 1 2)(2 3 41 2 3)(1)(2)(1) (1)3n nnnn n1(1)(2)3n nn。收獲 對于通項為兩因數(shù)的積，可推廣到通項為k 個因數(shù)的積，如求數(shù)列1 23,23(1),34(2),kkk, 的前項和ns。由1(1)(1) (1)()(1)(1),1nannnkn nnknnnkk

25、將每一項裂為兩項的差，相加即可正負(fù)抵消。思路 3 聯(lián)想組合數(shù)公式，可見21(1)2nn nc，利用組合數(shù)性質(zhì)可得。解題 3 由2(1)2nnan nc，得222223122()2nnnscccc1(1)(2)3n nn。請你試試3 4 求數(shù)列1 23,23 4,345, 的前n 項和ns。第 4 變由等差數(shù)列與等比數(shù)列對應(yīng)項的積構(gòu)成的積數(shù)列變題 5 在數(shù)列na中，210(1)11nnannn， （1） 分別求出10nnaa和10nnaa的 n 取值范圍；（2）求數(shù)列最大項； （3）求數(shù)列前n 項和ns。思路 1、解正整數(shù)不等式，2、利用函數(shù)單調(diào)性，3、利用錯位相消法。解題 （1）由111010

26、910(2)(1)11111111nnnnnnaann，當(dāng) n9 時，10nnaa，即1nnaa；當(dāng) n9 時 ，10nnaa， 即1nnaa。9、 當(dāng) n=9 時，9109991001111aa，9910101011aa是數(shù)列的最大項。10、設(shè)210101023(1)111111nnsn,（1）則2311010101023(1)11111111nnsn,（2）相減得23110101010102(1)111111111111nnnsn12010(12)1111nn。請你試試3 5 1、 求數(shù)列2 nn, 的前n 項和ns。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - -

27、- - - - 第 13 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -14 2、 求和2311357(21)nnsxxxnx。3、 求和135212482nnnsnnnn。4、 已知數(shù)列na，11,23naan數(shù)列nb，114,2nnbb，求數(shù)列nnab的前 n 項和ns。第四節(jié)遞推數(shù)列的通項公式及前n 項和1、利用不動點求數(shù)列通項題根三 數(shù)列na滿足11a，121nnaa，求通項公式na。思路 1、寫出1234,a aa a，由不完全歸納法得na表達(dá)式。2、構(gòu)造新數(shù)列，轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列求解。解題 在的121nnaa兩邊加 1，則數(shù)列1na是首項為 2，公比為 2 的等比數(shù)列，得112

28、2nna，即12 2121nnna即為所求。收獲 1(1)nnapaq p型遞推數(shù)列，當(dāng)p=1 時, 數(shù)列為等差數(shù)列；當(dāng)0,0qp時,數(shù)列為等比數(shù)列。下面給出1p時遞推式的通項公式的求法：方法 1、因為1,p所以一定存在滿足pq， 從而得1qp， 此為函數(shù)( )f xpxq的不動點。由1()()nnnap aqpqp a， 得na是 首 項 為1a， 公 比 為p的 等 比 數(shù) 列 ， 于 是11()nnaap, 即11()nnaap， 將1qp代 入 上 式 ，得通 項 公 式 為11().11nnqqaappp,（i）方法 2、由1nnapaq,1nnapaq， 得11()nnnnaap

29、aa，令1nnnbaa， 則1nnbpb，則nb是首項為1b，公比為 q 的等比數(shù)列，得111nnkkaab111(1)1nbpap1211()(1)(2)1naapanp（*） ；當(dāng) n=1 時,（*）式也成立。請你試試 41 數(shù)列na滿足19a, 134nnaa， 求na。變題 1 數(shù)列na滿足11a，1221nnnaaa求通項公式na。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -15 思路 常見解法：先求數(shù)列1na的通項公式解題由將已知關(guān)系式取倒數(shù)得111112nnaa， 由（ #）

30、式 得11122nna，所以1122nna。收獲 1nnnpaaras型遞推數(shù)列的通項公式的求法：令pxxrxs，得10 x或2psxr為兩不動點。由于111111nnnsraxap ap，設(shè)1nnba， 則1nnsrbbpp， 此 為1(1)nnapaq p模 型 。同 樣 ，121nax也 可 化 為1(1)nnapaq p模型，由 （i）式可求得na。更為特殊的是p=s 時，111111nnnraxaap, 設(shè)1nnba則數(shù)列nb是等差數(shù)列。我們常取1nnnpaarap的倒數(shù)求解，原因恰是為此。變題 2（06 年江西理第22 題）數(shù)列na滿足132a，11321nnnnaaan*(2,)

31、nnn求通項公式na。解答 11321nnnnaaan111233nnnnaa， 即11233nnbb1111()33nnbb， 又132a， 得1213b，所以121(1)33nnb，得331nnnna。請你試試 4 2 函數(shù)( )31xf xx，數(shù)列na滿足11a，1()nnaf a，*()nn， （1）求na的通項公式na； （2）設(shè)12231nnnsaaaaaa，求ns。變題 2 數(shù)列na中，11140,(2)2nnnaaana，求na思路 1 令42xxx，得124,1xx，即兩不動點，可得1141nnaa是等比數(shù)列，解法 1 由11111143123(4)44222nnnnnnna

32、aaaaaa，令4nnba，則1132nnnbba,（a ）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -16 由111142(1)1122nnnnnaaaaa，令1nnca，則1122nnncca,（b）(a)式除以 (b)式得1132nnnnbbcc，即nnbc是首項為111144,1baca公比為32的等比數(shù)列，143421nnnnnbaca，1113442024.3241423nnnna思路 2 111nax和121nax均可化為1(1)nnapaq p型遞推式，解法 2 由1112

33、121.43(4)3(4)3nnnnaaaa令14nnba， 則12133nnbb，由（i）式 得111123322431133nnb1112152034nna所以1112044.1122452033nnna解法 3 由113111212nnaa，亦可求得1204.243nna收獲 求解1nnnpaqaras型遞推數(shù)列的通項公式的方法：令pxqxrxs， 設(shè)其兩根為12,x x即兩不動點。于是1112nnaxax是等比數(shù)列，并且111nax和121nax均可化為1(1)nnapaq p型遞推式。請你試試 4 3 寫出解法 3 的詳細(xì)過程。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - -

34、- - - - - - - - 第 16 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -17 變題 3 設(shè)數(shù)列na前 n 項和為432nnsan，求na及ns。思路 將已知關(guān)系中ns的化為na，再進(jìn)一步變形。解題 由432nnsan，得1141aa, 即11.3a11432 43(1)2nnnnnassanan1443nnaa, 得1413nnaa. 這是1nnapaq型遞推式，由 (#)式得11111443 10.443331133nnnna443210 103 .3nnnsann第 1 變 遞推式1( )nnaf n a2、累積錯位相消法求數(shù)列通項變題 4 數(shù)列na滿足11a，12n

35、nnaa，求通項公式na。思路 觀察1a與2a、2a與3a存在的關(guān)系，思考解題方法。解題 212aa，322aa，432aa，, ，12nnaa，各式相乘得11122nnnaa。收獲 1、若 f(n)為常數(shù) , 則na為等比數(shù)列。 2、1( )nnaf n a型遞推式，通項公式求解方法如下：12121(1),(2),(1).nnnnaaaf nf nfaaa各式兩邊分別相乘，得1(1)( 2)(1) ,naa fffn,（ii ）當(dāng) n=1 時, (ii) 仍成立變題 5 在數(shù)列na中,11121,2()nnanaaaa, 11、求na通項公式（2）令12224nnnnaba a，求nb的前

36、n 項和ns。思路 將題中遞推式轉(zhuǎn)化、歸類，再求解。解題 （1）將題中遞推式轉(zhuǎn)化為：1121212()2()2(1)2nnnnnnnaaaaaaaanaa. 即11nnnaan.由 (ii)式 得na通項公式12 3.1 21nnaann(2) 由nan, 得1222222244 (1)11.(2 )(2 )nnnnanba annnn精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -18 所以數(shù)列nb前 n 項和 ：221111(2)nnnkkksbkk222222211111111324(1

37、)(1)(2)nnnn2225265.4(1)(2)nnnn第 2 變)(1nfaann型遞推數(shù)列3、累加錯位相消法求數(shù)列通項變題 6 已知數(shù)列na中，11a，11(1)nnaann, 求na的通項公式。思路 將題中遞推式變形1111nnaann，利用錯位相消法。解將題中遞推式表示為：1111nnaann，于是21112aa，321123aa，431134aa，, ，11121nnaann各式相加得213211()()(),nnnaaaaaaaa得11111111(1)()()()2233421naann111 1211nn即為所求通項公式。收獲 對于數(shù)列na，設(shè),2, 1,1naabnnn則

38、稱數(shù)列nb是na差數(shù)列，則121213211()()(),nnnnbbbaaaaaaaa得111.nkknbaa所以na的通項公式為111( ),(2)nnkaaf kn,（iii ）. 當(dāng) n=1 時，也滿足 (iii) 式。變題 7 在數(shù)列na中，12a, 1(1)nnnana, 求na通項公式。思路 題中關(guān)系式不是)(1nfaann型的遞推式，但兩邊同除以n(n+1)，經(jīng)過變量替換，可化為)(1nfaann型遞推式。解題 在遞推式1(1)nnnana兩邊同除以n(n+1) , 得111(1)nnaannn n令nnabn得11(1)nnbbn n，1121ab。由 （iii ）式得nb表

39、達(dá)式為：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -19 111111111()(1)1nnnkkbbbk kkk1111112(1)3.2231nnn于是na通項公式為1( 3)31.nnanbnnn請你試試 4 4 求數(shù)列1、4、11、26、57、120、, ，的通項公式。第 3 變1( )nnapaq n型遞推數(shù)列4、兩邊同除以1np，經(jīng)過變量替換，化為)(1nfaann型遞推式變題 8 數(shù)列na滿足12a, 1223nnaan， 求na。思路 遞推式兩邊同除以12n，經(jīng)過變量替換，

40、可化為)(1nfaann型遞推式。解題 在1223nnaan兩邊同除以12n， 得11123222nnnnnaan令2nnnab，則11232nnnnbb, 此為模型)(1nfaann。于是11111123,1.22nnkkakbbb則1211.22nnnb所以13212()221 68.22nnnnnnnabn收獲 在1( ),(1)nnapaq np中， 當(dāng) q(n)是常數(shù) q 時，即為模型1(1)nnapaq p。在1( ),(1)nnapaq np兩 邊 同 除 以1np, 得111( )nnnnnaaq nppp, 令1( ),( )nnnnaq nbf npp, 得1( )nnbb

41、f n即可求出nb的通項公式，從而得nnnap b=np321().22nn變題 9（2006 年全國理第22 題）設(shè)數(shù)列na前 n 項和為14122333nnnsa，n=1,2, ，求通項na。解答 14122333nnnsa2114122333aa12a。因為1(2)nnnassn，所以由題設(shè)得：1412(2)333nnnaa1412(2)333nna142nnnaa112444nnnnnnaa，即112nnnbb112nnb，得42nnna。規(guī)律小結(jié) 根據(jù)數(shù)列性質(zhì)1(2)nnnassn可得出遞推關(guān)系，然后再根據(jù)結(jié)構(gòu)特征求通項公式。請你試試 4 5 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - -

42、- - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -20 1、數(shù)列na滿足11a, 123 5nnnaa， 求na。2、數(shù)列na的前 n 項和21nnsan，10a, 求na第 3 變1, (0,0)qnnnapapa型4、兩邊取對數(shù)，變形轉(zhuǎn)化為模型1( )nnaf n a變題 10 數(shù)列na中1110,nnnaaa，令lgnanb， （1）求數(shù)列nb的通項公式，（2）設(shè)121nkkkbtb，求limnt。思路 利用對數(shù)運算法則變形轉(zhuǎn)化。解： （1）由已知得111111,lglglgnnnnaaannbbbnn，即模型1( )nnaf

43、n a，由(ii) 式，得11 1 11111 2 311 2 3(1)(1)!nbbnnn。（2） 由1111!1(1)(2)!nnbnbnnn，得121nkkkbtb1111 22 3(1)nn11111111.2231nnn則1limlim(1)1nntn。 收 獲 1,(0,0)qnnnapapa， 當(dāng)q=1時 ，na為 等 比 數(shù) 列 。 當(dāng)1q時 ， 對 遞 推 式 兩 邊 取 常 用 對 數(shù) ， 得1l gl gl gnnaapq, 令lgnanb, 得1lgpnnbqb，此為模型1(1)nnapaq p，即題根。第 4 變11nnnapaqa型5、利用特征根求通項公式變題 11

44、 在數(shù)列na中，120,1aa，1144nnnaaa，求na思路 在數(shù)列na中，已知12,a a，且11nnnapaqa，求其通項公式方法介紹如下：當(dāng)1pq時，存在12,滿足11211()nnnnaaaa（*） ，即112121()nnnaaa，與11nnnapaqa比較系數(shù)， 得1212pq，由根與系數(shù)的關(guān)系知12,是二次方程20tptq兩實根，此方程稱為遞推式的特征方程。易見，只需將遞推式中的11,nnnaa a換成2, ,1tt即可得特征方程。由 （*）式知數(shù)列11nnaa是等比數(shù)列， 于是1112211()nnnaaaa或1121221()nnnaaaa。當(dāng)1pq時，將 p=1-q 代

45、入遞推式， 得11()nnnnaaq aa，則1nnaa是以21aa為首項， -q 為公比的等比數(shù)列，從而1121()()nnnaaqaa，利用錯位相消法即可求解。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -21 解題 遞推式特征方程為2441，解得1212，所以遞推式可表示為11111()222nnnnaaaa，數(shù)列112nnaa是首項為21112aa，公比為12的等比數(shù)列， 所以1111,1,2,22nnnaan, ，兩邊同除以12n，得121221nnnnaa，于是22nna是首項為

46、 0，公差為 1 等差數(shù)列，故221nnan，212nnna。收獲 一般的，在數(shù)列na中，已知12,a a，且11nnnapaqa，它的特征方程20pq兩根為12,，則，當(dāng)12時 ，通項公式11()nnaanb；當(dāng)12時 ，通項公式1112,1,2,nnnaabn, ，其中a，b 為常數(shù)，可由12,a a推出。利用這一結(jié)論可方便的推出通項公式na。變題 12 在數(shù)列na中，121,2aa，21712nnnaaa，求na解：特征方程2712兩根為123,4。設(shè)1134nnnaab，由121,2aa，得a=2 ， b=-1 ，故112 34,(1,2,)nnnan。請你試試4 6 1、在數(shù)列na中，121,3aa，2169nnnaaa，求na。2、在數(shù)列na中，121,2aa，3122nnnaaa，求na。第六章數(shù)列請你試試答案與提示 請你試試 1 1 ：1、1101101()10102aas，110139900aaaa，選 c 2、